第15讲 中位线与斜边中线

一、三角形中位线

1．定义：连接三角形两边中点的线段．

2．定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 3．三角形中位线里隐藏重要性质

⑴三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形

⑴三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形

⑴三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一

二、直角三角形斜边上的中线

定义：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【例1】如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则⑴BME＝⑴CNE．(不需证明)

M A

N F

D

B

E

图1

C

问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断⑴OMN的形状，请直接写出结论；

A F D

图2

O M N

C E B

问题二：如图3，在⑴ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若⑴EFC＝60°，连接GD，判断⑴AGD的形状并证明．

A B

G F E

图3

D

C

【例2】已知，如图所示，在⑴ABC中，D、G分别AB、AC上的点，且BD＝CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP＝AQ．

A

D P B

M N

G Q C

【例3】如图，在⑴ABC中，D是⑴ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE＝CF，G、H、M分别为BD、AC、EF的中点，如果G，H，M三点共线． 求证：AB＝CD．

E A

M H

C

D G B

F

【例4】如图，⑴MON＝90°，⑴ABC中，⑴BAC＝90°，AB＝2，AC＝1，AB在⑴MON上滑动，求OC的最大值．

M A

C

O

B N

【例5】如图，在五边形ABCDE中，⑴ABC＝⑴AED＝90°，⑴BAC＝⑴EAD，F为CD的中点，求证：BF＝EF．

A

B C

F

D

E

【例6】如图，等腰梯形ABCD中，CD⑴AB，对角线AC，BD相交于O，⑴ACD＝60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．求证：⑴PQS是等边三角形．

D S O P A

B Q C