2019-2020年河南省许昌二中八年级(上)期中数学试卷(解析版)

一．选择题（共10小题）

1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

2．一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A．3cm

B．4cm

C．7cm

D．11cm

3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

4．如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论： ①∠C＝∠B； ②∠D＝∠E； ③∠EAD＝∠BAC；

④∠B＝∠E．其中错误的是（ ）

A．①②

B．②③

C．③④

D．只有④

5．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）

A．SAS

﹣

B．ASA C．AAS D．SSS

6．已知x3ym1•xm+ny2n+2＝x9y9，则4m﹣3n等于（ ） A．8

B．9

C．10

D．11

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，等边△BEF的顶点F在BC上，边EF交AD于点P，若BE＝10，BC＝14，则PE的长为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

8．如图，一钢架NAM中，∠A＝15°，现要在角的内部焊上等长的钢条（相邻钢条首尾相接）来加固钢架．如AP1＝P1P2＝P2P3＝…，则这样的钢条最多只能焊上（ ）根．

A．4

B．5

C．6

D．7

9．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（ ）

A．40°

B．100°

C．140°

D．50°

10．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线

OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）

A．6

B．12

C．32

D．

二．填空题（共8小题）

11．人站在晃动的公共汽车上．若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓栏杆才能站稳，这是利用了 ．

12．已知一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是 ．

13．如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，下面几个答案：①AE＝DF，②AE∥DF；③AB∥DC，④∠A＝∠D．其中正确的是 ．

14．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点A和C重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的周长是22cm，则AE的长为 ．

15．如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3cm，AB＝4cm，BE＝5cm，则重叠部分的面积为 ．

16．点P（3a+6，3﹣a）关于x轴的对称点在第四象限内，则a的取值范围为 ．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB＝ ，AC＝ ．

18．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝ ；b＝ ． 三．解答题（共7小题）

19．先化简，再求值：（2x+3）（x﹣4）﹣x（x+2）﹣5，其中x＝﹣2

20．如图，已知A（3，4），B（1，2），C（5，1）是平面直角坐标系中的三点． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）分别写出点A1，B1，C1的坐标；

（3）连接AA1，BB1，求四边形AA1B1B的面积．

21．如图，点A，B，C，D在同一条直线上AB＝CD，AE∥BF，∠E＝∠F，求证：AE＝BF．

22．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|

＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．

23．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．

（1）若AD＝2，求AF的长； （2）求当AD取何值时，DE＝EF．

24．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN． （1）求证：MN＝BM+NC； （2）求△AMN的周长为多少？

25．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D、E，图1，2，3是旋转得到的三种图形．

（1）以图2为例，观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并加以说明． （2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能请说明理

由．

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解． 【解答】解：（1）是轴对称图形； （2）不是轴对称图形； （3）是轴对称图形； （4）是轴对称图形；

所以，是轴对称图形的共3个． 故选：B．

2．一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A．3cm

B．4cm

C．7cm

D．11cm

【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解不等式即可．

【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得： 7﹣3＜x＜7+3， 解得：4＜x＜10， 故选：C．

3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）

A．50°

B．55°

C．60°

D．65°

【分析】先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠3所在三角形其余两角的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠3的度数．

【解答】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2＝65°， ∴∠6＝65°， ∵∠1＝55°， ∴∠1＝∠4＝55°，

在△ABC中，∠6＝65°，∠4＝55°， ∴∠3＝180°﹣65°﹣55°＝60°． 故选：C．

4．如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论： ①∠C＝∠B； ②∠D＝∠E； ③∠EAD＝∠BAC；

④∠B＝∠E．其中错误的是（ ）

A．①②

B．②③

C．③④

D．只有④

【分析】由“SSS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B＝∠C，∠D＝∠E，∠EAC＝∠DAB，即可得结论．

【解答】解：∵AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB， ∴△ABD≌△ACE（SSS）

∴∠B＝∠C，∠D＝∠E，∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠BAC， 故①②③正确，④错误， 故选：D．

5．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，

D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）

A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS

【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．

【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC＝OD； 以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP＝DP； 在△OCP和△ODP中，

