北师大版小学数学六年级上册第一单元《圆的面积(一)》教学建议及课后习题解析

学习目标

1.结合实例认识圆的面积，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式。

2.在探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的思想。

编写说明

圆面积的计算是一个难点，与探索圆的周长计算公式相类似：探索圆的面积与圆的半径之间的关系。数学家最终发现圆的面积与半径平方之间的关系——圆的面积与半径平方的比是一个固定的数（圆周率π）。考虑到学生的认知水平，教科书先用方格纸为工具进行度量，然后采用分割的方法将圆转化为近似的平行四边形，在无限细分的情况下进而得出圆的面积计算公式。

教科书直接呈现问题“如何得到一个圆的面积”，问题1用度量的方法得到圆的面积的近似值；问题2是把圆等分拼成近似的平行四边形；问题3是探索在什么条件下所拼出的近似的平行四边形更接*行四边形；问题4是推导圆的面积的计算公式。

·如何得到一个圆的面积呢？想一想，并与同伴交流。 本问题主要是复习面积的意义和用方格纸度量面积的方法。教科书呈现学生的两种思路：一种思路是在圆内画出一个最大的正方形，如果用这个正方形面积表示圆的面积，误差太大，所以需要解决剩下

的部分怎么度量。这个想法是有价值的，如果能想到把圆内最大的正方形换成圆内最大的正八边形，用这个正八边形的面积表示圆的面积，那么误差就小得多了（练一练第2题延续了这个思路）。另一种思路就是用方格纸度量，“画方格数一数”是学生已经具有的经验（练一练第1题的内容）。

·能否将圆转化成以前学过的图形呢？做一做。

如何把圆转化成已学过的图形？教科书呈现了把圆8等分、16等分，并拼成近似的平行四边形的两种做法，重在培养学生分析问题的能力。将圆转化成学过的图形，需要考虑两个问题：①通过对圆周的切割，可以把较短的曲线看成线段，实现“以直代曲”；②因为半径决定圆的大小，因此切割成的图形要保留圆的半径这个特征要素。基于这些思考，才把圆等分成扇形，并用这些扇形拼成近似的平行四边形。这个近似的平行四边形的一边是圆的半径，另一“边”通过“以直代曲”，这个近似的平行四边形才变成已学过的平行四边形。

·看一看，想一想，圆等分的份数越多，拼出的圆形越接近什么形状？

教科书把圆32等分所拼成的图形，与问题2中把圆8等分和16等分所拼成的图形相比，不难发现：圆等分的份数越多，拼出的图形越接*行四边形。

·拼成的平行四边形与原来的圆之间有什么联系？

这个问题是推导圆的面积公式的关键所在，通过想象把圆等分成无穷多个扇形，那么由这无穷多个扇形所拼成的“曲边”就化曲为直

了。因此，所拼成的平行四边形的底相当于圆的半周长，高相当于圆的半径，进而得到圆面积的计算公式：圆的面积=圆周率×半径的平方，即Sπr2。

教学建议

·如何得到一个圆的面积呢？想一想，并与同伴交流。 教师可以提出“如何得到一个圆的面积呢”的探索问题，让学生回顾如何得到一个平行四边形面积的方法，激活学生已有的探索图形面积的数学活动经验（用方格纸度量，或转化成长方形计算面积）。可以让学生先在小组中交流然后全班交流，学生会有很多方法，如教科书中呈现的“比圆内的正方形面积大……”“我把圆放到方格纸上……”；还有的学生可能提出“比圆外的正方形面积小”“在圆内画三角形（如图）”等等，可能与教科书的方法不同。教师应该引导到工具度量的方法上来，让学生体会工具度量是基本的度量策略。然后对提出的方法进行分析，思考哪些方法可以算出圆的面积；不能算出圆面积的方法中，哪种方法更接近圆的面积。

如果学生没有提出将圆转化成已学过的图形的这种方法，则教师可提出：“能否将圆转化成以前学过的图形呢？”

·能否将圆转化成以前学过的图形呢？做一做。

指导学生将圆先8等分，拼一拼；然后再16等分，拼一拼。这样做把圆都拼成了近似的平行四边形，要让学生看一看、说一说、比一比。让学生了解所拼出近似的平行四边形还必须通过“以直代曲”才转化为平行四边形。教师还应该引导学生反思：怎么想到要把圆等分成扇形？要揭示这个思考与发现的过程。

·看一看，想一想，圆等分的份数越多，拼出的图形越接近什么形状？

在8等分、16等分的基础上，引导学生思考怎样使拼成的图形更接近学过的图形。学生可能提出“圆等分的份数越多，拼出的图形就越接*行四边形”。然后教师可利用课件展示（或看书），让学生看一看32等分圆所拼成的图形更接近什么图形的形状。想一想如果再细分成64等分、128等分，拼成图形更接近什么图形的形状。由此得出圆等分的份数越多，拼出的图形越接*行四边形。

·拼成的平行四边形与原来的圆有什么联系？

教学时建议教师首先要让学生明白“联系”指的是什么，也就是平行四边形的底和高分别与什么有联系，进一步思考有怎样的联系。发现拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半（πr），高相当于圆的半径（r）。由平行四边形的面积等于“底×高”，从而得出圆的面积等于“πr×r”，即圆的面积Sπr2，并会用语言表达圆面积的计算公式：“圆的面积=圆周率×半径的平方”。

练一练

练一练一共安排了3道题，其中第1题是配合问题1，鼓励学生利用方格估计圆的面积；第2题是侧重用正多边形的面积近似地表示圆的面积，启发学生发现圆的面积与圆外的正多边形面积、圆内正多边形面积的关系；第3题鼓励学生再次经历圆面积计算公式的推导过程。

第1题

目的是利用方格估计圆的面积，可以让学生独立练习，教师根据学生的练习反馈情况进行必要的指导。

第2题

用圆内接正多边形和圆外切正多边形估计圆的面积，目的是使学生体会圆的面积比圆外的正多边形面积小，比圆内的正多边形面积大，进而发现正多边形边数越多，圆外切正多边形和圆内接正多边形的面积越接近圆的面积。

第3题

目的是启发学生将圆转化为近似的长方形，分析拼成的长方形与原来的圆之间有什么联系，然后推导出圆的面积的计算公式。