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上海市松江二中11-12学年高三上学期期中考试文科数学

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松江二中11—12学年第一学期期中考试试卷

高三数学（文科）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则得零分。

1．方程4x2x20的解是。

2．函数ysin(2x)cos(2x)的最小正周期T= ．

3613.不等式1的解是 ______ ___．

xcossin34.若sin，则行列式 。

5sincos5．若定义在(5， log2a2)上的函数yf(x)是偶函数，则实数a . 6．已知函数f(x)的周期为2，当x(1,1]时，f(x)x2，则当x(3,5]时，

f(x)______________。

7．在ABC中，已知A600，AC4，SABC3，则BC= ． 8. 若Sn为等比数列{an}的前n项的和，8a2a50，则

S6= 。 S3y2x9．已知实数x、y满足y2x 则目标函数zx2y的最小值是

x310.函数yx1(x0)在区间D上有反函数的一个充分不必要条件是xD= ．

11. 函数f(x)lg(x22x3)的递增区间是 12.若函数f(x)(xa)(bx2a)（常数a,bR）是偶函数，且它的值域为(,4]，则该函数的解析式f(x) 。

1113．函数f(x)()x1()x的值域是_________．

2214．设函数f(x)asin(x1)bsin(x2)，其中a,b,1,2为已知实常数。下列所有正确命题的序号是．

①若f(0)f()0，则f(x)0对任意实数x恒成立；

2②若f(0)0，则函数f(x)为奇函数；

③若f()0，则函数f(x)为偶函数；

2二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。

113x1的解集是（） 2x12x111A．{x|x0} B.{x|x0} C.{x|x0} D.{x|x0且x}

2216．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的函数是（）

15．不等式x1A.f(x)x B.f(x)x332 C.f(x)x|x| D.f(x)x3

17. 对于函数yf(x)，有下列五个命题：

①若yf(x)存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线yx上； ②若yf(x)在R上有定义，则yf(|x|)一定是偶函数；

③若yf(x)是偶函数，且f(x)0有解，则解的个数一定是偶数；

④若T(T0)是函数yf(x)的周期，则nT(nN)，也是函数yf(x)的周期； ⑤f(0)0是函数yf(x)为奇函数的充分不必要条件.

从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（）

1234 A. B. C. D.

555518．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）。设顶点P（x，y）的轨迹方程是yf(x)，则yf(x)在其两个相邻零点

间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是（） A． S1 B． S21 C． S31 D． S

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知△ABC的周长为4(21)，且sinBsinC2sinA．（1）求边长a的值；

（2）若SABC3sinA．，求角A的大小（结果用反三角函数值表示）

20．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分。

设函数f(x)xa,x0,。 x1（1）当a2时，求函数f(x)的最小值；

（2）当0a1时，试判断函数f(x)的单调性，并证明。

21．（本题满分14分。第1小题满分7分，第2小题满分7分）

cx1已知函数f(x)—xc212(0xc)(cx1)，且f(c2)9． 8 （1）求实数c的值；（2）解不等式f(x)＞

21． 822．（本题满分18分。第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn, 等比数列{bn}的前n项和为

14，T2 99Tn，S42S24,b2 （1）求公差d的值；

（2）若对任意的nN*，都有SnS8成立，求a1的取值范围；（3）若a1,判别方程SnTn2010是否有解？说明理由．

12 23．（本题满分18分。第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5

分）

若定义在D上的函数yf(x)满足条件：存在实数a,b(ab)且[a,b]使得：

⑴ 任取x0[a,b]，有f(x0)C（C是常数）； ⑵ 对于D内任意y0，当y0[a,b]，总有f(y0)C。

我们将满足上述两条件的函数f(x)称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称

ba为“平顶宽度”。根据上述定义，解决下列问题：

D，

（1）函数f(x)|x2||x3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”

和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由。

（2）求实数n的值，使函数f(x)xx22xn,x[2,)是“平顶型”函数。（3）对于（2）中的函数f(x)，若f(x)kx在x[2,)上有两个不相等的根，

求实数k的取值范围。

松江二中2011学年度第一学期期中考试

高三数学答题纸(文)

注意：解答题的答案必须写在框内，如在规定范围外答题则一律不给分。一、填空题：（每题4分，共56分）

1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． -

二、选择题：（每题5分，共20分）

15． 16． 17． 18．三、解答题： 19．（本题共12分） 20．（本题共12分）

▋ 21．（本题共14分） 22．（本题共18分）

23．（本题共18分）

松江二中2011学年第一学期期中试卷（答案）

高三数学（文科）

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．方程4x2x20的解是。【x0】

2．函数ysin(2x)cos(2x)的最小正周期T= ．【】

3613．不等式1的解是_______ ___．【x0或x1】

xcos34.若sin，则行列式

5sinsincos【 。

7】 25p5.若定义在(5， log2a2)上的函数yf(x)是偶函数，则实数a . 【42】 6．已知函数f(x)的周期为2，当x(1,1]时，f(x)x2，则当x(3,5]时，

f(x)______________。【(x4)2】

7．在ABC中，已知A600，AC4，SABC3，则BC= ．【13】 8. 若Sn为等比数列{an}的前n项的和，8a2a50，则

S6= 。【-7】 S3y2x9．已知实数x、y满足y2x 则目标函数zx2y的最小值是【9】 x310.函数yx1在区间D上有反函数的一个充分不必要条件是xD= ．

