二元一次方程组的拓展

例 1 用两种不同的方法解方程组

2xy6,22x5xy6y0.(1)(2)

解法1 由（1）得 y2x6 （3） （3）代入（2）中，得

x25x(2x6)6(2x6)20， 即 5x38x720. 解之，得 x14,x2218, 56. 5代入（3）中，得 y12,y218x,x14,25∴ 原方程组的解是 y2;61y.25解法2 由（2）得(x2y)(x3y)0， ∴ x2y0或x3y0.

∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组

2xy6,2xy6, x2y0;x3y0.18x,x14,25∴ 原方程组的解是 y2;61y.25说明：解法1是代入消元法，具体思维过程是：先消元，再把原方程组转化为一元二次方程；

解法2是分解因式法，具体思维过程是：先降次，再把原方程组转化为两个二元一次方程组.两种解法，各有千秋，但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.

例2 解方程组：

x2y210,xy10, (1)(2)xy24;xy2.22分析：一些含有xy、xy、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，

往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，

后者显得更为简便.

xy10,(1)xy24;(1) (2)解法1 由（1）得 x10y， （3） 由（3）代入（2），整理，得

y210y240.

解得 y14,y26.

把y14,y26分别代入（3），得

x16,x24.

∴ 原方程组的解是x16,x24, y4;y6.122解法2 把x、y看作一元二次方程z10z240的根 解得 z14,z26. ∴ 原方程组的解是x16,x24, y4;y6.12x2y210,(2)xy2.(1) (2)解法1 由（2）得：y2x. （3） 把（3）代入（1），整理，得

x22x30

解得 x13,x21.

把x13,x21分别代入（3），得

y11,y23.

x13,x21,∴ 原方程组的解是 y1;y3.12解法2 把（2）式左右两边平方得：

x2y22xy4， （3）

（3）－（1）得2xy6， 即 xy3

把x、y看作方程z2z30的根， 解得 z13,z21. ∴ 原方程组的解是2x13,x21, y1;y3.12说明：显然，此处（1）、（2）题中解法二都比解法一快捷、简便，但要求能较好地理解一元二次方程根与系数的关系及熟练掌握ab、ab、ab、ab之间的运算关系.

例 3 m为何值时，方程组

22x22y26, mxy3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

分析：将一次方程代入二次方程，将之化为关于x的一元二次方程来解之.

x22y26,解：mxy3.由（2），得

(1) (2)y3mx （3）

将（3）代入（1），得

x22(3mx)26,

即 (2m1)x12mx120， （4）

22(12m)2412(2m21)48m48.222

∵ 当48m480，即m1，即m1或m1时，方程（4）有两个不相等的实根，所以方程组有两组不同的实数解.

因为当48m480，即m1，即m1时，方程（4）有两个相等的实根，所以方程组有两组相同的实数解.

说明：方程组相同的实数解，应看作一组解.

例4 A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

解：设甲、乙的速度分别为x千米/时，y千米/时，根据题意，得

22

2.5x1.6y36,2.5x1.6yyx.解方程组，得

(1)(2)

x18,x272,(舍去) y10;y9012答：略.

说明：（2）式实际上是一个二元二次方程，即2.5x21.6y2.

典型例题五

例

x22xy3y25,(1)解方程组

xy1.(2)分析：用代入法求解。

解 由（2），得y1x（基本方法）（3） 将（3）代入（1），得

x22x(1x)3(1x)25

整理，得4x8，x2. 将x2代入（3），得y1

x2, 原方程的解为y1.说明：上述解法属一般方法。如果仔细观察方程组的特点，会发现另一种解法，即把方程（1）化为(x3y)(xy)5，结合（2），从而得到x3y5，这样，原方程就转化为

一个二元一次方程组，即x3y5,其解法如下：

xy1.由（1），得(x3y)(xy)5（4）

x3y5,将（2）代入（4），得x3y5，于是组成新方程组，即

xy1.解这个方程组，得

x2,

y1.

原方程组的解是

x2,

y1.典型例题六

xya,(1)例 解方程组

xyb.(2)

分析：因为x，y成轮换对称，故可逆用根与系数的关系构造一元二次方程解之. 解 把x，y看成t的一元二次方程

t2atb0（构造新的一元二次方程）

的两根，当a4b0时，方程有两组不同的解：

2

aa24b,x12 2aa4by.122aa24b,x22 2aa4by.22

当a4b0时，方程组有两组相同的解：

xy1a 22当a4b0时，方程组无实数解.

