辽宁六校协作体2018－2019学年高二下学期期中考
数学（文）试题
命题学校：东港市第二中学 命题人：林丹 校对人：阮征 负责人：梁景玉
第Ⅰ卷
一 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A．C．2．设A．一 3．函数A．0个 4．已知向量A．
B．8 B． D．
，则在复平面对应的点位于第 ( )象限
B．二 的图象与函数
B．1个
，且
C．C．三
D．四
的图象的交点个数为( ) C．2个
，则
D．3个
（ ）
D．6
5．已知抛物线的值为（ ） A．1 6．已知A．16
的焦点为，点在该抛物线上，且在轴上的投影为点，则
B．2 ，并且
B．12
C．3
成等差数列，则
C．9
D．4
的最小值为( )
D．8
7．若a，b都是实数，则“A．充分不必要条件 C．充要条件
>0”是“a2－b2>0”的( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其
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余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A．
9．已知直三棱柱值为（ ）
B．
C．
的所有棱长都相等，为
D．
的中点，则
与
所成角的余弦
A．10．在
B． C．
，
D．
，
，则
中，、、分别为内角、、的对边，若
（ ） A．
B．或
C．
D．或
11．已知双曲线 （，）的两条渐近线与抛物线（
的面积为
）的准线，则
分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的外接圆半径为( ) A．
B．
C．2
D．
12．已知函数为（ ） A．
B．
的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围
C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答. 二 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在曲线
的所有切线中，斜率最小的切线方程为______．
14．设满足约束条件，则，则
的最大值为 ___________． 的值为___________．
15．设为锐角，若
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16．已知三棱锥
，
的四个顶点都在球的球面上，若，则球的表面积为__________．
平面，，
三 解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分） 已知：数列
的前项和为，且
等比数列； 满足
，设
，求数列
的前项和。
。
（1）求证：数列（2）等差数列
18．（本小题满分12分）
某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下： 年龄不大于50岁 年龄大于50岁 合计
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率. 附：
0.100 2.706 ，
0.050 3.841 ，
0.025 5.024 0.010 6.635 支持 10 不支持 70 合计 80 100 辽宁六校协作体2018—2019学年高二下学期期中考试数学（文）试题
19．（本小题满分12分） 已知多面体
中，
，
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求直线
20．（本小题满分12分）
平面与平面
；
所成角的正弦值。
，，为
，的中点。
已知是焦距为点，为线段
的椭圆：的中点．
的右顶点，点，直线交椭圆于
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若
21．（本小题满分12分） 已知函数（1）若（2）求函数
，求曲线
.
在点
处的切线方程；
，求直线的斜率．
的极值点个数.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22．（本小题满分10分） 选修4-4:坐标系与参数方程
设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合.直线
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（t为参数)，曲线
(I)求曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)直线与曲线交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程.
23．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）解不等式：（2）当
时，
． ；
，求实数的取值
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数学（文）试题答案
选择题：1C 2D 3B 4B 5B 6D7A 8D 9A 10 A 11 C 12B 填空题：13 解答题：
17（1）证明：由题意，因为
当当
时,时，
，
，
，
14 2 15 16
可得所以数列
，即是以
，
为首项，2为公比的等比数列…………………….6分 的通项公式和前n项和公式，可得
，解得
，
,
（2）由（1）得数列设所以 所以所以
的公差为，且
…………………….9分
，
。……………12分
18（1）
年龄不大于50岁 年龄大于50岁 合计 支持 20 10 30 不支持 60 10 70 合计 80 20 100 ……………………3分
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（2） ，
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关； …………6分 （3）记5人为
，其中
表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：
共10个，其中至多1位教师有7个基本事
件:
19(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)
，所以所求概率是. …………………12分 .
(Ⅰ)取CE中点F，连接BF，OF，
∵O为CD的中点， ∴OF∥DE，且OF=DE，
∵AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1， ∴OF∥AB，OF=AB， 则四边形ABFO为平行四边形，
∴AO//BF，BF⊆平面BCE，AO⊊平面BCE， ∴AO//平面BCE；…………………6分 (Ⅱ)由题意可得BF//AO， ∵
，∴DE⊥AO，∵AO⊥CD，∴AO⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE
BF⊥DF.∵CD=DE，∴DF⊥CE，∵BF∩CE=F，∴DF⊥平面CBE； ∴∠DBF就是直线BD与平面BEC所成角. …………………9分 在△BDF中，
，
. …………………12分
20（1）由题意得焦距
又点
在椭圆上，
，∴．
∴∴
∴椭圆的方程为
，解得．
，
．…………………4分
，即
．
（2）根据题意得直线的方程为
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由消去整理得．
∵直线与椭圆交于、两点， ∴设则
，
，，
．…………………6分
，解得
．
∵，且 ∴，即．
∴，
∴∴
． ∴
． 即直线的斜率
；（2）见解析
，解得，满足，
．…………………12分
21（1）
（1）依题意，又
，故，
. …………………4分
.
，故所求切线方程为
（2）依题意令所以函数当函数当故存在当当当
时，时，在区间时，
和时，时，
， ， ，所以函数
在
，使得
，则在
，且当
单调递减，在恒成立，单调递增，
时，单调递增，.
无极值点；
当时，
，
，
，
，
单调递减，在的极小值点.
和单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数
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综上所述，当分
时，无极值点；当时，有个极值点. …………………12
22．(Ⅰ) 解：（Ⅰ）由得
，即
(Ⅱ)
，
，代入曲线 …………………5分 ，
对应的参数分别为，
，
（Ⅱ）将代入得，设直线上的点则
所以中点M的轨迹方程为（为参数），
…………………10分
消去参数，得M点的轨迹的普通方程为23．（1）（1）当当即当
（2）
时，原不等式化简为时，原不等式化简为；
时，原不等式化简为
，即．
．
，即，恒成立，
；
综上，原不等式的解集为
（2）画出当直线
时，
恒过定点的图像
，…………………5分
等价于
，点
的图像在直线，
由图像可知：
的上方．
．
…………………10分
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