第２６卷第１期 山西大同大学学报（自然科学版） Ｖ０１．２６．Ｎｏ．１ ２０１０年２月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｆｅｂ．２０１０ 文章编号：１６７４—０８７４（２０１０）０１—００２０—０３ 具有阶段结构和捕食者扩散的捕食系统研究 马小箭 （山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同０３７００９） 摘要：研究了一类具有阶段结构和扩散的非自治捕食系统．应用Ｖ函数法和比较定理得到了系统持续生存 的充分条件． 关键词：阶段结构扩散持久性 中图分类号：０１７５．１２ 文献标识码：Ａ 文献［１】研究了两种群均具有阶段结构的非自 根据初始条件的连续性要求： 治捕食系统，其中食饵可在两缀块迁移，但是考虑 捕食者可在两缀块迁移的自治系统还不多，在文 （ｏ）：ｆ ０ ｒｌｓ （ ） （３） 中，我们将讨论下面的捕食模型： 引理１系统（１）具有初始条件（２）， ３）的解都是 Ｉｆ ）＝０［１ ２（ｔ）一Ｆ１ １Ｏ）一ｏｔｌｅ— Ｘ２ （ｔ一 ） 正的． ｌ ０）＝ｏｔｌｅ。Ｘ２一 证明我们先来证明，当ｔ＞０时，都有 （￡）＞Ｏ． （ｆ一丁）一 ２２Ｏ）一ａｌｘ２（ｔ）ｙ２（ｆ） … 若不成立，则存在一个ｔ。＞０使得 （ｔｏ）＝０．因为 （ ）＝），１（ ）（０［２一￣２ｙｌ（ｔ））＋Ｄ （ ｚ（ 一ｙ （ ） （ ）＞０，ｔ∈［一 ，０］，所以ｔｏ＞０．定义ｔ ＝ｉｎｆ｛ｔ＞０： ２ Ｉ （ｔ）＝ｙ２（ｔ）（ａ３一 ｙ２（ ）＋ａ－ｚｘ２（ｔ））＋Ｄ２（ｙ （ ）～ｙ２（ｔ）） （ｆ）＝０｝．因此由系统（１）可以得到： 其中 （ ）， ：（ ）分别表示时刻食饵群幼年和成年 （ ）：ｏｌｌ ｅ－ｒ＇ｒ＇ ｚ（￡ 一 ）＞０ ０ｓ￡ 的密度．Ｙｌ ， Ｏ）分别表示ｔ时刻两捕食种群在缀块 １和缀块２的密度． １， ３，卢ｌ， ， ｒｈ ａ１，ａ２，Ｄ１， 『 １ｅ－ｒ，７ ２（￡ －－＇７＂）＞０ ｔ ＞７－ Ｄ：，均是正常数． 但由ｔ 的定义，可以得到 ）ｓ０，这与上式矛盾，因 我们对模型做如下假设： 此ｔ＞０时，Ｘ２（ ）＞０．当ｔ∈［０，７－］时，由系统（１）的第 。）食饵种群：ｒ。是内禀增长率，ｐ 是ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长系 一个方程，得 数．口 是捕食率， ｅ。‘ ２（ｔ一 ）代表在ｔ一丁时刻 （ｆ）＝ｒ１ １（ｔ）一Ｏ／１ｅ 咖２（ 一丁）． 出生的幼年食饵种群并且转化成成年种群的数量． 我们构造一辅助方程 ２）捕食种群：ａ ，ｎ２分别是捕食者在两缀块上的内 禀增长率． ， 是ｌｏｇｉｓｔｉｃ增长系数．ａ２是捕食者的 Ｕ ｐ（ ）＝一ｎ （ ）一 ｌ （ 一７＿）， 转化率，Ｄ ，Ｄ：，是扩散系数． 初始条件为： （０） （０），所以有 系统（１）的初始条件是： （ｔ）＝ｅ－ｒ＇ｒ［ （０）一』。ｔ ｅ－ｑ（ｓ－，ｒ） （ｓ一丁）ｄｓ］， ＝ ，ｙｘ ＝ （ ＞０， （ ＞Ｏ．ｉ＝１，２ （２） 综合（３）得 为了便于研究，我们定义： （ ）： －ｒＩ￣－［ｆ ｏ 咖 （ ）ｄｓ— 二＝ ｌ， ２， 》戈４）： ０，ｉ＝１，２，３，４， ４ ｅ “ ’ （ｓ 出］．ｏ． ・（ ， ｚ（ ， ｔ（ ， ）∈Ｃ（１一丁，０］，Ｒ＋。） 收稿日期：２００９—１０—１３ 基金项目：山西省高校科技研究开发项目［２００８１１０４３］；山西大同大学青年基金项目［２０Ｏ９Ｑ１７］ 作者简介：马ｄ，￣（１９７９－），男，山西保德人，硕士，助教，研究方向：生态数学． 因为“（ ）是严格递减的，所以在ｔ∈［０， ］时，有ｕ 类似的 （ ）＞ｕ（丁）＝０．由比较定理知，当ｔ Ｅ［ｏ， ］时，有 ・（ｔ）＞ ｌｉｍ ｉｎ （￡） ． （肘１）丁，ｎ：０，１，２，…， ．（ ）＞０． 因此，对任意的ｅ＞０，存在 ＞ ，使得当 ＞ 时 由系统（１）的第三，四个方程得： ｙ：（￡）≥ 一占：＝ｍ ， ｙ ｙ２‘ ０， 由系统（１）的 三个方程得 因 因此我们得到了对所有 ｔ ＞Ｏ 时都有枞筏（ ）＞０，）＞０，ｙｉ （ｔ）＞Ｏ 一一 。 ｃ ～ ・ （ １，２）． ２（￡） ；（ ）． 引理２考虑方程 我们构造一辅助方程 ｘ ＇（ｔ）＝＂ａｘ（ｔ－￣ｉＥ －ｃ）－ｂｘ （ｔ）ｃｘＥ（ｔｔ ）‘［一ｒ， ｏｌ ．我们有 ｕ （ ）＝ 。ｅ－ｒＩ￣＂“：（￡一 ）一 一 ）・ 其中其中 ６，ｃ是６，。