说明：本例属于具有特征的方程组，上述解法是把根与系数式的运用与解方程组结合起来，展示了知识间的内在联系.若从另一角度出发，得如下解法.

（能否直接开方？） (xy)2(xy)24xya24b，

当a24b0时，得

xya,xya,或 22xya4b.xya4b.aa24baa24b,x,x22解之，得或

22aa4baa4by.y.22当a4b0时，得

2xya, xy0.

xy2a. 2当a4b0时，原方程组无实数解.

典型例题七

例 k为何值时，方程组

ykx2, 2y4x2y10.（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.

分析：利用代入法求解. 解 由原方程组

ykx2,(1) 2y4x2y10.(2)把（1）代入（2），整理，得

k2x2(2k4)x10（注意k2取值）

(2k4)24k216k16.

k20（1）当时方程有两组相等的实数解，即k1时方程组有两组相等的实数解.

0将k1代入原方程组得

y24x2y10, yx2.解之，得x1, y3.x1,

y3.即当k1时原方程组有两组相等的实数解，其解为k20,（2）当时，方程组有两组不相等实数解，解得k1且k0，此

16k160.时方程组有两组不相等实数解.

k20,（3）当时，即k1时，方程组无解.

16k160.

说明：本题是将方程组转化为一元二次方程后利用0，Δ0，Δ0讨论的，并注意一元二次方程中x的系数k不等于0的条件.

22典型例题八

xy3,(1)例 （安徽省试题，2002）解方程组2 2xy5(2)分析：方程组中有一个一元一次方程，常常用代入法求解。

解：联立方程组，得

(1)y3x22xy5(2)把（1）代入（2）并整理，得：

x23x20

解这个一元二次方程，得

x11，x22

将x的值分别代入（2），得

y12，y21

x11,所以原方程组解为

y2;1x22, y1;2选择题

1．下列方程组中，是二元二次方程组的有（ ）

xy3,4222y4x,2x4y61,2x3y6,xy5, (1)(2)2(3)yz6,(4)(5)2227y5x4;xxyy10;xz2;xy16;2x3xy4y10.（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个. 2．由方程组22xy1,x4xy2y0222消去y，整理后得到的方程是（ ）

（A）x4x10 （B）x4x10 （C）x4x10 （D）x4x10

223．若xy522x2y0则x、y的值是（ ）

（A）x2,y1; （B）x2,y1;

（C）x2,y1;或x2,y1; （D）x2,或x2,y1;y1;

4. 方程组xy5x2y213的解是（）. ①x21y3

②x3y2

③xy4

④x2y3

A．①和②

B．③和④

C．①和③

D．②和④

5. 方程组(xy1)(xy1)03y7的解的个数是（）.

xA．1

B．2

C．3

D．4

6. 如果方程组2mx2ynx14x2ny2m1的一组解为，那么y1m、n的值为（）A．m1n3

B．

m3

m13n1

C．n1

D．mn1

7. 若x2xy3是一方程组a的一组解，那么另一组解为（）.

yxybA．x2xy3

B．3y2

C．不存在

D．不确定

8．若x1,是方程组xyy4.m,x2y2n的一组解，那么这个方程的另一组解是（ （A）x4,y1. （B）x1,y4. （C）x4,y1. （D）不能确定.

9．方程组2x2y26,m.有两组相等的实数解，则m的取值是（ ）

xy（A）m3 （B）m3 （C）m3 （D）m3

答案：

1．B；2．C；3．D；4. A; 5. B; 6. B ; 7. B ;8．A ; 9．C.

填空题

）

y24x1. 若关于x，y的方程组有两个相等的实数解，则n__________.

2xyn2. 已知答案： 1. nx0,x1,是方程ax2by30的两个解，则a，b值分别为________. y3.y7.1; 2. a4，b1. 2解答题

1．解下列方程组

11xy4,(5)15.xy2．解下列方程组：

25xy1, xy4, (6)(7)425xy3. 25.2y2 x

x1y15,(8)xy13.115xy（1）

xy162xy10（2）2 2x2y3xy170xy4（3）2 2x5xy6y0xy1（4）x2y21

855xy5（5）

(x1)(y1)23．解下列方程组：

(x1)2(y2)24（6）

2xy1yx5（2）2 2xy6252x2xy3y20（4）

7x6y4xy7（1）

xy10

x2y1（3）2 2x4y50

23xy2（5）

4952y22x

（6）xy1

xy44．k为何值时，下列方程组有两组相等的实数解？

y24x2y10（1）

ykx2x2y216（2）

xykx22y26,5．m为何值时，方程组有两组相等实数解？求出这时方程组的解.

mxy3.6．已知直角三角形的面积为30cm，斜边上的中线长6.5cm，求这个直角三角形的两条直角边的长.

