2018北京市高考压轴卷文科数学(含答案)

数学（文）

本试卷共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题， 共40分）

一、

选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）设集合A{x|x2x20}，B{x|x2≤1}，则AIB A. x2x1 C. x1x≤1

B. x2x≤1 D. x1x1

（2）“x3且y3”是“xy6”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

alnxx22(x0)（3）已知函数f(x)，且有f(x)a2恒成立，则实数a的取值范围为 1xa(x0)xA .[0，2e] B. [0，2e] C．(0，2e] D．(0，2e]

（4）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且a1a62a3，a4与2a6的等差中项为

2

3

2

3

3，则S5（ ） 2315315A．5 B．30 C.31 D．4

3232（5）将函数fx2cos(x1（纵坐标不变），得到函数ygx)图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍

62的图像，则函数ygx的图像的一个对称中心是（ ） A．(115,0) B．(,0) C.(,0) D．(,0)

6121212ouuuruuuruuuruuur（6）在△ABC中，A60，ABAC3，D是△ABC所在平面上的一点. 若BC3DC，则DBAD

A. 1

B. 2

C. 5

D.

9 2uuuruuuruuur（7）在ABC中，D为AB的中点，点F在线段CD（不含端点）上，且满足AFxAByAC，若不

等式

12a2at对t[2,2]恒成立，则a的最小值为（ ） xyA．4 B．2 C.2 D．4

（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．

1624161688168 B． C. D． 3333第二部分（非选择题， 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）已知复数z满足z34i43i，则z ．

（10）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，

，那么这组数据的方差s2可能的最大值是 ．

e22x（11）已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为 ．

exx2y2（12）已知O为坐标原点，双曲线221 (a0,b0)的右焦点为F，以OF为直径的圆交双曲线

ab的一条渐近线于异于原点的A，若点A与OF中点的连线与OF垂直，则双曲线的离心率e为 ．

22

（13）已知圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=1和两点 A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，

则m的取值范围是 ．

x2（14）已知函数g(x)对任意的xR，有g(x)g(x)x．设函数f(x)g(x)，且f(x)在区间

22[0,)上单调递增，若f(a)f(a2)0，则实数a的取值范围为 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且(1)求tanC的值；

(2)若a+b-c=8，求△ABC的面积.

222sinAsinBsinC+=. abc（16）（本小题13分）

已知在递增等差数列{an}中，a12，a3是a1和a9的等比中项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn

（17）（本小题14分）

某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表： 贷款期限 频数

6个月 20

12个月 40

18个月 20

24个月 10

36个月 10

1，Sn为数列{bn}的前n项和，求S100的值.

(n1)an（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；

（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率． （18）（本小题13分）

如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，点M为棱AE的中点.

（1）求证：平面BMD//平面EFC；

（2）若AB1，BF2,求三棱锥ACEF的体积.

（19）（本小题14分）

x2y23已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，上顶点M到直线3xy40的距离为3.

2ab

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l过点4,2且与椭圆C相交于A,B两点， l不经过点M，证明：直线MA 的斜率与直线MB的斜率之和为定值.

（20）（本小题13分）

已知曲线yf(x)x1alnx(aR)与x轴有唯一公共点A. （Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）曲线yf(x)在点A处的切线斜率为aa7.若两个不相等的正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)，求证：x1x21.

22

数学（文）试卷答案及评分参考

一、选择题： 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】.C 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】D 二、填空题： 9.【答案】1 10.【答案】36

【解析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y， 则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，

故S2= [1+0+1+x2+（﹣x）2]= + x2，显然x最大取9时，S2最大是36，

故答案为：36．

11.【答案】2 【解析】

=

；∴

．故答案为：2．

12.【答案】2 13.【答案】[4，6]

【解析】圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=1的圆心C（3，4），半径为1，

∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4， 再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m， 故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]． 14.【答案】a1

三、解答题：

15．（本小题满分13分） 【答案】(1)∵

2

2

sinAsinBcosCsinAsinBcosC1，由正弦定理得，∴tanC=. +=+=abcsinAsinBsinC22a2+b2-c284=(2)由a+b-c=8，得cosC=，∴ab=，

2ab2abcosC22∴S△ABC=114absinC=创sinC=2tanC=1. 22cosC16．（本小题满分13分）

2a1a9，【答案】（Ⅰ）由{an}为等差数列，设公差为d，则ana1(n1)d.∵a3是a1和a9的等比中项，∴a3即(22d)22(28d)，解之，得d0（舍），或d2. ∴ana1(n1)d2n. （Ⅱ）bn11111().