是常数 （常数（￡￡））＞＞Ｏ，∈［。，∈一ｒ， ．我们有 ‘ ， （１）若ａ＞ｂ，则ｌｉｍ （ｆ）：旦 ； ２（ ）］８ Ｍ；（ｔ）・ （２）若 ６，则ｌｉａｒ ‘ ｔ…— ∞ … 一，（ ‘ ２一ｓ）一ｌ 定理１：设 ，若系统（１）满足条件ｌ ｉｍ ｓｕｐｘ２（ｔ）－￣－———— ・ １Ｏ／３＞Ｄ２，Ｏｌ２＞Ｄ１， 凶此对充分小的占＞０，存在 ，使得当 ＞乃时， Ｉｌｅ一 。一ａ１，ｏｌ２＞Ｏ， ｛ ｌ卢：ｃ ＜ 二 ＋占：： ， ３Ｏｔｉｅ 一０ｌ（一 ３－Ｄ２）＞０， 类似的，由 ｌ２Ｏ／ｌ ｅ （ １卢３＋０ｌ（ ３－Ｄ２））一 （ｆ）＞ －ｅ－ｒＩＴ ｚ（ ） （ ） ｔ ２２（ 『ａｌ ２ ２ １ｅ ）＞０． 则系统（１）是一致持久性的． 得 证明假设（ （￡）， （ｆ），ｙｌ（ ），ｙＥ（ｔ）），是系统（１） 一】 ｅ －ａ￣ｌ， ＋ ）具有初始条件的任意正解． ｌｉ ａｒ √ ）＞— Ｌ‘ …ｆ— ∞ Ｄ， 定义Ｖ（ｆ）＝ｍａｘ｛ｙ （ｔ），Ｙ２（ｆ）），使用类似于文［２］ 引理３．２的证明，我们得到 因此对充分小的 ＞Ｏ，存在ｒ￣＞ｒ４，使得当ｔ＞Ｔ５时， ‘ ｌｉｍ ｓｕｐＶ（ｔ）－＜－ｍａｘ｛ ， ｝ ， …（ ）＞ 三— 一 ：＝ｍ，． 所以对任意的ｓ＞０，存在 ＞０，使得当ｆ＞７１ｌ时， 由系统（１）的第一个方程得 ｙ （ｆ） Ｏｌ２ ＝Ｍｔｙ２（￡） Ｏｌ２ ｔ，， （￡）＜０１ ２（ｆ）一ｒ １（ ）＜０１ 一ｒ１ １（￡）， 又由系统（１）的第三，四个方程得 即 Ｙ （ｔ） （ ）（ ），１（ｔ）－Ｄ ）， （ｔ）＜。 －ｒＩ￣，一 ：： ． Ｙ （ｔ）＞ｙ２（ｔ）（ａａ－ｆｌ３ｙ２（ｔ）－Ｄ２）， 又因为 根据比较定理得 （ｔ）＞。。ｍ３一ｒ 。（ｔ）－－０￣１ｃｅ－ｒ＇￣ ， ｌｉａｒ ｉ ） ． …（￡）＜。。－－ｒＩ＋ ：： ． 因此，对任意的８＞０，存在 ＞ ，使得当ｔ＞Ｔ２时 我们令 ｙｌ（ ， Ｄ＝｛（ １，Ｘ２，ｙ１，ｙ２）ｌｍ４＜－ｘ１ｓ ，， ２＜－Ｍｓ， ・２２・ 山西大同大学学报（自然科学版） ２０１０钲 ｍ１ ｙｌ Ｍ４，ｍ２ Ｍ２）． 有初始条件（２）的解最终都进入并保持在Ｄ内，所以 那么Ｄ就是在Ｒ：上的一个有界紧区域，系统（１）具 系统（１）是一致持久的． 参考文献 ［１］Ｒｕｉｘｕ Ｃｈａｐｌａｉｎ Ｍ Ａ Ｊ，Ｄａｖｉｄｏｓｎ Ｆ Ａ．Ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｐｅｒｉｏｄｉｃｉｔｙ ｏｆ ａ ｄｅｌａｙｅｄ ｔａｔｉｏ—ｓｔａｔ［Ｊ］．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ Ｂｉｏｌｏｇｙ，１９９３， ４４：２０３—２０４． ［２］Ｘｕ Ｒ，Ｃｈｅｎ Ｌ Ｓ．ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ａ ｔｗｏ－ｓｐｅｃｉｅｓ ｒａｔｉｏ—ｄｅｐｅｄｅｎｔ ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ ｉｎ ａ ｔｗｏ—ｐａｔｃｈ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ］．ｃｏｍｐｕｔ ｍａｔｈ Ａｐｐｌ，２０００，４０：５７７—５８８． 【３］Ｔｏｇｎｅｔｔｉ Ｋ．Ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｔａｇｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｂｉｏｓｉ，１９７５，２５：１９５—２０４． １康淑瑰．时滞差分方程正周期解得存在性［ＪＪ．山西大同大学学报：自然科学版，２００９，２５（２）：６－７． ［５】马知恩．种群生态学的数学建模与研究［Ｍ】．