。人物评传爱米·诺特与抽象代数学的兴起胡作玄中国科学院系统科学研究所…介峨斌分雄毅一 !各个艳沐望譬美卑鳖喜霜蒜霭翼嚣票置拿可是有一家大计算机的制造厂商在展出他,们最新式的机器的同时专门开辟了一间展室“完完全全献给数学下,在近代数学家,”的标题回顾了这门古老的科学从古到今的发展,在∀#平方英尺的狭小地带一的一位女性&∋(∃位陈列出大约%近代数学家的照片和他们的事迹也没有学者的风度)∗+其中只有唯,她看上去既没有漂亮的容貌谁能看得出她是和康托尔希尔伯特.∀∃#,一∀−∀∃/01233+)∀∃45一∀−#6∀−#∀勒贝格/732389:5∃;,一卡当<&∋+)∋(∀∃4−一∀−,∀哈代∋+=冯/∋+>?∀∃;;一∀−#;阿达马≅03(3+/∋>∋Α>∀∃4,一∀−46维纳ΒΧ∀∃−#一∀−4#∀−%6一5−,;诺意曼≅Δ∗(Β3:Α∋((外尔/Χ31∀∃∃,一∀−,,等5%世纪最著名的一些大数学家为伍呢)对于大多数人来说Β,爱米诺特<∗Α,3)Ε3+是一个陌生的名字∗,考虑到5%世纪最大的物理学家爱因斯坦那么赫赫有名,妇孺皆知而5%世纪最大的数学家希尔伯特却几乎默默无闻数学家考虑的问题似乎不太实际!,这种情况也就不难理解数学太抽象了,而爱米诺特恰巧还是抽象代数学的缔造者成长在爱米一个女人为获取博士学位和讲课资格的奋斗,诺特的一生中,环境对于她即使不是艰难曲折,,,也决不能说是非常顺利的她出生在犹太后裔的家庭的种族和性别对她不利可以想象这种偶然的出身逃不脱纳粹掌权后的洗劫她父亲马克思诺特Φ∗Γ尽管她她的唯一的好条件是Β∗3)Ε3+是数学是位代教授马克思,诺特于∀∃##年生于德国曼海姆,他从∀∃;,年起就在埃尔兰根当教授,数几何学专家爱米的抽象代数学的具体背景有些就是来自代数几何的而埃米兰根大学另一,∃一外一位教授是高丹=变式之王”爱米言还喜欢。+>∋(于∀∃;#年来到埃尔兰根,两家是至好的朋友,他是有名的“不,爱米诺特最早的工作就是关于不变式的而且是跟着高丹做的诺特在∀∃∃5年6月56日生于埃尔兰根她在埃尔兰根市立高级女子学校读了三年就算到了头那些为培养女孩子的教育,因此,这位从小高度近视—长相平常的女孩子的智力活动只能向语言方而发展,宗教课钢琴跳舞她都不感兴趣她顺利地通过考试只有对学语中学毕业后师的资格她参加了争取当法语和英语教师的考试,取得了当语言教这是∀−%%年#月的事到了∀−%%年的秋天,不过弓Η力了形下,她改变了主意她不想就这样过一辈子数学对于她太有吸,她决定到她父亲的大学里去听课她可以交费听课虽说她父亲是埃尔兰根大学的教授但是大学不允许女生注册冬天学期,在这几百名学生里只有两名女学生只有在极其罕见的情同年0。3可以征得主讲教授的同意她到哥丁根大学听课参加考试而取得文凭∀−%6年;月她通过大学考试直接听到像大卫希尔伯特Φ0(Κ∗Λ8非列克斯克莱因Ι10Γ1ϑ3赫尔曼阂可夫斯基/3+Α∗((0等人的课Κ,受到了极大的鼓舞∀−%#年∀%不过她只上了一因为这时女生已享有同男生一样的注册,考试的资格了”,月爱米诺特正式注册人埃尔兰根大学学习她的学位论文的题目是了高丹式的公式,专攻数学“(,∀−%;年底她通过博士考试元形式的不变式理论指导教师就是高丹这篇论文充满,满篇都是符号演算而且最后给出一张完整的表格列出三元四次型共变未来的式的完全组,6个共有6∀这真是件令人看了惊叹不已的工程Η,,∀−∀。年高丹退休,而更令人惊异的是抽象代数学的缔造者最初却是按步就班地构造出她的所有结果来的她对高丹的依赖并没有延续多久∀−∀5年去世接替他们是恩斯特费歇尔<变+(8)Ι8Μ023+在他的指引下实现了她从高丹的公式化到希尔伯特研究方式的转,−∀−年从这时一直到∀她的工作主要是不变式论而这也正是她后来抽象理想理论的实际背景∀−∀,年,哥丁根学派的主将菲列克斯,克莱因和大卫希尔伯特邀请她去哥丁根他们当时都热衷于相对论而爱米诺特的不变式论的功夫显然对于他们的研究有用不久她离开故乡埃尔兰根书的授课资格就是她是女人的对手,,正式在哥丁根定居到了哥丁根之后“希尔伯特等人帮她取得在大学教,但是那些哥丁根的哲学系中的语言学家和历史学家却极力反对他们的理由希尔伯特直截了当地说!