基于分数阶微积分理论的软土应力_应变关系_殷德顺

岩石力学与工程学报 Vol.28 Supp.1

2009年5月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering May，2009

基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系

殷德顺1，任俊娟2，和成亮1，陈 文1

(1. 河海大学 土木工程学院工程力学系，江苏 南京 210098；2. 鲁东大学 数学与信息学院，山东 烟台 2025)

摘要：利用分数阶微积分理论提出等应变率加载情况下的软土应力–应变关系。关系式显示应力–应变之间呈乘幂函数关系。通过大量的常规(等应变率加载情况下)三轴试验验证基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系，同一种土的分数阶阶数β不随围压变化并能够反映土的“软硬”程度。试验发现，初始弹模与围压呈较好的线性

关系。与邓肯–张模型相比，应力–应变的乘幂关系具有明确的理论基础，这一点与邓肯–张模型纯粹基于曲线形状相似的应力–应变双曲线假设形成鲜明的区别。创新点在于将软土看作介于理想固体和理想流体之间的物质进行研究，并用分数阶微积分理论给出应力–应变关系，这在以往的研究中都没有先例。 关键词：土力学；软土；分数阶微积分；应力–应变关系；等应变率加载；邓肯–张模型

中图分类号：TU 43 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2009)增1–2973–07

STRESS-STAIN RELATION OF SOFT SOIL BASED ON FRACTIONAL

CALCULUS OPERATORS THEORY

YIN Deshun1，REN Junjuan2，HE Chengliang1，CHEN Wen1

(1. Department of Engineering Mechanics，College of Civil Engineering，Hohai University，Nanjing，Jiangsu 210098，China；

2. Department of Mathematics and Information，Ludong University，Yantai，Shandong 2025，China)

Abstract：On the basis of the fractional calculus operator theory，the stress-strain relation of soft soil under the condition of loading with constant strain rate is proposed. The analysis results show that stress–strain of soft soil performs exponent relation，which can be proved by large amounts of triaxial tests(under constant strain rate). It is found that the orderβof fractional calculus keeps constant to the same kind of soil and characterize soft or hard soil. The test results show that there is a linear relationship between confining pressures and initial tangent modulus. Compared with Duncan-Chang model that hypothesizes stress-strain relation is hyperbolic in response to similar shape of experimental curve，the stress-strain relation from the fractional calculus has rigorous theoretical background. The major innovation of our researches is that the soil is considered as the matter whose behaviors are intermediate between that of the ideal solid and fluid，and it also may be the first known application of fractional calculus in soil stress-strain relation.

Key words：soil mechanics；soft soil；fractional calculus；stress-strain relationship；loading with constant strain rate；Duncan-Change model

设，但同时，软土土质十分软弱和不稳定问题也给海岸、土木和水利等工程建设带来非常大的困惑[1

～5]

1 引 言

长期以来工程界非常重视软土地基上的工程建

收稿日期：2007–12–21；修回日期：2008–03–24 基金项目：河海大学科技创新基金资助项目(20007911)

。

改革开放以前，深厚软土广泛分布的上海仅有一条2 736 m的越江隧道，费时7 a建造(1965～1971)，

作者简介：殷德顺(1972–)，男，博士，1996年毕业于河海大学工程力学专业，现任副教授，主要从事土的本构模型及基本理论方面的教学与研究工作。E-mail：yindeshun@hhu.edu.cn

• 2974 • 岩石力学与工程学报 2009年

就是因为软土地基造成的；改革开放以来，虽然各项技术发展，很多工程在软土地基上能够进行建设，但还是因为软土问题产生一些工程事故，如2003年上海地铁4号线建设过程中因软土问题导致楼房倾斜倒塌事故，2006年南京地铁2号线建设在很短时间内先后造成居民楼倾斜开裂和燃气管道断裂爆炸等事故。工程界专家形象的将一些软土比喻成“豆腐脑”。这些问题既说明软土的变形及其变形规律的预估成了工程设计中的重要问题，又说明对于软土的研究还很不透彻。

应用有限元分析土的问题时，土体本构关系是科研工作者主要关心和探讨的问题之一。现有的土本构模型多是从固体力学角度出发或者把理想固体和流体的一些力学行为搭配套用在软土上(多见于流变问题)来进行研究，也就是说已有研究偏重于固态土。然而，由于土含水率的不同，土可能表现出硬、可塑、软和流动等状态，在工程上引发事故的往往是软土甚至流态土。对于偏软甚至流态土如果套用以上模型必然导致偏差，例如，已有模型无法很好模拟淤泥。所以，针对软土，应该考虑从固体力学以外来寻求理论基础，以改变某些本构模型纯粹基于曲线形状相似来拟合试验的状况。