，

∴△OCP≌△ODP（SSS）． 故选：D．

6．已知x3ym1•xm+ny2n+2＝x9y9，则4m﹣3n等于（ ）

﹣

A．8 B．9 C．10 D．11

【分析】先根据同底数幂乘法对等式左边进行计算，再根据相同字母的指数相等列出方程组，解出m、n的值，代入4m﹣3n求解即可． 【解答】解：x3ym1•xm+ny2n+2＝xm+n+3ym+2n+1＝x9y9，

﹣

∴解得

，

，

∴4m﹣3n＝4×4﹣3×2＝10． 故选：C．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，等边△BEF的顶点F在BC上，边EF交AD于点P，若BE＝10，BC＝14，则PE的长为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，BD＝BC＝7得到AD⊥BC，再根据等边三角形的性质得∠BFE＝60°，BF＝BE＝EF＝10，则可计算出DF＝BF﹣BD＝3，然后在Rt△PDF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到PF＝2DF＝6，所以PE＝EF﹣PF＝4．

【解答】解：∵AB＝AC，BD＝BC＝7， ∴AD⊥BC，

∵△△BEF为等边三角形，

∴∠BFE＝60°，BF＝BE＝EF＝10， ∴DF＝BF﹣BD＝10﹣7＝3， 在Rt△PDF中，∵∠PFD＝60°， ∴∠DPF＝30°， ∴PF＝2DF＝6，

∴PE＝EF﹣PF＝10﹣6＝4． 故选：D．

8．如图，一钢架NAM中，∠A＝15°，现要在角的内部焊上等长的钢条（相邻钢条首尾相接）来加固钢架．如AP1＝P1P2＝P2P3＝…，则这样的钢条最多只能焊上（ ）根．

A．4

B．5

C．6

D．7

【分析】由于P1A＝P1P2，∠A＝15°，利用三角形外角性质，易求∠2，而P2P1＝P2P3，又易求∠P1P2P3＝120°，以此类推，易求∠P3P5P6＝90°，根据邻补角性质可知∠P6P5M＝90°，若再焊接，那么出来的三角形的底角就有两个是90°，不符合三角形内角和定

理，故只能焊接5根． 【解答】解：如右图， ∵P1A＝P1P2， ∴∠A＝∠1＝15°， ∴∠2＝30°， ∵P2P1＝P2P3， ∴∠3＝∠2＝30°， ∴∠P1P2P3＝120°， …

易知∠6＝∠7＝60°，∠8＝∠9＝75°， ∴∠P4P5P6＝30°， ∴∠P3P5P6＝90°， ∴∠P6P5M＝90°，

那么第6个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形内角和定理，故只能焊5根． 故选：B．

9．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（ ）

A．40°

B．100°

C．140°

D．50°

【分析】设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．

【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，

P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″． 由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， ∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，

∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°， 又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°， ∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°． 故选：B．

10．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（ ）

A．6

B．12

C．32

D．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案． 【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°，

∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°，

∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝1， ∴A2B1＝1，

∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4， A4B4＝8B1A2＝8， A5B5＝16B1A2＝16，

以此类推：A6B6＝32B1A2＝32． 故选：C．

二．填空题（共8小题）

11．人站在晃动的公共汽车上．若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓栏杆才能站稳，这是利用了 三角形的稳定性 ． 【分析】根据三角形具有稳定性解答．

【解答】解：分开两腿站立与地面成三角形形状， 利用了三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性．

12．已知一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是 7 ． 【分析】根据多边形的内角和计算公式作答． 【解答】解：设所求正n边形边数为n， 则（n﹣2）•180°＝900°， 解得n＝7．

故答案为：7．

13．如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，下面几个答案：①AE＝DF，②AE∥DF；③AB∥DC，④∠A＝∠D．其中正确的是 ①③ ．

【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEB＝∠DFC，∠B＝∠C，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：∵BF＝CE， ∴BF+EF＝CE+EF， 即BE＝CF，

①在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SSS），故①正确； ②∵AE∥DF， ∴∠AEB＝∠DFC，

根据AB＝CD，BE＝CF和∠AEB＝∠DFC不能推出△ABE≌△DCF，故②错误； ③∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），故③正确；

④根据AB＝CD，BE＝CF和∠A＝∠D不能推出△ABE≌△DCF，故④错误． 故答案为：①③．

14．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点A和C重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，若△ABD的周长是22cm，则AE的长为 4cm ．