先生们,我不明白为什么候选人的性别是阻止她取得讲师资格的理由爱米归根结底这里毕竟是大学而不是洗澡塘,”也许正因此而激怒了他诺特没有被通过一直到第一次大战之后成立了共和国,她才当土讲师在克莱因和希尔伯特的相对论研究的思想影响下定理,她在∀−拐年发表了两篇重要论文一篇是把黎曼几何学和广义相对论中常用的微分不变式化为代数不变式这是把不变性同守恒律联系在一起的极重要的思想另一篇就是所谓诺特,不变式时期以后代数学的起点她开始走上自己独立创建“抽象代数学”的道路而这正是以后现代回顾!从古典代数学到抽象代数学古典的代数学是利用符号代替具体的数字来进行计算是解方程到了∀4世纪,代数的首要问题枕一般的三次方程和四次方程已能有一定的算法去解出来了其后代数学家的主要目标就是去解五次乃至更高次的方程贝尔Ν231,,∀∃%5一∀∃5−上学时,不过,经过了三百年,没有成功挪威年轻数学家阿曾经一度认为自己解五次方程已获成功后来发现错误后,开始向另外一个方向试探通过系数的加证明了一般五次或五次以上代数方程没有根式解也就是你不能“减乘除或开方而能求出根来这宣告代数学沿着老路走下去是此路不通”的Η方程仍然有许多人在研究他们研究方程的数值解根的分布或者超越函数的一般解不过这已经不是代数学的主流了∀∃∀∀一∀∃65代数学主要方向的转换也起源于方程论,阿贝尔文章发表之后不久,=伽罗华∋1∗08证明了同样的结论比起他的结论来,他的方法的意义和影响要大得多整个代数学由于他创始的群及域的观念而使自身的对象发生根本的改变的“这种远离古典代数学,异端”“当然不是一下子就被人接受与“经过四,五十年,人们才逐渐感到数学的对象在数学中除了数”形,,”之外,还有,“群”这类的抽象东西更深入的研究发现,,群几乎无处不在一在它的旗帜下数学的正统了但是而且老早就有不仅如此群是数学统一性的象征此时此刻群不仅能使几何学统”说不定整个数学都能用群来统一,“群论已经堂而皇之成为很长时间里人们只停留于研究具体的群,也就是变换群也就是由把方程的根互相置换的所有置换组成的置换群或者是把图形变到它自身的那些变换组成的变换群,我们能不能把各种具体的群的共同特征抽象出来呢Ο能不能不管群的元素具体的特征而只考虑抽象元素构成的群呢Ο古典代数学不正是不考虑符号所代表的具体的数∀世纪已经有了研究方程根的置换的置换群论的运算规则的抽象符号吗Ο−,而只考虑满足数,研究几何图形的变换的变换群或运动群理论理论,研究结晶体的结构的晶体群理论,研究自守函数的离散变换群在这些具体群论的基础上研究流形变换的连续变换群李群理论等等很自然,自会有人研究抽象群理论虽然很早就有人提出抽象群的概念,−世纪末但是只有到∀当抽象群可以概括所有具体群的共通性质时,,而且能够通过抽象方法进行研究取得巨大成就来论证自己独立存在的价值抽象群论才应运而生有了抽象群的概念之后,可以很自然地把许多具体群论的结果都推广到抽象群论中来,但是更主要的是要有自己的研究课题,,,∀抽象群的基本问题是群的结构及分类问题于元素数目少的群极为复杂去例如求出给定元素数的所有不一样的群,对这问题只需要一个一个去试,去列乘法表即可,当数目增高时,这问题因为一个群里还会有各种子群,子群里又有子群,子子孙孙有时可以无限延伸下于是我们可以把这个问题分成两部份!一是找出比较基本的简单的群是把这些单群组成复杂的群样的分子前者就相当于找出群的原子后者就相当于由原子组成各种各—单群再就这个问题显然是群论里最根本的问题,特别令人兴奋的是有限单群的分类问题也是域论的创始人在一两年前已经完全解决这是抽象群论的伟大胜利抽象代数的另外一个分支是域论伽罗华不仅仅是群论的创始者他的域是由,只不过他并没有建立抽象域的观念而已(个数,∋,。一。经过加减乘除零不做除数后所得到的所有数的集合全体就是这种域的好标本数数域的概念这种域并不新鲜有理数全体实数全体复数除了这些域之外∀;;;一∀,,,。戴德金Π:.3>3Κ0(>3+∀∃6∀一∀−∀4还引进了代高斯=∋:88和库末尔ϑ…Θ∋ΑΑ∀,∀%一∀,−∀。,都引进过具体的∋”∋代数数一也就是代数方程(ΓΘ。