应力–应变关系是本构模型的核心内容，为了达到从固体力学以外寻求建模理论的目的，本文将通过分数阶微积分理论研究常规三轴试验下的软土的应力–应变关系，希望能为软土本构模型研究寻找更加合理的理论基础。采用分数阶微积分描述软土的应力–应变关系的思路在国际上也属于起步阶段。

文采用Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，对于函数f(t)的β阶积分定义为

t(t−τ)β−1d−βf(t)−β=t0Dtf(t)=∫f(τ)dτ (1)

t0Γ(β)dt−β式中：Γ(⋅)为Gamma函数。

分数阶微分定义为

dn[t0Dt−(n−β)f(t)]dβf(t)β=t0Dtf(t)= (2a) dtβdtn

Γ(z)=∫e−ttz−1dt (z＞0) (2b)

0

∞

式中：β＞0，且n−1＜β≤n(n为正整数)。

有一些函数的分数阶微积分还不能够得到它的精确解，而有些已经有了精确解，如f(x)=cx，其中c为常数，在0≤β≤1时，它的分数阶微分是

dβf(x)c1−β=x (0≤β≤1) (3) dtβΓ(2−β)

3 等应变率加载软土应力–应变关系

理想固体的应力–应变关系满足胡克定律σ(t)-

ε(t)，理想流体满足牛顿黏性定律σ(t)- d1ε(t)/

dt1，如果将σ(t)-ε(t)改写为σ(t)- d0ε(t)/dt0，则

有充分理由认为介于理想固体和理想流体之间的软土应该有

dβε(t)

σ(t)=ξ (0≤β≤1) (4)

dtβ式中：β，ξ均为不变参数(对于某种材料而言)，ξ为一个类似于胡克定律中弹性模量的参数。

它不仅仅简单地包含了理想固体和理想流体，而且刻画了处于它们之间的其他材料，这是一种崭新的观点和方法。该观点和方法将有利于研究土的本构关系。

胡克定律无法解释在平均应力不变的情况下，软土还能产生体积变化的现象[10]，但笔者发现：利用分数阶的应力–应变关系可以解释该现象(将另行撰文讨论)。本文研究的重点不是体变问题，仅以此例说明分数阶微积分的确有许多优点。

根据实际情况，本文只分析等应变率加载情况下，即ε=ν0t，软土的应力–应变关系，根据分数阶微积分内容，式(4)可以写成

dβt

σ(t)=ξν0β (5)

dt

2 分数阶微积分知识简介

分数阶微积分是一个研究任意阶次的微分、积分算子特性及应用的数学问题。分数阶微积分这个概念即使对于数学系的师生也是知之甚少，因为有关微积分内容的教材，讲的都是正整数阶导数和积分，1/2阶导数似乎不好理解。分数微积分就是把微积分的阶次推广到分数甚至复数领域，但因其计算复杂且没有明确的物理意义，所以一直只是在数学上进行理论研究。直到1982年，分形理论创始人B. B. Mandelbrort[6]指出自然界和许多技术科学中存在大量的分数维的事实，并在整体和部分之间存在自相似现象后，分数阶微积分才获得了飞速发展。

目前，关于分数阶微积分有很多定义[7

～9]

，本

第28卷 增1 殷德顺，等. 基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系 • 2975 •

如果将t=ε/ν0代入式(5)，根据式(3)则有

1

σ=ξν0βε(1−β) (6)

Γ(2−β)式中：ν0为常量。由于ξ量纲一般不容易理解，所以，将式(6)整理成

σ=E0(Aε)(1−β) (7) 式中：E0为常量，其量纲与弹性模量一样；A为常数，在β=0时弹性模量是E0A。

假设有一组材料，拥有相同的E0和A，唯一不根据式(7)能够描绘出这组材料的应同是β不一样，

力–应变曲线，如图1所示。

如何才能达到图2所示各曲线之间的效果，笔者认为找到图1各曲线上斜率等于E0A的点，将这些点作为各曲线原点。对式(7)两边求ε的导数，并令它等于E0A，可以得到

ε*=(1−β)1/β/A (8)

将式(8)代入式(7)得

⎛1⎞⎜−1⎟⎝β⎠

σ*=E0(1−β)

式(7)经过整理变为

(9)

将各曲线的坐标原点平移到点(ε*，σ*)后，

σ=E0[(Aε−x*)1−β−y*] (10)