【分析】根据翻折变换的性质可得AD＝CD，AE＝CE，然后求出△ABD的周长＝AB+BC，再代入数据计算即可得解．

【解答】解：∵△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合， ∴AD＝CD，AE＝CE，

∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC， ∵△ABC的周长为30cm， ∴AB+BC+AC＝30cm，

∴△ABD的周长＝AB+BC＝22cm， ∴AC＝30﹣22＝8， ∴AE＝AC＝4cm． 故答案为：4cm．

15．如图，将一张长方形纸片ABCD沿BD折叠，若AE＝3cm，AB＝4cm，BE＝5cm，则重叠部分的面积为 10 ．

【分析】根据折叠的性质得到∠1＝∠2，而∠1＝∠3，易得ED＝EB，然后根据三角形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠， ∴∠1＝∠2， 而∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴ED＝EB，

又∵AE＝3，AB＝4，BE＝5，

∴DE＝5，

∴重叠部分△BDE的面积＝DE×AB＝×5×4＝10． 故答案为：10．

16．点P（3a+6，3﹣a）关于x轴的对称点在第四象限内，则a的取值范围为 ﹣2＜a＜3 ． 【分析】根据点P关于x轴的对称点在第四象限内可知点P位于第一象限，根据第一象限内点的坐标特点得到关于a的不等式组，从而可解得a的范围． 【解答】解：∵P关于x轴的对称点在第四象限内， ∴点P位于第一象限． ∴3a+6＞0①，3﹣a＞0②． 解不等式①得：a＞﹣2， 解不等式②得：a＜3，

所以a的取值范围是：﹣2＜a＜3． 故答案为：﹣2＜a＜3．

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB＝ 6 ，AC＝ 3 ．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，设BE＝x，然后根据△BDE的周长列方程求出x的值，再分别求解即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB， ∴CD＝DE， ∵AC＝BC， ∴∠B＝45°，

∴△BDE是等腰直角三角形， 设BE＝x，则CD＝DE＝x，BD＝∵△BDE的周长是6， ∴x+x+

x＝6，

， x＝6﹣3×3．

+

（6﹣3

）＝3

，

x，

解得x＝6﹣3∴AC＝BC＝x+AB＝

AC＝

＝6．

故答案为：6；3

18．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝ ﹣5 ；b＝ ﹣2 ．

【分析】甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b），展开整理后是6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10，根据一次项系数相同得到2b﹣3a＝11①；同理，乙计算的式子是（2x+a）（x+b），展开整理后是2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10，得到2b+a＝﹣9②；联立①②两个方程即可求出a和b的值．

【解答】解：∵甲抄错了第一个多项式中a的符号

∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10 ∴2b﹣3a＝11①

∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数

∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10 ∴2b+a＝﹣9②

由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2 故答案为：﹣5，﹣2． 三．解答题（共7小题）

19．先化简，再求值：（2x+3）（x﹣4）﹣x（x+2）﹣5，其中x＝﹣2

【分析】根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，代入计算得到答案．

【解答】解：（2x+3）（x﹣4）﹣x（x+2）﹣5 ＝2x2﹣8x+3x﹣12﹣x2﹣2x﹣5 ＝x2﹣7x﹣17

当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2﹣7×（﹣2）﹣17＝1．

20．如图，已知A（3，4），B（1，2），C（5，1）是平面直角坐标系中的三点． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）分别写出点A1，B1，C1的坐标；

（3）连接AA1，BB1，求四边形AA1B1B的面积．

【分析】（1）根据网格画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可； （2）根据平面直角坐标系即可写出点A1，B1，C1的坐标；