扩一Θ一Γ十∋二∗的根其中都是有4%一理数小而戴德金把它们一起来考虑,构成一个代数数域代数数域非常之多,它们有大有但都包含最小的无限域,个分支5,;也是现代抽象代数的主要来源之一,—有理数域代数数域的理论构成现在蓬勃发展的代数数论这∀−∀。年斯坦尼兹虽然有了许多具体的域为模型但是抽象的域理论一直到)830(0)!,一∀−5∃才开始形成前进爱米!走出公式的丛林诺特的抽象代数学体系就是在这种背景下产生的,第一次世界大战后不久她的”研究方向出现一个急转弯作则不屑一顾后来的工作集中于现在所说的,“环论”这时她对自己以前的工!有人提到她那工作量惊人的论文时她轻蔑地回答说那些公式的丛林Ρ她的思想方式完全改变了现在她完全用自己独创的思想同态概念公理来思考整天与同构模剩余类,理想去打交道(,不再搞那些一眼望不到边的计算正是她开辟的这条近!世代数的途径范“完全改变了代数学的面貌3>+德∋瓦尔登Δ,Χ,∋3+>3(∀−%6一说爱米诺特在这时期工作的主导思想是数函数运算之间的关系在由它们的特殊对象分离开来并且表述为普遍适用的概念之,后就变得更加透彻明朗更可广泛地应用产生更加丰富的结果,”第一次大战以后她的研究大致可以分成两个阶段理想理论都更一般的文章埃米尔“,以∀−5,年划界前一阶段主要是一般+,后一阶段主要是结合代数理论她和史迈德勒Λ8ΜΕΑ3记13,∀∃−%一∀−4−的合写的著名文章是前一阶段的起点在这篇文章中研究的是微分算子环比她以后研究的环其中首先出现了右理想及左理想的概念”而抽象环论真正的奠基性工作是∀−5∀年整环的理想理论,不过爱米诺特对于理想理论乃至更一般的模论的兴趣并不是从战后才开始4从她和1∋?弗歇尔的通信及∀−∀;年月在德国数学会的讲演可以看出她很早就钻研过这方面的所有前人的工作象美国数学家拉斯克<∀∃45一∀−6;7∋8Κ3+∀∃4∃一∀−#5及麦考莱Ι,Φ∋3∋:等人的工作,长期以来就不为大家所知道4,甚至美国数学家都不怎么了解,更不用说德国的数学家了斯克的工作的的在∀−∀;年月爱米诺特在德国数学联合会上的报告就是介绍拉当然,德国数学家特别是希尔伯特的思想及著作对她更是有决定性的影响,爱米∀−6%诺特在创立抽象代数理论时,吸收了过去著名数学家的许多思想,用自己的方法加以整理提炼的评注产生了惊人的结果她受影响最大的可以说是戴德金,她同其他人一起于,年到∀−65年编辑出版了戴德金的三卷全集她用自己的语言”,在戴德金的许多文章末尾她都加上了自己自己的概念清晰地解释了经典著作的关键所在及以后的发展她说过,这表明她的抽象化不是天上掉下来的为抽象而抽象的东西,她的研究很多“已经在戴德金的著作中就有消化前人成果,这不仅反映她的谦虚而且也说明她既善于学习又能独立思考,汇成自己的思想体系她的抽象代数的文章是从理想理论开始的来代数数论发展的自然结果题来的理想这个概念并不是她的发明而是百年以代数数论是从整数论中不定方程也叫丢番图方程的求解问+其中特别是费尔马Ι3Α∋)∀4%∀一∀44,,大定理的研究直接刺激代数数论的形成以,及理想概念的产生在解决费尔马大定理时库尔末发现某些代数数域里代数整数即满足整系数代数方程Γ(Θ!、护一Θ…Θ。一Γ十∋Σ%的根并不能象有理整数那样唯一地分解成素因子之积库末尔想了一个办法引进一些理想数使唯一因子分解定理又可得到恢复戴德金的理想就是从这个理想数的概念中产生出来的里4戴德金看出一个整数是同这个整数的所有倍数的集合一一对应与Τ∗,比如在通常整数的集合,士4,士∀5,士∀,,士5#…Υ这个4的倍数的集合相对应5与Τ∗士5士#士4士∃…蛋这个偶数的集合相对应这个观念不仅可以推广到代数整数上也可以推广到理想数上面这样得到的集合他就称之为理想了对于代数整数的集合戴德金于是就证明理想可以唯一分解成素理想的乘积理想的另外一个来源是代数几何学代数几何学研究由代数方程所定义的曲线,曲面等等在某个代数曲线或代数曲面匕如果某个多项式为零ς则这个多项式乘以任何多项式也“等于零所以在这个代数曲线或代数曲面上等于零的多项式的集合也构成一个,理想”整数的集合也好多项式的集合也好它们的元素相加,,相减相乘仍然属于这个集合这种集合称为环例的考察,对