合肥：安徽教育出版社，１９９６． Ａ Ｓｔｕｄｙ ｏｆ Ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｓｔａｇｅ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ Ｐｒｅｄａｔｏｒ Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ＭＡ Ｘｉａｏ－ｊｉａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｔｏｎｇ Ｓｈａｎｘｉ，０３７００９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｓｔａｇｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｍｐａｒｅｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ Ｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔａｇｅ ｓｔｕｒｃｔｕｒｅ；ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ；ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ ［编辑高海］ ｌｌｌｌｌｌｌｌ１１＂ｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌ，ｌ，●，ＩＰｌｌｌｌｌｌ－－ｍ，，ｌｌｌｌｌｌ－…●…ｌ－－…－－－－－…ｌ－－…－－－－－－，－－，，－－…－ （上接第１９页） 参考文献 ［１】徐燕，怀进鹏，王兆其．基于区分能力大小的启发式约简算法及其应用【ＪＪ．计算机学报，２００３，２６（１）：９７—１０３． ［２】陈堂敏．基于区分能力大小的启发式约简算法的研究［Ｊ］．计算机学报，２００６，２９（３）：４８０－４８７． ［３］Ｓｔａｒｚｙｋ Ｊ， Ｎｅｌｓｏｎ Ｄ Ｅ，Ｓｔｕｒｔｚ Ｋ．Ｒｅｄｕｃｔｓ．Ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｒｅｄｕｃｔ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２０００，２（２）：１ ３ １—１４６． ［４】张文修．粗糙集理论与方法［Ｍ】．北京：科学出版社，２００１． ［５】张海云，梁吉业，梁春华．一种基于知识量的约简算法［ＪＪ．小型微型计算机系统，２００７，２８（１１）：１９６８－１９７１． ［６】苗夺谦，胡桂荣．知识约简的一种启发式算法『Ｊ］．计算机研究与发展，１９９９，３６（６）：６８１－６８４． Ａｔｔｒｉｂｕｔｅ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｒｅｌａｔｉｖｅ Ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ Ｄｅｇｒｅｅ ＪＩＡ Ｊｕｎ——ｆａｎｇ ｆＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａｎｘｉ Ｄａｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｔｏｎｇ Ｓｈａｎｘｉ，０３７００９） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｘｕ Ｙａｎ ｗｈｏ ｃａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｎｏｉｓｅ ｄａｔａ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｃｅｐｔ，ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ｉｎ— ｆｏｒｍａｔｉｏｎ．ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｕｔｓ ｆｏｒｗａｒｄ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ａｔｔｉｒｂｕｔｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏ— ｐｏｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｅｌａｔｉｖｅ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ；ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｄｅｇｒｅｅ；ａｔｔｉｒｂｕｔｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ［编辑高海］