式(10)符合实际的等应变率加载情况的，常规三轴试验软土的应力–应变关系，笔者将这种关系称为基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系，简称分数阶应力–应变关系，式(10)中x*，y*只与β有关，即

x*=(1−β)1/β (11)

图1 理论推导的应力–应变曲线示意图 Fig.1 Stress-strain curves from theoretical derivation

o

y*=(1−β)

⎛1⎞

⎜−1⎟⎝β⎠

(12)

通过图1发现：这一组曲线在ε=0附近有交点，且除去β=0对应的曲线(代表理想固体)外，其他曲线在原点的斜率都是无穷大，也就是说，这组材料中最“硬”的理想固体有最小的初始切线模量，而比理想固体“软”的材料却有巨大的初始切线模量，这明显违背现实，所以，纯粹理论推导的公式需要根据现实进行调整。

根据实际情况，由于前述的这一组材料拥有相同的E0和A，那么，随着β从0到1之间的增大，它们的应力–应变曲线的弯曲程度也应该增加，而且，除原点外，它们之间也不应该有其他交点，如图2所示。

对应式(10)，根据β的不同即可描绘出如图2的系列曲线，这一组曲线满足软土的应力–应变关系条件，而且β数值刚好能够说明曲线弯曲程度，其中β越大说明该材料更加表现出流体的性质，β越小该材料将更加属于固体。式(10)中的β=0时，即为胡克定律。另外，无论β(其中0＜β＜1)如何取值，应力都没有渐近值。

通过式(6)，(7)和(10)，都能够发现通过理论推导获得的等应变率加载情况下的应力–应变关系呈乘幂关系。然而，这种来自理论推导的乘幂关系是否与试验结果吻合还需要验证。

4 分数阶软土应力–应变关系的验证

由于常规三轴试验绝大多数是应变控制的等应变率加载试验，所以，通过这些试验可以检验分数阶软土应力–应变关系式(10)。 4.1 三轴试验验证

根据常规三轴压缩试验的实际情况，其应力–应变关系应该写成

o

图2 应力–应变曲线示意图 Fig.2 Sketch of stress-strain curves

σ1−σ3=E0[(Aε1−x*)1−β−y*] (13)

笔者用取自南京的软土土样进行了常规三轴

• 2976 • 岩石力学与工程学报 2009年

压缩试验，得到应力–应变关系如图3，应用式(13)进行拟合，其中A取100(下文各试验相同)，通过拟合结果可以发现以下特点：(1) 试验结果能够与式(13)很好地拟合；(2) 对于不同围压σ3的情况，各曲线即β不随σ3变化；(3)不同围压σ3的的β都是0.91，文相同)与围压呈非常好的线性关系，见图4。 450400350300250200150100500

曲线的β为0.，各曲线的初始弹模E与围压关系曲线见图6，可以发现它们之间的线性关系不如前面试验结果好，见图6(a)；如果利用对数曲线拟合，发现效果非常好，见图6(b)。

60E/MPa 40200 y = 0.218 6x + 9.5 (R2 = 0.9 3) 050100 150 200 250情况下，各曲线的初始弹模E0A(图中用E表示，下 0 5 10 100 kPa试验 100 kPa拟合 200 kPa试验 200 kPa拟合 300 kPa试验 300 kPa拟合 400 kPa试验 400 kPa拟合 15 20 60E/MPa 40200050(σ1－σ3)/kPa σ 3/kPa (a) 直线拟合 y = 24.526ln(x)－77.946 (R2 = 1) 100 150 σ3/kPa 200 250 ε1/% 图3 常规三轴试验应力–应变关系曲线 Fig.3 Stress-strain curves of triaxial tests 90 (b) 对数曲线拟合 y = 0.186 1x + 6.85 (R2 = 0.998 3) 图6 围压与初始弹模关系曲线(黏土) Fig.6 Confining pressure and initial tangential modulus

curves(clay) E/MPa 60 以上两组试验在不排水条件下进行，由于土中水的作用，土更加“软”，而β值比较大，刚好能500

30 00 100 200

300 400 够说明这一点。 利用式(13)对周葆春等[12]的武汉软土固结排水剪三轴压缩试验数据进行拟合，见图7，可以发现各曲线的β都是0.69，而且各曲线的初始弹模E与围压呈非常好的线性关系，见图8。从周葆春试验的拟合结果可以看出，即使在8组试验的情况下，前面的结论依然能够很好的成立，这样的结果实属难得。