于这种抽象环,爱米诺特引进了抽象的理想概念,她通过具体环的实抽象出来其共同特征研究其中最重要一类环即每个理想都满足升链条件后来这种环称为诺特环诺特用这种公理定义的环推广了多项式环的准素分解定理即任何理想是准素理想的交她不仅推广以前的结果成是抽象代数诞生之时更重要是抽象公理方法取得首次伟大胜利因此有些人把∀−5%年看其后她证明了希尔伯特的零点定理也是在一般条件下得到的交换环论还必需对于代数数论的结果做出自己的回答爱米诺特在∀−5,年用五条公理来刻划一类包含代数整数环在内的环证明对于这类抽象的环,她称之为五公理环,后来人们改称之为戴德金环她戴德金证明的理想唯一分解为素理想的乘积的定理也成立通过这三个定理的证明她奠定了交换环论及其应用的基础五六十年来代数数论,交换环论拓扑学不仅理论获得巨大的发展成为代数学一门重要分支多复变函数论乃至组合理论上都有重要的应用而且在代数儿何回顾起来正是她的方法给这门学科以强大生命力无怪乎卡普兰斯基ϑ∋Ω1∋(8Κ?,∀−∀;一说她无愧为抽象代数之母哥丁根爱米癖!诺特的孩子们诺特一辈子没有结婚,她把全部精力献给她热爱的数学她没有老处女那种怪他们形成了哥丁根的恰恰相反她很喜欢与别人进行合作与交流正是因为这样她完全没有私心“,她总是把自己的思想告,诉别人甚至让别人发表,,她的周围集中了大批学生一个十分热闹的大家庭而这些二三十岁的年轻人往往被称为诺特的孩子们”有另孩子也有女孩子爱米许多人后来也很出名,诺特在哥丁根最活跃的时期是5%年代民生凋蔽,当时第一次世界大战德国战败“第二帝国,被推翻左派,战后德国经济萧条,年轻人关心爱米德国到何处去Ο””从左翼社会民主主她同情义到极右翼的法西斯主义各种思潮纷纷涌现诺特没有把自己置身政治之外参加过社会民主党被人攻击为“信仰马克思主义的犹太女人5%年代的魏玛共和国对于这位犹太女人有多大好处呢Ο少得可怜Η∀−55年,∀−5%年她获得了讲课,资格这就是说可以靠讲课从听课学生那里收费,她升为编外副教授,但是这只是,个空头衔没有义务也没有薪水∀−56年在大家努力争取之下给她一点点薪水每月一45一5%%一#%马克,而且还得每年经教育部批准一直到∀−66年希特勒上台,,她就是靠这点薪水,维持她那极为朴素的生活不连贯,诺特在二十年代初开始讲课了非同一般的热情虽然她的教学才能不能算太高明讲课内容缺少系统性,没有整理成为一个完善的形式但是,,她往往把自己独创的思想讲出来,而且充满对于感兴趣的人来说,她讲课很富有启发性,常常激发学生们主动思,考,而在课下她喜欢同学生们一起讨论她对自己的物质生活不很介意许多结果就是讨论以后由学生整理成的完美形式热烈地讨论问题,,她经常同学生一起散步,有时连下雨建议她去修也不觉得补修补伞,,有这么一个传说“,!她有一把旧伞可是却不怎么用,有人看不过去,,爱米却回答说!,你说得不错”,不过很难办到因为要是不下雨,我就想不到雨而要是下雨我可就需要用伞了,不仅雨伞这种小事,甚至连衣食也很少考虑,,有人开她的玩笑一般的饭菜说她总是在相同的时间她没有时间烧饭在同一个小饭馆里,坐在同一个座位上,吃着同一种但是总同时不不过在星期夭她也在她那阁楼的小厨房中烧点饭菜是招待她的学生吃完午饭后,就一起出去散步他们总是谈数学,在乡下走很长很长的,路,累了就坐在草地或木头上继续讨论晚上回来“爱米在厨房里为他们堆备布丁”,停地讲她的代数去世,许多年轻学生就是通过这种散步教学,吸收爱米的思想的她的个人生活也是很不幸福的∀−∀,年她母亲去世后她的父亲和大弟弟,小弟弟相继身边一个亲人也没有,她心里很难过但是,她把不愉快和痛苦当做生活中自然的一部分对待之无愧的她的弟弟弗里茨早当上数学教授了,她却没有当上一直也没有∀−6%年希尔伯特退休以后外尔继承他的教授职位,外尔是个杰出的数学家,作为希尔伯特的继承人是当他到了哥丁根之后经常同爱米,诺特一起散步讨论数学他很谦虚地说 