2115,7．已知x、y满足方程组xy4求作以x、y为根的一元二次方程.

xy(xy)20.答案：

1x,141．（1）y73.14x22,x19, （2）y1.2y119.x10,x22, （4） y0.y1.12x21, y23.x10,（3）y10.1x,1（5）5y11.1x122．（1）y1134x13（4）y1131x,x21,121 （6）5y2.y.5132x,23 5y.24x26 y221xx12x21x1823（2）（3）y3y3112y14y22319319xx12x24x12x2355（5）（6） y3y3y2212y11219y112191255

4xx12x25x115x220x3133．（1）（2）（3）（4）y15y22y120y215y1y819x14（5）4x213 y42134x14x21x2不符合原方程组，舍去。 3（6）y12yy1y426124．（1）k1；（2）k42. 5．m1时，x2,y1. m1时x2,y1. 6．设两直角边为a、b，则

ab60,12a2b26.5 解得 a5,b12.

答：两直角边长分别为5cm，12cm.

7．原方程组可化为

4(xy)5xy,xy(xy)20, 得 xy5,xy4或xy5,xy4.从而得所求方程为：z25z40.

z25z40或

例1 解方程组

222x5xy2yxy10,22x2xy3y2x5y10.(1)(2)

分析：这是由两个二元二次方程组成的方程组，系数没有显著的特征，故我们思维的合理起点是设法把其中一个分解因式.

解：由（1），得

(x2y1)(2xy1)0

∴ x2y10或2xy10 ∴ 原方程组可化为两个方程组：

x2y10,22x2xy3y2x5y10.

2xy10,22x2xy3y2x5y10.解之得原方程组的解为

x11,y10.x21, y1.2说明：此题解法是分解因式法.把其中的一个方程通过分解因式达到降次之目的，从而使原

方程组转化为等价的两个方程组，可收化难为易的之功效.

例2 解方程组

222x2xyy4xy100,22xxy3y2x2y50.(1)(2)

分析：两方程含x项的系数对应成比例，故可用消元法解之. 解：（1）－2·（2），得

5y25y0,

∴ y0或y1. 原方程组可化为两个方程组

y0,22xxy3y2x2y50.y1,22xxy3y2x2y50.解之得原方程组的解为

x116,y10.例 3 解方程组

x216,y20.(1)(2)x34,y31.x41, y41.22xy10,22x3xy2y0.

分析：可将（2）化为(xy)(x2y)0， 则原方程组可化为

x2y210,x2y210,或 xy0.x2y0.解之，得

x15,y15.

x25,y25.x322,y32.x422, y42.典型例题四

x24y24xy10,(1)例 二元二次方程组（不需求解）

5xy0.(2)的解有（）

（A）4组 （B）3组 （C）2组 （D）1组 分析：本题是判断方程组有多少组解，由于方程（1）、（2）都是二元二次方程，它最多有4组解，下面通过求解做出判断.

解 由（1），得(x2y1)(x2y1)0

x2y10或x2y10.

由（2），得xy0

x0或y0.

原方程组可化为以下四个方程组： x2y10,x2y10,  x0;y0;x2y10,x2y10,  x0;y0.故原方程组有四组实数解，选A.

说明：判断二元二次方程组的解的组数问题是中考中的一种新题型，其思考方法是通过初步求解做出准确判断.

典型例题五

例

已知方程组

x2y2a1,(1) xya1.(2)有实数解，试确定a的取值范围.

分析：将方程组进行配凑，形成平方形式，利用非负性解之. 解 将(1)2(2)，得

22xy2xya12(a1) 22xy2xya12(a1)2(xy)3a1,即 2(xy)3a.两个等式左边均为非负，故 3a10，3a0. 解之，得

1a3，即为所求a的取值范围. 3说明：利用非负性确定字母参数的取值范围是一种常见的解法.