(n1)an2n(n1)2nn1Snb1b2Lb1001111111150. (1L)(1)2223100101210110117．（本小题满分13分） 【答案】（1）由题意，所求概率为

（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，

由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，

其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，ca，cb，cc，da，ea，共13种，所以所求概率为

．

【解析】（1）由题意，所求概率为P=．

（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率．

18．（本小题满分13分）

【答案】（1）证明：设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，∴MN//EC.∵MN平面EFC，EC平面EFC，∴MN//平面EFC.

∵BF平面ABCD，DE平面ABCD，且BFDE，∴BF//DE， ∴BDEF为平行四边形，∴BD//EF.

∵BD平面EFC，EF平面EFC，∴BD//平面EFC. 又∵MNBDN，∴平面BDM//平面EFC.

（2）连接EN,FN.在正方形ABCD中，ACBD，又∵BF平面ABCD，∴BFAC.∵BFBDB,∴平面BDEF，且垂足为N，

11122∴VACEFACSNEF222,∴三棱锥ACEF的体积为.

33233

19．（本小题满分14分）

c3,a2b43, ， 【答案】（Ⅰ）解:由题可得， {2a2b2c2,ex2y21. 解得a4,b2，所以椭圆C的方程为

164（Ⅱ）易知直线l斜率恒小于0，设直线l方程： y2kx4,k0，且k1， Ax1,y1,Bx2,y2，

y2kx4,联立{xy1,16416k2k114k222 得14k2x216k2k1x64kk10，则

64kk114k2x1x2,x1x2，

因为kMAkMBy12y22kx14k4x2kx24k4x1， x1x2x1x216k2k1x1x2 2k4k12k2k11（为定值）. x1x264kk1所以kMAkMB2k4k420．（本小题满分14分）

【答案】（Ⅰ）解：函数f(x)的定义域为(0,).f(1)0. 由题意，函数f(x)有唯一零点1.f'(x)2xa. x（1）若a0，则a0.显然f'(x)0恒成立，所以f(x)在(0,)上是增函数. 又f(1)0，所以a0符合题意.

2x2a（2）若a0，f'(x).f'(x)0xx所以f(x)在(0,aa；f'(x)00x. 22aaaaaa)上是减函数，在(,)上是增函数.所以f(x)minf()1ln. 222222aa)0（若f()0，则f(x)0恒成立，f(x)无零点，不符合题意） 22由题意，必有f(①若f(令g(a)aaaa)0，则1ln0. 2222aaa11aa111a1ln(a0)，则g'(a)lnln. 2222222a2222g'(a)00a2；g'(a)0a2.

所以函数g(a)在(0,2)上是增函数，在(2,)上是减函数. 所以g(a)maxg(2)0.所以g(a)0，当且仅当a2时取等号. 所以，f(a)0a0，且a2. 2

a11,ea}，则f(b)b21alnb1alnb1a()0； 取正数bmin{2a取正数ca1，显然c2a令h(x)lnxx，则h'(x)a2.而f(c)c1alnx， 2111.当x1时，显然h'(x)10.所以h(x)在[1,)上是减函数.所xx以，当x1时，h(x)lnxxh(1)10，所以lnxx.

因为c1，所以f(c)c1alncc1acc(ca)1c110. 又f(x)在(0,22aa)上是减函数，在(,)上是增函数， 22aa)、(,)上各有一个零点. 22则由零点存在性定理，f(x)在(0,可见，0a2，或a2不符合题意. 注：a0时，若利用limf(x)，f(x00aaa)0，limf(x)，说明f(x)在(0,)、(,)x222上各有一个零点. ②若f(aa)0，显然1，即a2.符合题意. 22综上，实数a的取值范围为{a|a0,或a2}.

2（Ⅱ）由题意，f'(1)2aaa7.所以a9，即a3.

22由（Ⅰ）的结论，得a3.f(x)x13lnx，f(x)在(0,)上是增函数.

f(x)00x1；f(x)0x1.

由f(x1)f(x2)，不妨设x1x2，则0x11x2.

22从而有f(x1)f(x2)，即(x113lnx1)x213lnx2. 22所以x1x23lnx1x2202x1x23lnx1x22.

令p(t)2t3lnt2，显然p(t)在(0,)上是增函数，且p(1)0. 所以p(t)00t1.

从而由2x1x23lnx1x220，得x1x21.