高中数学几个重要的函数专题

1.f(x)ax

xb(1) a0,b0时，f(x)为“双钩函数”： ① 定义域：(,0)(0,)；值域为(,② 奇偶性：奇函数（有对称中心）； ③ 单调性：在区间(,递减. ④ 极值：xbb时取到极大值，x时取到极小值.

aabxbb][,)； aabbbb],[,)上单调递增；在区间[,0),(0,]上单调aaaa⑤ 记住f(x)ax(a0,b0)的图象的草图.

bx≥2ab；x0时， f(x)ax⑥ 不等式性质：x0时，f(x)axbx≤2ab. （，0）（,0，）(2) a0,b0时，f(x)在区间上为增函数.

【思考】：图象大致如何分布.

1(3)常用地，当ab1时，f(x)x的特殊性质略.

x【探究】：①函数f(x)1axbx的图象变化趋势怎样？

②fxax2b2,fxaxnbnnN的有关性质.

xx yax

yyaxb(a0,b0)xyk02abbabak0(a,b)ybO2abxOx

b2.yaxb(c0,adbc) 化简为，yaxbac

cxdcxdcxdcdda

①定义域：(,)(,)；值域为y的一切实数；

ccc

②奇偶性：不作讨论； ③单调性：当

bbdd0时，在区间(,],[,)上单调递增；当0时，在区间ccccdd(,],[,)上单调递减.

cc,a)； ④对称中心是点(dccya； ⑤两渐近线：直线xd和直线cc【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x的系数确定.

⑥平移变换：yaxb(c0,adbc)可由反比例函数yc(k0)图象经过平

cxdx移得到；

⑦反函数为ybdx； cxabc【说明】：分式函数yaxb(c0,adbc)与反比例函数y(c0)，离心

cxdx2y2x率均为2，同源于双曲线221. ab3.三次函数图象与性质初步

32（1）定义：形如yaxbxcxd(a0)的函数叫做三次函数. 定义域为R,

值域为R.

（2）解析式：①一般式：f(x)axbxcxd(a0)；

32f(x)· x②零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(xx3)(a0)

（3）单调性：

f(x)【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.

32那三次函数f(x)axbxcxd(a0)的图象及性质，要从那里入手呢？

再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图象几何特征角度，如零点、极值点、

拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质.

yax3bx2cxd(a0)

2所以，f(x)3ax2bxc，导函数对称轴xb3a.

2【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.4b12ac（“极值判

别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）

2（I）若4b12ac0 令f(x)0，由根与系数关系知：x1x22b，3ax1x2c 3abb23acbb23ac,x2两极值点：x1

3a3a①当a0，b0，c0，约定d0，则拐点在y轴左边，极值点分布在y轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图象：

②当a0，b0，c0时，拐点在y轴左边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值； · · · yOx· yyOxO· xyx· yx· yOxOOyO· yxO· xyO· xyxy· yx· OxOO

③当a0，b0，c0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略

④当a0，b0，c0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略

2（II）若4b12ac0

y由x1x2(x1x2)4x1x2坐标仍为4b12ac2O9a2知：无极值点，拐点横

xb3a，所以图象如右图所示.

2（III）若0 即b3ac0时，f'(x)0在 R上恒成立， 即f(x)在(,)为增函数.

x (-∞， + b) 3ab 3a 0 （b，+∞) 3af'(x)的符号 + ↗ f(x)的单调性 ↗