他感到爱米许多地方比他强她连教授都不是使他很不安%年代在5,他替她去教育部争取可是那又有什么用呢Ο外尔和许许多多数学家都注意到诺特和她的圈子确实,,哥丁根大学数学系中最活跃的是爱米,相比之下四位正教授加在一起所培养出来的学生却少得多她不是那种有怪僻的数学家喜欢一个人闷着头搞,她喜欢同年轻人在一起她教过许多学生指导许多学生的博士论文,她喜欢他们,也许正是在同这些年轻人的交往中她没有他焕发出青春的活力们,找到生活的乐趣她的思想也正是靠这些年轻人发展和传播抽象代数学的思想就不会那么快地成长并且而其中范∀−%6在整个数学中普及开来是最突出的范德瓦尔登出生于德瓦尔登在年5月,,5日有兰他在阿姆斯特丹大学毕业后∀−5#年到达哥丁根他对代数几何学很有兴趣并且研究给代数几何学打下严格的基础他一见到爱米,诺她特,能把自己的研究结果给她看而这工作正是她父亲马克斯诺特的!“基本定理的推广告诉范正确的,德瓦尔登“你到现在所得的结果是不过拉斯克和麦考莱已经得到了更为一”般的结果而且她还把自己和她的学生亨采特/3(Ξ)3Ε的文章送给他学习他发现爱米诺诺特与范特已经给代数几何学基础创造出强有力的代数工德瓦尔登一46一具,而这正是他所需要的他不久就掌握爱米爱米之前思想,诺特的思想,写出论文,诺特马上推荐发表德根本没有提到刚好在范瓦尔登到哥丁根她已经在讲课中讲授过同样的这种情况是他很久之后听一位当时听过她讲课的学生说的爱米诺特把许多代数结果在她,的讲课中加以系统的阐述特和阿丁的讲义的基础上,,形成了当时根本没有的抽象代数学体系在诺范》德瓦尔登整理成为近世代数学二卷Ψ一诺特与阿丁,‘。∀−6∀年出版于∀−6。和分别年”刀〕一一Ψ卜ΨΨ的出版在世界数学界引起了轰动那刀3ΖΖ这部书时,布尔巴基学派的主要成员丢东涅.0,>∗:((4∀−%4一,正在柏林他在这本书发行那天就立即买来他说,“看到这个在我面前打开的新世界,,我简直惊呆了”他那时早已从高等,师范学校毕业书大不相同因此,却不知道什么是理想而且才刚刚知道什么是群1五十年来这部书不仅引导大批数学家进人新的领域而且以后代数学书的写法大致类似范,德瓦尔登了而和以前的,更重要的是它传播了爱米“诺特的思想,根本改变了代数学的整个面貌)这本书的第四版千脆把,近世”去掉,堂而皇之称为&代数学!。。/》她对于来自苏联的年轻拓扑学家亚历山大洛夫(Ν二3即。!∀∃−4一等人也十分关心经常一起讨论她对这门新兴学科,一理论的发展很重要尤其是她把当时的同调不变量总括成分同调群对于拓扑学的发展具有才使代数拓扑学正式产生,—爱米拓扑学很感兴趣她的许多关键思想对于这根本的意义拓扑学的正是同调群的出现它正是用抽象代数工具来研究在亚历山大洛夫等人的热情邀请之下联抽象代数学的发展二施米特%刃瓜/Ν诺特在∀−5∃年冬天到莫斯科她在莫斯科大学讲抽象代数课并主持代数几何学讨论班,她很快影响了一批苏联的年轻人Μ,直接推动苏∀−%∃一和她还同莫斯科许多数学家建立了接触特别是邦德里亚金几!,(。,![!+,/,∀∃−∀一∀−,4邦德里亚金是个瞎子,他后来在拓扑群及代数拓扑中做出重大贡献学家,,他的工作中的代数风味无疑反映出诺特对他的影响+施米特是苏联著名地理∀−%∃一在诺特影响下,也是苏联开始进行群论研究的人他和库洛什Ν,1ϑ?Ω∗(开辟了苏联的群论重要方向由于她思想进步回哥丁根时,,成为苏联群论学派的创始人,对于当时苏联的生活与科学工作有兴趣而引起了一些人的讥讽于是有人就挖苦她说!她返讲苏联这好那好,“爱米诺特太近视了,以致什么也没有看见Ρ抽象代数一本∀−;% ,”二十年代日本的正田建次郎∀−%5一∀−;;就到哥丁根跟着诺特学习他很快掌握了马上回日本进行普及,,继范德瓦尔登。近世代数学,,之后,正田用日文写了抽象代数学是继范德瓦尔登以后第一本抽象代数的书后来末纲恕一∀∃−∃一从此日本数学家或者到德国留学或者在∀−5∃到∀−5−年也到哥丁根参加诺特的圈子4#一一在日本进修车屋五郎爱米迅速产生出一大批有国际声誉的代数学家象秋月康夫浅野启三中山正永田雅宜等人诺特的他们直接继承诺特的传统推动了抽象代数学的发展!