（3）连接AA1，BB1，根据梯形面积公式即可求四边形AA1B1B的面积． 【解答】解：如图，

（1）△A1B1C1即为所求；

（2）点A1，B1，C1的坐标分别为：（﹣3，4）、（﹣1，2）、（﹣5，1）； （3）连接AA1，BB1，

∴四边形AA1B1B的面积为：（2+6）×2＝8．

21．如图，点A，B，C，D在同一条直线上AB＝CD，AE∥BF，∠E＝∠F，求证：AE＝BF．

【分析】由“AAS”可证△AEC≌△BFD，AE＝BF． 【解答】证明：∵AE∥BF， ∴∠A＝∠FBD， ∵AB＝CD，

∴AC＝BD，且∠E＝∠F，∠A＝∠FBD， ∴△AEC≌△BFD（AAS） ∴AE＝BF．

22．已知，a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．

【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状． 【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴b﹣2＝0，c﹣3＝0， 解得：b＝2，c＝3， ∵a为方程|a﹣4|＝2的解， ∴a﹣4＝±2， 解得：a＝6或2，

∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6， ∴a＝6不合题意舍去， ∴a＝2，

∴△ABC的周长为：2+2+3＝7， ∴△ABC是等腰三角形．

23．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF

⊥AC于点F．

（1）若AD＝2，求AF的长； （2）求当AD取何值时，DE＝EF．

【分析】（1）因为AB＝8，AD＝2，所以BD＝AB﹣AD＝6，又因为在Rt△BDE中∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，根据直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半可得BE＝BD＝3，所以CE＝BC﹣BE＝5，同理可知，在Rt△CFE中∠CEF＝90°﹣∠C＝30°，CF＝CE＝，则可根据AF＝AC﹣FC求得结果； （2）因为∠BDE＝∠CFE＝90°，∠B＝∠C，DE＝EF，所以△BDE≌△CFE，则有BE＝CF＝EC，BE＝BC＝，BD＝2BE＝【解答】解：（1）∵AB＝8，AD＝2 ∴BD＝AB﹣AD＝6 在Rt△BDE中

∠BDE＝90°﹣∠B＝30° ∴BE＝BD＝3 ∴CE＝BC﹣BE＝5 在Rt△CFE中

∠CEF＝90°﹣∠C＝30° ∴CF＝CE＝ ∴AF＝AC﹣FC＝

（2）在△BDE和△EFC中

， ；

，则有AD＝AB﹣BD＝时，DE＝EF．

∴△BDE≌△CFE（AAS） ∴BE＝CF ∴BE＝CF＝EC ∴BE＝BC＝ ∴BD＝2BE＝

∴AD＝AB﹣BD＝ ∴AD＝时，DE＝EF．

24．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN． （1）求证：MN＝BM+NC； （2）求△AMN的周长为多少？

【分析】（1）延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF， （2）△AMN的周长等于AB+AC的长．

【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DBC＝30°，

∵△ABC是边长为3的等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°， ∴∠DBA＝∠DCA＝90°，

延长AB至F，使BF＝CN，连接DF， 在△BDF和△CND中，

，

∴△BDF≌△CND（SAS）， ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN， ∵∠MDN＝60°， ∴∠BDM+∠CDN＝60°， ∴∠BDM+∠BDF＝60°， 在△DMN和△DMF中， ∵

，

∴△DMN≌△DMF（SAS） ∴MN＝MF＝MB+BF＝MB+CN；

（2）由（1）证得MN＝MB+CN，

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝6．

25．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于D、E，图1，2，3是旋转得到的三种图形．

（1）以图2为例，观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并加以说明． （2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能请说明理

由．

【分析】（1）连接PC，通过证明△DPC≌△EPB，得出PD＝PE． （2）分EP＝EB、EP＝PB、BE＝BP三种情况进行解答．

【解答】解：（1）PD＝PE．以图②为例，如图，连接PC ∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点， ∴PC＝PB，CP⊥AB，∠DCP＝∠B＝45°， 又∵∠DPC+∠CPE＝90°，∠CPE+∠EPB＝90° ∴∠DPC＝∠EPB 在△DPC和△EPB中， ∵

，

∴△DPC≌△EPB（ASA）， ∴PD＝PE；

（2）能，

①当EP＝EB时，如图1，

∴∠B＝∠BPE＝45°， ∴∠PEB＝90°；

②当EP＝PB时，如图2，点E在BC上，则点E和C重合，

则∠PEB＝∠B＝45°；

③当BE＝BP时，如图3，若点E在BC上，

∴∠E＝∠BPE， 又∵∠E+∠BPE＝45°， ∴∠PEB＝22.5°．

④如图4中，当BP＝BE时，∠PEB＝67.5°．