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高中数学几个重要的函数专题

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高中数学几个重要的函数专题

1.f(x)ax

xb(1) a0,b0时,f(x)为“双钩函数”: ① 定义域:(,0)(0,);值域为(,② 奇偶性:奇函数(有对称中心); ③ 单调性:在区间(,递减. ④ 极值:xbb时取到极大值,x时取到极小值.

aabxbb][,); aabbbb],[,)上单调递增;在区间[,0),(0,]上单调aaaa⑤ 记住f(x)ax(a0,b0)的图象的草图.

bx≥2ab;x0时, f(x)ax⑥ 不等式性质:x0时,f(x)axbx≤2ab. (,0)(,0,)(2) a0,b0时,f(x)在区间上为增函数.

【思考】:图象大致如何分布.

1(3)常用地,当ab1时,f(x)x的特殊性质略.

x【探究】:①函数f(x)1axbx的图象变化趋势怎样?

②fxax2b2,fxaxnbnnN的有关性质.

xx yax

yyaxb(a0,b0)xyk02abbabak0(a,b)ybO2abxOx

b2.yaxb(c0,adbc) 化简为,yaxbac

cxdcxdcxdcdda

①定义域:(,)(,);值域为y的一切实数;

ccc

②奇偶性:不作讨论; ③单调性:当

bbdd0时,在区间(,],[,)上单调递增;当0时,在区间ccccdd(,],[,)上单调递减.

cc,a); ④对称中心是点(dccya; ⑤两渐近线:直线xd和直线cc【注意】:两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x的系数确定.

⑥平移变换:yaxb(c0,adbc)可由反比例函数yc(k0)图象经过平

cxdx移得到;

⑦反函数为ybdx; cxabc【说明】:分式函数yaxb(c0,adbc)与反比例函数y(c0),离心

cxdx2y2x率均为2,同源于双曲线221. ab3.三次函数图象与性质初步

32(1)定义:形如yaxbxcxd(a0)的函数叫做三次函数. 定义域为R,

值域为R.

(2)解析式:①一般式:f(x)axbxcxd(a0);

32f(x)· x②零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(xx3)(a0)

(3)单调性:

f(x)【探究】:要尝试研究一个陌生函数的一些性质,以往在研究二次函数问题时,我们需要考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号.在研究三角函数问题时,又采用过“五点”作图法.

32那三次函数f(x)axbxcxd(a0)的图象及性质,要从那里入手呢?

再结合探究工具“导数”,我们不妨从函数图象几何特征角度,如零点、极值点、

拐点、凹凸性、极值点区间等,确定研究的方向,把握三次函数的一些粗浅性质.

yax3bx2cxd(a0)

2所以,f(x)3ax2bxc,导函数对称轴xb3a.

2【注意】:拐点横坐标所在处,也有可能是驻点所在处.4b12ac(“极值判

别式”,当判别式小于等于零时,无极值点)

2(I)若4b12ac0 令f(x)0,由根与系数关系知:x1x22b,3ax1x2c 3abb23acbb23ac,x2两极值点:x1

3a3a①当a0,b0,c0,约定d0,则拐点在y轴左边,极值点分布在y轴左边.根据零点的个数,尝试做出如下图象:

②当a0,b0,c0时,拐点在y轴左边,极值点分布在y轴两边,且左极值点绝对值大于右极值点绝对值; · · · yOx· yyOxO· xyx· yx· yOxOOyO· yxO· xyO· xyxy· yx· OxOO

③当a0,b0,c0时,拐点在y轴右边,极值点分布在y轴右边,且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略

④当a0,b0,c0时,拐点在y轴右边,极值点分布在y轴两边,且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略

2(II)若4b12ac0

y由x1x2(x1x2)4x1x2坐标仍为4b12ac2O9a2知:无极值点,拐点横

xb3a,所以图象如右图所示.

2(III)若0 即b3ac0时,f'(x)0在 R上恒成立, 即f(x)在(,)为增函数.

x (-∞, + b) 3ab 3a 0 (b,+∞) 3af'(x)的符号 + ↗ f(x)的单调性 ↗

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