“孩子”中还有中国代数学家曾烟之曾烟之的博士论文是在诺特的直对于代数封闭域上单变量(,接指导下完成的代数函数域Ι他的结果中有现代文献经常引用的曾烟之定理Ι以为系数的代数方程如无常数项且次数,>小于未知数个数,则在Ι,中存在一个非零解爱米的函数论这定理后来有许多推广遗憾的是抗日战争时期曾烟之在西康去世,没有能够使抽象代数在中国迅速普及诺特更主要的影响是对布尔巴基成员的思想启示老头子们对于当时抽象代数在5%年代也不知道13法国数学是)背一色拓扑学泛函分析等新事物不感兴趣“%年代的高5等师范学校的毕业生不懂得什么环主要是德国学习了德国模理想,甚至连群,”他们开始向国外魏伊Χ,310∀−%4一狄多涅薛华荔&Ε3Δ∋?∀−%−一等人先后来到直接向诺特等人学习而这正是他们日后组织起来用数学结构统一数学的思想华代数数论等方面础他们在二次大战期Ρ>还把抽象代数方法应用于代数几何学3’爱米使得这些学科得到极大的推动形势之下诺特在∀−5∃年给哈塞的一封信里只有一位法国学者沙特来Ν提到在德国的抽象代数学这么热火朝天的发展)&Ε∗)313∀∃∃6一∀−4%是真正关心这,方面的问题在这方面进行研究的呼吸到新鲜空气发其后不久,那些法国年轻数学家才进人爱米诺特的圈子里,他们不∀面前打开的正是一个完全新的世界在他Τ’Ρ∀−5−年薛华荔刚刚从高等师范学校毕业,就到了哥丁根听诺特的课他受到极大的启,很快就写出几篇关于代数数论的论文从此他同诺特哈塞进行频繁的交流使他很快他在数学就完成了重要的工作厄布朗/3+几乎所有方面都做出突出贡献2+∋(—>类域论的算术化魏伊可以说是当代最杰出的数学家了诺特的抽象代数方法对他后来的工作影响极大是法国一位了不起的天才数学家∀,∀−%∃一∀−6,∀−5∃年他从高等师范学校毕业以后同薛毕荔一样,他受到诺特及阿丁的影响在类域论方面写了十篇论文不仅如此他还是头一位搞数学逻辑的法国数学家他证明了著名的厄布朗定理而且建议哥德从此开辟了现代数学逻辑一个巨大分支,,尔用一般递归函数的概念周游汉堡丁根以后∀−6∀年厄布朗到德国柏林最后到哥丁根他的天才成就不只一次引起了德国数学家的赞叹那时候他整天同她一起讨论到了哥他想跟爱米诺特学习理想理论,;月份他到阿尔卑斯山去爬山显著的缺门不幸失足坠崖身死年仅56岁“他的过早去世使法国数学中数理逻辑成为一个也使布尔巴基学派丧夫了一个天才的同伴她还说!听到这个消息爱米诺特心情十分而且自己还同沉痛魏伊一两个星期之后我心里总是摆脱不掉厄布朗”她把这位年轻人寄给她的信及手稿补充整理用厄布朗的名字发表作为她对这位年轻数学家的纪念,薛华荔一起发表纪念文章对于这些结识不久的外国年轻人“她不仅是位良师而且是位慈母∴诺特的数学研究和数学以及她的孩子们”给哥丁根带来了光辉!并且对世界上其他囚“家的数学发展产生了巨大的影响的年轻人这真是哥丁根学派行将没落之前的回光反照”它使人想起希尔伯特时哥丁根的黄金时代一个不只是德国的几位年富力强的富有独创性的大师一批批才华横溢,而且是欧洲甚至全世界的数学中心%年代在5爱米诺特把这个黄金时代小规模地再现于哥丁根一4,一晚说来也怪,年!流亡美国爱米%岁才进人她创造性的黄金时代诺特一直到近#而一般来讲,二三十岁才是数学创造性的顶峰她那种乐观主义和献身精神学的主流了况且,她是处在那样一个个人生活极不安定的时代要是没有抽象代数学这朵奇花决不会开得那样早那样美抽象代数学在5%年代初如果还不能说十分普及她的工作受到国内和国际上广泛重视,,到5%年代初就已经成为代数%年代末至6∀−5∃年希尔伯特率领代表团参加在意大利波隆那举行的国际数学家大会次国际数学家大会上女数学家极的启发诺特被邀请作分组报告而在∀−65年在苏黎世举行的下一她被邀请作大会报告直到现在她大概是享有这么高国际声誉的唯一她不仅对于自己的学生有莫大影响而且还对于许多当时著名数学家的研究工作有着积他们多多少少都受到诺特的抽象代数的思想方式的影响(,例如爱密尔阿丁<Α01Ν+0)∀∃−∃−45继诺特之后研究降链条件环一李超复数系实域等成为抽象代数诺特的预见的重要组成部分哈塞是诺特后期主要合作者他的数论工作受到诺特的启发性很强,她看到各种结构之间的相似性她告诉哈塞代数数论中常用的范剩余记号无非就她同后来在抽象代数做出巨大贡献的克是循环代数这个预言成为后来发展的转折点同样鲁尔Λϑ+,11:∀∃−−一∀−;∀和布劳尔也经常进行交流据同时代人回忆,有一次她回到家乡埃尔兰根的理论,在一次聚会上遇到克鲁尔他们便热心地交谈起来,好象周围没有人一样∀−5,年她结束交换环论的奠基性的工作,又向另一个大领域进军,这个领域是结合代数虽然结合代数与交换环同属环论它们的来源完全不同发展道路也不一样自从复数在数论/。