800700(σ1－σ3)/kPa 50 kPa试验

50 kPa拟合100 kPa试验100 kPa拟合150 kPa试验150 kPa拟合200 kPa试验200 kPa拟合250 kPa试验250 kPa拟合300 kPa试验300 kPa拟合350 kPa试验350 kPa拟合15 20 400 kPa试验400 kPa拟合

σ3/kPa

图4 围压与初始弹模关系曲线

Fig.4 Confining pressure and initial tangential modulus curves

根据单个试验得到的结论，缺乏普遍意义，为了验证以上结论的普遍性，杨雪强等

[11]

利用取自武

汉市沙湖小区的黏土进行了常规三轴固结不排水剪试验。利用式(13)对试验数据进行拟合，见图5，各

350300(σ1－σ3)/kPa 25020015010050 0 15 50 kPa试验 50 kPa拟合 100 kPa试验 100 kPa拟合 200 kPa试验 200 kPa拟合

20600500400300200100005100 5 10 ε1 /%

ε1/%

图5 常规三轴试验应力–应变关系曲线(黏土) Fig.5 Stress-strain curves of triaxial tests(clay)

图7 常规三轴试验应力–应变关系曲线(软土) Fig.7 Stress-strain curves of triaxial tests(soft soil)

第28卷 增1 殷德顺，等. 基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系 • 2977 •

4030E/MPa 20100 y = 0.083 5x + 2.082 1 (R2 = 0.998 9) 500400(σ1－σ3)/kPa 30020010000510 15 50 kPa试验

50 kPa拟合100 kPa试验100 kPa拟合150 kPa试验150 kPa拟合200 kPa试验200 kPa拟合

0 100 200 300 400 500 σ3/kPa 图8 围压与初始弹模关系曲线(软土) Fig.8 Confining pressure and initial tangential modulus

curves(soft soil) ε1/%

图11 常规三轴试验应力–应变关系曲线(粉质黏土) Fig.11 Stress-strain curves of triaxial tests(silt clay)

10500

50

y = 0.074 2x + 1.8 (R2 = 0.957 1) 100 150

σ3/kPa (a) 直线拟合

2015E/MPa 10500

50

y = 4.384 1e0.006 8x (R2 = 0.995 5) 150 200 250

同样，对冯世进等[13]的城市固体废弃物(土)固

E/MPa 2015结排水剪三轴压缩试验数据进行拟合，见图9，可以发现各曲线的β都是0.455，而且各曲线的初始弹模E与围压呈非常好的线性关系，见图10。

500 (σ1－σ3)/kPa 400 300 200 100 00 5 10 100 kPa试验100 kPa拟合200 kPa试验200 kPa拟合300 kPa试验300 kPa拟合400 kPa试验400 kPa拟合15 20 ε1/% 图9 常规三轴试验应力–应变关系曲线(固体废弃物) Fig.9 Stress-strain curves of triaxial tests(solid waste) 108E/MPa 200 100 100 200 250

σ 3/kPa

(b) 指数曲线拟合

y = 0.021x + 0.75 图12 围压与初始弹模关系曲线(粉质黏土) Fig.12 Confining pressure and initial tangential modulus

curves(silt clay)

(R2 = 0.999 5) 300

400 500

200 体”的一面，所以，这3组试验的土样的β值相对要小。

通过大量的常规三轴试验，可以说明由分数阶微积分演变来的公式(13)可以非常好地描绘软土应力–应变关系，同时能够得到的重要结论：(1) 同一土样的β相同，且β不随σ3变化；(2) 土的“软硬”程度可以通过β值反映；(3) 不同围压σ3的情况下，对于多数土样而言，初始弹模E与围压σ3呈非常好的线性关系(相关系数达0.998以上)，有些土样虽然初始弹模E与围压σ3不能呈非常好的线性关系，但也能较好的呈线性关系(相关系数达0.955以上)，如果采用其他二参数函数进行E与σ3的趋势研究发现，它们能够非常好的拟合(相关系数达0.995以上)。

σ3/kPa

图10 围压与初始弹模关系曲线(固体废弃物) Fig.10 Confining pressure and initial tangential modulus

curves(solid waste)

李 治[14]采用南京地区的粉质黏土进行常规三轴固结排水剪试验，利用式(13)对试验数据进行拟合，见图9，各曲线的β都是0.605，而且各曲线的初始弹模E与围压关系曲线见图11，可以发现它们之间的线性关系不如前面几个试验结果那样好，见图12(a)；利用指数曲线拟合，发现效果非常好，见图12(b)。