典型例题六

22x3xy4y0,(1)例 解方程组2 2x4xy4y1.(2)分析：观察发现方程（1）的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的.

方程（2）左边是完全平方式，右边是1，将其两边开方也可以达到降次的目的.

解：由（1）得(x4y)(xy)0

x4y0或xy0.

由（2）得(x2y)1（不能漏解）

2x2y1或x2y1

原方程组可化为以下四个方程组：

x4y0, x2y1;

x4y0, x2y1;

xy0, x2y1;2x,13 1y;16

xy0, x2y1.解这四个方程组，得原方程组的四个解是：

2x,x31,23  1y1;y;326x41, y1.4说明：要注意避免增解或漏解.

典型例题七

例 解方程组

22xy1,(1) 2(xy)2(xy)30.(2)分析：观察发现，方程（2）可以看作是关于(xy)的一元二次方程，因此可分解为

(xy3)(xy1)0，由此可得到两个二元一次方程xy30和xy10，这

两个二元一次方程分别和方程（1）组成方程组，求解便得原方程组的解。

解 由（2）得(xy3)(xy1)0.

xy30或xy10.

原方程组可化为两个方程组：

x2y21,xy30;x2y21, xy10;5x,13x21,解之，得 4y0.y;2135x,13x21, 原方程组的解为4y;y20.13

选择题

22x6xy9y36,1．22x2xyy10x10y16.的解的组数共有（ ）.

（A）2 （B）3 （C）4 （D）1

x2y21,2．方程组2的解是（ ）. 3y2x1.x2,x2,x2,x2,（A） （B） （C） （D）

y3.y3.y3.y3.axby40,x1,3．已知是方程组的解，则（ ）.

bx2ay70.y2.（A）a5,b11 （B）a5,b （C）a2,b1 （D）a2,b1 2222x4xy4y04. 在下列方程组中，解为方程组的解的方程组为（） 2(xy)3(xy)20①x2y40x2y40x2y40x2y40②③④

xy20xy10xy20xy10B．①、②和③

C．①和③

D．①、②、③、④

A．①和② 5. 方程组A．1

(xy2)(3xy4)0的解的个数为（）.

(xy2)(2x5y7)0C．3

D．4

B．2

x24y24xy106.二元二次方程组的解有（）.

5xy0A．4组

B．3组

C．2组

D．1组

x2y220(1)7. 解方程组时，（2）可先化为_______和x3y两个方程（）.

(x2y)(x3y)0(2)A．x2y B．x6y C．x0

D．y0.

答案：

1．C；2．A；3．D. 4. D 5. D 6. A 7. A.

填空题

22xy5,1．方程组2的解是 . 22x3xy2y0.

223xy8,2．方程组2的解是 . 2xxyy4.22xyy2x3y20,3．方程组2的解是 .

3y61xyx9y10.2x2xy2x40,4. 方程组的解是_________. 2xy2y2y2022x2y2y20,5. 方程组2的解是_________. 2x2xyyxy20(xy)(x2y1)0,6. 方程组可以转化为二元一次方程组________.

(xy2)(xy1)07. 把方程4x24xy15y20分解为两个二元一次方程为_________. 8. 把下列方程化为两个一次方程：

①x22axa24y24byb2可化为________. ②x22xyy212x12y28可化为_________.

22x3xy2y0(1)9. 解方程组2先将方程（1）化为两个二元一次方程______这样，

3x2xy20(2)原方程组可化为两个方程组_________.

22x2xyy110.解方程组的最好方法是将两个方程都分解因式，那么原方2(xy)3(xy)100程组可化为_______方程组来解.

22x2xyy2511.由二元二次方程组2可化成的二元一次方程组是________个. 29x12xy4y92x12mx2ym112. 如方程组2的一个解是则m=_________.

y14xny2m1答案： 1．x11,y12.x21,y22.x32,y31.x42, y1.4x21, y21.2．x12,y12.x22,x11,3．y2.2y10.

4. 7.

x2 5. 无解 6.

y1xy0xy20x2y10xy0xy20xy10x2y10 xy102x3y0，2x5y0 8. ①x2yab0和x2yab0②

xy0 23x2xy20x2y0xy140或xy209.x2y0，xy023x2xy2010.四个 11. 四 12. 1，7.