Α代数分析上应用取得巨大成功以后许多人自然考虑能不能有一些Χ更新的数也能进行通常数的运算并有相应的性质∋首先取得成功的是哈密尔顿Π)10∗(∀∃%,一∀∃4,他在找寻能保持实数或复数性质的三维的数失败之后进而寻找四0维的数的资格,即四个分量的数他发现了四元数Θ0ΕΘ]ΜΘ>Κ00Κ很像复数的单位只”是它们的乘法不再满足乘法交换律了这一点牺牲换来它能够自由进行加减乘除而成为数哈密尔顿发现了四元数之后。Γ,就立即把四元数应用于数学及物理学在他的影响,下,麦克斯韦ΦΛ31∀∃6∀一∀∃;−也在电磁理论中有意识地运用四元数,不过四元数从来不象复数那样发展成一套数学四元数可以说是头一种“−世纪末为向量所取代至于在物理上的应用则在∀”,超复数其后,各种超复数相继出现他称为∀∃;%年美国数学家老“皮尔斯⊥3(]∋Α0([30+33∀,%;一∀,,%总结了已知的超复数线性结合代数”这她就是结合环理论的前身爱米,诺特运用自己独特的方法建立了系统的非交换代数理论再次显示出她的深刻的洞察力早在∀−5,年,把以前平行发展的几个理论理论统一成为一个一般的非交换代数理论—群表示理论模理论与理想她在德国数学联合会上的报告,已经指出群表示论的核心都分标理论与理想理论有关系表示论中的分裂域可以用研究代数结构的重要工具爱米后来在∀−5;一5∃年度的讲课中又对这些过去认为互不相同的领域—群特征的统一性加以深刻的阐明和推广“结果她把老的表示论从复数域直接推广到一般的域上的语言来刻划“而代数”反过来,分裂域与伽罗华群的交叉积成为诺特在∀−5−年提出一般的交叉积”概念这推广了以前的循环代数概念这些概一44一念对于代数数论有着极为重要的影响对于代数数论的重要分支爱米诺特清楚地看到,她所发展的结合代数的理论∀−%∀一∀−;;一起证明了长期上同时和哈塞/“/”∋883!—类域论也是重要的工具她把类域论建立在结合代数的基础⊥+∋:3+∀∃−∃一∀−;−布劳尔Π猜想的代数主定理代数数域上任何中心单代数都是循环代数这是抽象代数方法的一个伟大胜利由于有了明确的表述她用交叉积代替循环代数就可以把某些类域论的定理如主类定理推广到非阿贝尔扩张上面一直到现在,这种所谓非阿贝尔类域论的结果还是不多的她的这些成就使得极为保守的数学家也不能不为之叹服∀−65她在年国际数学家大会上做大会报告时,许多在数论及代数方面进行多年工作的专家,学者对于爱米诺特以其独特的抽象方法一举漂亮地解决许多他们用计算的老方法长期攻不动的问题都深为惊异在代数和数论上的卓越成就Μ2(:+由于她她和阿丁在∀−65年获得了阿克曼特布纳ΝΝΜΚ3+Α(∋(一_3奖这些到她五十岁才姗珊来迟的荣誉说明数学界最终还是承认她的伟大创造新生事物是不可战胜的播她的思想有十几位年轻人跟随她做博士论文“有更多的人向她学习,传正是这位外表象∀洗衣妇”的女性开拓了数学的新领域指明后来数学发展的纳粹分子在各个领域新方向夺了权<∀−66,年月,希特勒上台,很快就公布解除犹太人的公职的法令#实行全面法西斯专政∋∋:,月份Π,诺特被剥夺了教课的权利和微薄的薪水对于那些掌权的匪徒进行斗争并没有也不会取得任何结果7∋:哥丁根的主要代表人物爱米诺特Φ朗道∗+(∀∃;;一Γ−68库朗∋(3&∗:+∋()∀,∃∃一∀−45物理学家玻恩⊥∀,,5一∀−;%法朗克≅Ι+Κ∀,,5一∀−4#,一概被赶走了爱米诺特是多么留恋美好的哥丁根啊Η她的朋友。