以上3组试验是在排水条件下进行的，由于没有水的作用，因而，土能够较好的表现出其“固

• 2978 • 岩石力学与工程学报 2009年

4.2 关于参数A的一些说明

根据公式推导参数A可随机取值，下面将通过试验拟合对A的取值进行说明。

在前面模型的三轴试验验证过程中，A都被取为100，那么，A是否可以取1或其他数值需要验证。

对周葆春等

[12]

双曲线形式，从理论思维模式上[15]，分数阶软土应力–应变关系属于现代思维模式，它从理论假设出发，进行演绎推导，结合实际进行分析，使分析与综合，归纳与演绎相互补充。而邓肯–张模型属于传统思维模式，它以综合事实(试验)和考察为基础，认识和阐述规律、概括理论，属于经验归纳型综合。通过图14能够更加直观地看出它们的区别。

σ(t)=ξdε(t) (0≤β≤1) dtββ的武汉软土围压为50 kPa的试

分别取A为1，1 000和100，验用公式(13)进行拟合，

拟和结果如图13所示，可以看出无论取A为何值，只要适当调整β和E0，都可以得到理想的拟合效果(图中A取100时，所得结果略微欠缺，是因为和其他围压用了统一的β)。

140 120 (σ1－σ3)/kPa 100 8060402000 5 试验曲线 σ1−σ3=E0[(Aε1−x*)1−β−y*]应力–应变关系曲线为乘幂函数 试验验证 10 试验数据 A = 1，β = 0.99 A = 1 000，β = 0.67A = 100，β = 0.69 根据形状相似，假设应力–应变关系曲线符合双曲线函数(a) 软物质角度软土本构模型 (b) 邓肯–张模型

图14 思维模式比较

Fig.14 Comparison of thinking models

15 20 25

ε/% 1

图13 常规三轴试验拟合应力–应变关系曲线 Fig.13 Stress-strain fitting curves of triaxial tests

总之，通过比较能够发现：邓肯–张模型的应力–应变关系完全基于曲线形状相似进行假设，不像分数阶软土应力–应变关系那样具有明确的理论基础。

众所周知，邓肯–张模型建立在胡克定律基础上，而胡克定律在描述软黏土力学特性时存在着明显的不足，比如在描述体积变化特性方面。本文的分数阶应力–应变关系建立在式(4)基础上，利用分数阶理论的应力–应变关系可以解释某些体积变化现象。可见，分数阶微积分理论能更好地描述软土特性。

进一步研究发现，A可以随机取值，但A不同会影响β的取值，A越大β越小。根据前文叙述，

β的大小代表材料的“软硬”，但通过图13可知，

同一种材料的β会随A变化，因此要比较材料“软否则没有可比硬”，必须在相同的参数A的情况下，性。根据实际拟合的经验，笔者建议可以在土的拟合过程中取A为100或者比100更大，这样β的取值可以不那么敏感。

总之，通过大量试验说明，根据分数阶理论得到的软土应力–应变关系能够非常好的被试验验证。

6 结 论

(1) 本文将软土作为介于理想固体和流体之间的材料，认为其应力–应变关系应该遵循分数阶微分关系σ(t)=dβε(t)/dβt(0＜β＜1)。

5 与邓肯–张模型的比较

邓肯–张模型假设应力–应变关系符合双曲线形式，它与分数阶软土应力–应变关系一样，反映的是土的硬化特征，而且其参数也来自常规三轴压缩试验，对它们进行比较是具有意义的。

从形式上看，分数阶软土应力–应变关系用乘幂函数表达应力–应变关系，而邓肯–张模型用

(2) 根据实际情况，本文推导出了在等应变率加载情况下的软土应力–应变关系，通过推导发现其应力–应变呈乘幂关系。

(3) 软土常规(等应变率加载)三轴试验能够验证理论推导获得的关系式且与试验结果拟合较好。而且发现，同一种土的分数阶阶数β不随围压变化并能够反映土的“软硬”程度，初始弹模与围压呈

第28卷 增1 殷德顺，等. 基于分数阶微积分理论的软土应力–应变关系 • 2979 •

较好的线性关系。

本文的创新之处在于将软土作为介于理想固体和流体之间的材料进行研究，并用分数阶微积分理论研究其应力–应变关系。就理论意义而言，本文得到的软土应力–应变关系具有明确的理论基础，这与邓肯–张模型纯粹基于曲线形状相似的试验拟合形成鲜明区别。当然，就其实际运用方面，该应力–应变关系还有待与有限元法相结合进行实践检验。

分数阶微积分理论在描述软土力学性质方面还有其他优势，如描述体积变化方面，由于本文研究重点的，笔者将在继续深入研究的基础上，另行撰文阐述。

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