一元二次方方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若若

y=f(x)与x轴有交点x0f(x0)=0

y=f(x)与y=g(x)有交点(x0，y0)f(x)=g(x)有解x0。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

专题一函数的零点与方程根的关系1．方程f(x)＝0 有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数变号零点具有的性质：对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续不断的，则有：(1)当它通过零点时，函数值变号．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号． 与二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布有关的结论： (1)方程f(x)＝0的两根中一根比r大，另一根比r小 ⇔a·f(r)＜0. (2)方程f(x)＝0的两根都大于r Δ＝b－4ac≥0b⇔－>r2aa·fr>02 .  专题复习 

(3)方程f(x)＝0在区间(p，q)内有两根 Δ＝b－4ac≥0p<－b0a·fq>02 . (4)方程f(x)＝0在区间(p，q)内只有一根 ⇔f(p)·f(q)＜0，或f(p)＝0，另一根在(p，q)内或f(q)＝0，另一根在(p，q)内． (5)方程f(x)＝0的两根x1、x2中，p＜x1＜q＜x2(p＜q) ⇔f(p)·f(q)＜0. 一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实根为x1，x2，且x1x2。

2b4ac0， 0(两个正根)bx1x20acxx012ab24ac0b24ac0或 0a0a0f(0)c0f(0)c0b0b0【定理1】x10，x2推论：x10，x2上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 若一元二次方程(m1)x2(m1)xm0有两个正根，求m的取值范围。

2 专题复习 

4(m1)24m(m1)0分析：依题意有2(m1)00m1m0m1

2b4ac0【定理2】x10，x20xxb0，

12acxx012a推论：x10，x20b24ac0b24ac0或 a0a0f(0)c0f(0)c0b0b0由二次函数图象易知它的正确性。

【例2】 若一元二次方程kx23kxk30的两根都是负数，求k的取值范围。（k12或k>3）

5【定理3】x10x2图2

c0 a2【例3】 k在何范围内取值，一元二次方程kx3kxk30有一个正根和一个负根？

分析：依题意有

k3<0=>02x10，x20c0且○

b0。 a【例4】 若一元二次方程kx(2k1)xk30有一根为零，则另一根是正根还是负根？ 分析：由已知k－3=0，∴k=3，代入原方程得3x+5x=0，另一根为负。 二．一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程ax222

bxc0（a0）的两实根为x1，x2，且x1x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即x1，

b24ac0 af(k)0bk2ax2相对于k的位置）有以下若干定理。

【定理1】kx1x2

 专题复习 

【定理2】x1x2kb24ac0。 af(k)0bk2a【定理3】x1kx2af(k)0。

推论1 x10x2ac0。 推论2 x11x2a(abc)0。

【定理4】有且仅有k1x1（或x2）k2f(k1)f(k2)0

a0a0f(k)0f(k)011【定理5】k1x1k2p1x2p2f(k2)0或f(k2)0

f(p)0f(p)011f(p2)0f(p2)0此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

 专题复习 

2b4ac0b24ac0a0a0【定理6】k1x1x2k2f(k1)0或f(k1)0

f(k)0f(k)022bbkkkk21212a2a三、例题与练习

2

4【例5】 已知方程x11xm20的两实根都大于1，求m的取值范围。（12m129）

（2）若一元二次方程mx22 (m1)x30的两个实根都大于-1，求m的取值范围。 （m2或m526）

（3）若一元二次方程mx(m1)x30的两实根都小于2，求m的取值范围。 （m或m526）

2212【例6】 已知方程x2mx2m30有一根大于2，另一根比2小，求m的取值范围。

（122m12222）

（2）已知方程x（3）已知方程x(m2)x2m10有一实根在0和1之间，求m的取值范围。 （1m2）

23(m2)x2m10的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。 变式：改为较小实根 （不可能；

1m2） 21） 2122（5）若方程x(k2)x2k10的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围。 （k）

2322（6）已知关于x的方程(m1)x2mxmm60的两根为、且满足01，求m的取值范围。

（4）若方程x2（1、1）内，求k的取值范围。 （423k(k2)xk0的两实根均在区间

（3m7或2m7）

【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.

解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

 专题复习 

1m2f(0)2m10,mR,f(1)20,511∴m. 62f(1)4m20,m2,f(2)6m50m56f(0)0,f(1)0,(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

0,0m11m,21(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过) m,2m12或m12,1m0.

1． 若方程4xx(m3)2xm0有两个不相同的实根，求m的取值范围。

2提示：令2=t转化为关于t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：02x20或x0 ……①x20x0提示：原方程等价于即

22x20x8x6a3x12x6a30……②2令f(x)=x+12x+6a+3

11(1) 若抛物线y=f(x)与x轴相切，有△=144－4(6a+3)=0即a=。

21111－20 将a=代入式②有x=－6不满足式①，∴a≠。 22(2) 若抛物线y=f(x)与x轴相交，注意到其对称轴为x=－6，故交点的

y O －6 x 横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是

f(20)01631a。 解得62f(0)01631a时原方程有唯一解。 ∴当622另法：原方程等价于x+20x=8x－6a－3(x<－20或x>0)……③

问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x－6a－3与抛物线 y=x2+20 x(x<－20或x>0)有且只有一个公共点。

A、 虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却

不明显，可将③变形为x+12x+3=－6a(x<－20或x>0)，再在同一

2y 163 O 3 y=x+12x+3和直线y=－6a，如图，

1631a时直线y=－6a与抛物线有显然当3<－6a≤163即62坐标系中分别也作出抛物线且

3.二次方程ax22－20 －6 x 2x10,(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

 专题复习 

A、 a答案:C

0 B、a0 C 、a1 D、 a1

4．已知二次函数

（1）如果x1（2）如果

f(x)ax2bx1(a,bR,a0)，设方程f(x)x的两个实数根为x1和x2. 2x24，设函数f(x)的对称轴为xx0，求证：x01；

x12，x2x12，求b的取值范围.

f(x)xax2(b1)x1，则g(x)0的二根为x1和x2。

解析：设g(x)（1）由a4a2b10g(2)00及x12x24，可得 ，即，

16a4b30g(4)0b3330,2a4a即

b3420,2a4ab1，所以，x01； 2ab1242), 可得 2a1(b1)21。 （2）由(x1x2)(aa10，所以x1,x2同号 又x1x2a两式相加得∴

x12，

0x12x2 x2x12等价于22a1(b1)1x22x10或,

22a1(b1)1g(2)0g(2)0即 g(0)0或g(0)0

222a1(b1)12a1(b1)1解之得 b点评：条件x117或b。 44

2x24实际上给出了f(x)x的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化

5.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设a为实数，函数(1)若

f(x)2x2(xa)|xa|. f(0)1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集. f(x),x(a,)，直接写出．．．．

【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

 专题复习 

（1）若

f(0)1，则a|a|1a0a12a1

2f(a),a02a,a0 a2a2f(),a0,a033（2）当xa时，f(x)3x22axa2,f(x)min 当xa时，f(x)x2axa,f(x)min2a2,a0 2a2,a032222f(a),a02a,a0 2f(a),a02a,a0 综上

f(x)min（3）x(a,)时，h(x)1得3x当a2axa210，4a212(a21)128a2

66时，0,x(a,)； 或a226时，△>0,得：a32a2a32a2(x)(x)0 332xa当6a2讨论得：当a(2,6)时，解集为(a,);

2222当a(6,2)时，解集为(a,a32a][a32a,);

33222a32a22当a[,]时，解集为[,).

223

 专题复习 