≅Ε(她的孩子们都在这里可是又有什么办法呢Ο惠勒Ν((∋大西洋彼岸伸出了救援之手8∗(一位曾在哥丁根留过学的美国女数学家安娜Ω311ΛΕ3313+∀,,6一∀−44为爱米在自已主管的布兰毛恩女子学院找到一份工作这真是一个极为难得的机会要知道那时美国是难得找到合适的工作的许多杰出的美国数学家都在教中学糊口即使这样像魏伊ΝΛ,301那样的了不起的数学家在美国靠教三角,保险数学惠勒女士为她安排很轻的教学任务只让她主持讨论班,指导研究生她仍然觉得寂寞于是她常常到普林斯顿新成立的高等研究院,同那里的第一流大数学家外尔不过冯诺意曼等人进行学术交流,高等研究院也许会成为第二个哥丁根她还是怀念哥丁根的岁月她一直同哈塞保持着联系她又回到德国哈塞是个相当棒的数学家,,在当时还不像个狂热的纳粹分子丁根的当年的光荣所以诺特还对哈塞抱有一定的幻想认为他也许能够恢复哥∀−6#年夏天在各地看看老朋友,谁知这次见而竞成永诀了∀−6#年秋夭,她离开欧洲返回美国月份她指导了最后一个学生博士论文,还同几个女博士一起搞研究∀−6,年#,她动了一次手术结果得了并发症,不到一星期就与世长辞她只活了,6岁她在美国只呆了一年半在美国,人们却都怀着沉痛的心情悼念她她的好多学生在多年之后还带着感情回忆着她对他们的关怀与培养爱因斯坦为她写了讣文,外尔发表纪念演讲苏联人也没有忘掉她的好处亚历山大洛夫发表了纪念演说她的荷兰学生范的教授,只有德国是一潭死水几乎没有什么反应唯一的纪念文章是德瓦尔登写的而她寄托很大的希望的哈塞却在∀−6#年的确成为哥丁根他很快向纳粹靠拢∀−6;年加人了纳粹党许多德国的著名数学家仍然称颂爱米诺特只是在纳粹的淫威之下∀−∃5年6不公开表示出来就是了月5#日是爱来诺特百年诞辰世界各地都举行一些纪念活动∀−∀年底出了∃纪念文集∀−∃5年美国数学会举行纪念会许多专家介绍爱米28∗(诺特生平著作及其对后来她数学的影响∋Μ∗最有意义的是贾柯比孙Β≅−∀∀%一编辑的爱米诺特全集出版的全集篇幅不多爱米其中的文章大都已经成为经典著作许多结果早就写进教科书中成为现“代代数学的教育的出发点诺特去世后半个世纪非抽象的她所开创的抽象代数学已经成为代数学的无可争辩的代名词”“”代数学不能说没有不过确实只是代数学的支流旁系而已“诺特的抽象思想方法不仅决定其后代数学的发展巴基学派的兴起一数学也促使整个数学代数化”在这方面首先是布尔以数学结构的观念统他们继承了希尔伯特和爱米诺特等人的健康倾向泛函分析同时他们对于数学本身许多学科做出极大的实质性贡献布尔巴基学派的成员对干代数数论代数几何拓扑学李群代数群微分几何等方面都有卓越的贡献这些都是同他们吸收了前人包括爱米主诺特的思想方法分不开的要参3+83+考文献 门≅α<ΝΒ∗3)Ε3+&∗1133)0Δ3Χ∗+Κ8∀−∃5⎯Ω+0(α∋∗.03Κ>3+<ΑΑ?Β∗3)五3+∀−;%3⊥0+ΚΕ∋:83ββ∋(ΧΧ∋3+∋3+>3(3(.03χ(Ν1α)Ε32+∋0)=∗108≅∋Ε+38⊥∗∗Κ.Φβ4,!#∀,,一∀46Ν1α32+∋∀−44Φ∋)Ε!∋(>3+>⎯∗:+338δΦ?Φ∗>3+(/08)∀6∀一#∀∀−;,&页∋∃上接第%研究成果以后再全面铺开教学工作现成的教材只能是边教学边研究在普及中求得提高,我们办的因为没有这次讲习班就是在这种思想指导下所作的一次尝试教学本身就是一种研究活动这就需要教师在准备教学的过程中大量收集整理有关的资料,在编写讲义的过程中系统整理自己的思想在讲授课程的过程中大胆抒发自己的见解,在目前国内系统研究成果尚少的状况下中可以较多地引进国外的教学体系,在讲授过程除注意如实阐述西方科学哲学各流派的学术观点以外也要用马克思主义的立场和观点对这些流派作出尽可能中肯的批判和分析并在此基础上力争在较短的时间内取得较有影响的研究成果,编写出能反映我国科学哲学研究水平的教材为了达到这个目的大家普遍反映,(目前我们对国外科学哲学动态了解得还不够对国外重大研究成果引进还太少多已翻译出版的科学哲学著作寥寥可数就是原版外文资料也不从这次讲习班的准备过”这就使大家还不可能对科学哲学进行比较全面系统地深入研究,程中为此我们也深深感到大家建议,,,资料收集工作确实十分困难大有“巧媳妇难为无米之炊之感,是否能由中国社会科学院哲学研究所或全国自然辩证法研究会出面通过这个中心全囚通力合作研究资料形成一个科学哲学研究和交流中心可以系统地收集和整理一此给大家提供方便,及时交流教学与研究成果定期组织培训骨干起到全面提高全国科学哲学教学与研究水平的作用另外,大家还呼吁出版部门能重视科学哲学的译著和###月##刀∀专著的出版工作一)∗改变出书难的状况一