解答题

1．解方程组：

22(xy1)(xy3)02xxyy3x2y3（1）2（2）2 23x4y16x3x2224xy2y10（3）2 2xyxy0x2y2a12．已知方程组有实数解，求a的范围。

xya12xmy40(1)3．已知关于x，y的方程组2 2x2xy3y0(2)（1）把方程（2）化为两个二元一次方程 （2）设xk2(k0)是原方程组的一个解，试求k和m的值；

ykx2cx1a(cd0)是原方程组的两个解，并且b2d27m，试(ab0)与y2dy1b（3）若求m的值。

4．长方形场地周长56cm，对角线比长多4m，求场地面积。

答案：

6xx12271．（1）y11y13271xx1123（3）y11y123

10xx1137（2）11y12y37x21x32x42 y12y311y4112xx3243 y33y143

2．

1a3. 33．（1）x3y0，xy0（2）k1，m13（3）m8. 4．192m.

2单元测试A卷

1．选择题（四选一）

（1）方程(m21)x2mx50是关于x的一元二次方程，则m的值不能是（ ）； A．0 B．

11 C．1 D． 22（2）方程(3x1)(x1)(4x1)(x1)的解是（ ）； A．x11,x20 B．x11,x22 C．x12,x21 D．无解

（3）方程5x6x的解是（ ） A．x16,x21 B．x6 C．x1 D．x12,x23 （4）如果方程

xxk2有增根，那么增根可能是（ ）； x3x3x92A．0 B．9 C． －9 D．3或－3

（5）若关于x的方程2xaxa20有两个相等的实根，则a的值是（ ）； A．－4 B．4 C．4或－4 D．2 （6）如果关于x的方程x2x2k0没有实数根，那么k的最大整数值是（ ）； 2A．－3 B．－2 C．－1 D．0 （7）以

23131和为根的一元二次方程是（ ）； 22110 B．x23x0 22122C．x3x10 D．x3x0

2A．x3x（8）如果关于x的方程xb160和x3b120有相同的实根，那么b的值

222

是（ ）；

A．－7或4 B．－4 C．－7 D．4

（9）把方程x6x40的左边配成完全平方，正确的变形是（ ） A．(x3)29 B．(x3)213 C．(x3)25 D．(x3)25 （10）在实数范围内分解因式4x5的结果是（ ）； A．(2x5)(2x5) B．(4x5)(4x5) C．(x5)(x5) D．(2x5)(2x5)

（11）已知关于x的方程x2(a22a15)xa10的两根互为相反数，则a的值是（ ）；

A．5 B．－3 C．5或－3 D．1

（12）以墙为一边，用13米长的绳子作另外三边围成一个面积是20平方米的场地，那么这场地的长和宽是（ ）.

A．8米，2.5米或5米，4米 B．8米，2.5米 C．5米，4米 D．10米，2米 2．填空题

（1）方程x20的解是 ；

222x25x6（2）若分式的值是零，则x_____；

x2（

3

）

已

知

方

程

3x25x104的两根是

x1,x2，则

； x1x2___x1_x2____,_（4）关于x的方程(k1)x4x50有两个不相等的实数根，则k_____； （5）一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数字的积是24，则这

个两位数是 .

3．解下列方程或方程组：

22x41;x24x22xx22x

x2y22xy10,x2510x10(3)27;(4)x1x5x2y5.(1)x232x30;(2)4．列方程解应用题：

（1）某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐各需多少小时？

（2）甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？

5．

已知关于x的方程(m2)x25mxm30.

（1）求证方程有实数根；

（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m的值. 6．

已知关于x的方程x2(2m2)x(m24m3)中的m为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m的值，并解方程.

参考答案 A卷

1．(1) C；(2) B；(3) C；(4) D；(5) B；(6) A；(7) A；(8) D；(9) C；(10) D；(11) B；(12) A.

2．（1）x2；（2）3；（3）;5319；（4）且k1；（5）46. 1253．（1）x1326326；（2）x13,x22（增根）；（3）,x2227x,x11,23（4）. x13,x21,x30,x45；y12;y4.234．（1）甲管需12小时，乙管需16小时；（2）每小时4千米.

25．（1）m2时，方程有一个实根；m2时，(m2)200.方程有两个

不等实根，综上所述，m为任意实数时，方程均有实根.（2）m0.

6．m0时，x13,x21（提示：由m0和0，求出m的整数值是0或1，当m0时，求出方程的两根x13,x21符合题意；当m1时，方程的两根积

x1x2m24m320，两根同号，不符合题意，∴ 舍去）.