D(0,1] D[1,),D(0,1],D[2,)等，答案不唯一

11.函数f(x)lg(x22x3)的递增区间是【(3,)】 12.若函数f(x)(xa)(bx2a)（常数a,bR）是偶函数，且它的值域为(,4]，则该函数的解析式f(x) 。【f(x)2x24】

1113．函数f(x)()x1()x的值域是_________．【[1,)】

2214．设函数f(x)asin(x1)bsin(x2)，其中a,b,1,2为已知实常数，下列关于函数f(x)的性质判断正确的命题的序号是． ①②③

①若f(0)f()0，则f(x)0对任意实数x恒成立；

②若f(0)0，则函数f(x)为奇函数；

③若f()0，则函数f(x)为偶函数；

2二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。

113x1的解集是（ D ） 2x12x111（A）{x|x0} （B）{x|x0} （C）{x|x0} （D）{x|x0且x}

2216．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的函数是（ C ）

15．不等式x1A.f(x)x3 B.f(x)x32 C.f(x)x|x| D.f(x)x3

17. 对于函数yf(x)，有下列五个命题：

①若yf(x)存在反函数，且与反函数图象有公共点，则公共点一定在直线yx上； ②若yf(x)在R上有定义，则yf(|x|)一定是偶函数；

③若yf(x)是偶函数，且f(x)0有解，则解的个数一定是偶数；

④若T(T0)是函数yf(x)的周期，则nT(nN)，也是函数yf(x)的周期；⑤

f(0)0是函数yf(x)为奇函数的充分也不必要条件. 1234A. B. C. D. 5555 从中任意抽取一个，恰好是真命题的概率为（ B ）

18．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）。设顶点p（x，y）的轨迹方程是则yf(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围yf(x)，

区域的面积S的正确结论（ A ） A． S1 B． S21 C． S31 D． S

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知△ABC的周长为4(21)，且sinBsinC2sinA．（1）求边长a的值；

（2）若SABC3sinA．，求角A的大小（结果用反三角函数值表示）解 (1)根据正弦定理，sinBsinC2sinA可化为bc2a． 3分

abc4(21) 联立方程组，解得a4． „ „„6分

bc2a1(2)SABC3sinA， ∴bcsinA3sinA，bc6． 8分

2b2c2a2(bc)22bca21．又由(1)可知，bc42， ∴cosA2bc2bc31因此，所求角A的大小是arccos． „„„„„„„„„12分

20．（本题满分12分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分。

设函数f(x)xa,x0,。 x1（1）当a2时，求函数f(x)的最小值；

（2）当0a1时，试判断函数f(x)的单调性，并证明。

解：（1）当a2时，f(x)x当且仅当x122x11 221 „. 4分 x1x12，即x21时取等号，∴f(x)min221 . 6分 x1（2）当0a1时，任取0x1x2

af(x1)f(x2)(x1x2)1 „„„„„. 8分

(x11)(x21)∵0a1，(x11)(x21)1，∴1a0 „. 10分

(x11)(x21)∵x1x2，∴f(x1)f(x2), 即f(x)在0,上为增函数„„. 12分 21．（本题共2小题，满分14分。第1小题满分7分，第2小题满分7分）

cx1已知函数f(x)—xc221(0xc)，且f(c2)(cx1)9． 8 （1）求实数c的值；（2）解不等式f(x)＞21． 8解：（1）因为0c1，所以0c2c， „„„„（3分）

91由f(c2)c31得：c „„（7分）

10x212 （2）由得x „„（10分）

421x121821x1152 由得x „„„„„（13分）

824x12128 所以，不等式的解集为(25,) „„„（14分） 4822．（本题满分18分。第1小题6分，第2小题满分6分，第3小题6分）

已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn, 等比数列{bn}的前n项和为Tn，S42S24,b2 （1）求公差d的值；

（2）若对任意的nN*，都有SnS8成立，求a1的取值范围；（3）若a1,判别方程SnTn2010是否有解？说明理由．解：（1）∵S42S24，∴4a134d2(2a1d)4 „„„„（4分） 214，T2 9912解得d1 „„„„（6分）

（2）由于等差数列an的公差d10,Sn要取得最小值S8

a80a17d0必须有  „„„（10分）

a0a8d019

求得8a17 ∴a1的取值范围是[8,7] „„„（12分）（3）由于等比数列{bn}满足b214，T2 991bq1119q b133bbq411911[1()n]11113Tn3[1()n] ，Snna1n(n1)dn2 „„（14分）

12322131则方程SnTn2010转化为：n2[1()n]4020

1令：f(n)n21()n，知f(n)单调递增 „„（16分）

31当1n63时，f(n)632[1()63]63213970

31当n时，f(n)2[1()]24096

3所以方程SnTn2010无解． „（18分）

23．（本题满分18分。第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题5分）若定义在D上的函数yf(x)满足条件：存在实数a,b(ab)且[a,b]D，使得：

⑴ 任取x0[a,b]，有f(x0)C（C是常数）；⑵ 对于D内任意y0，当总有f(y0)C。我们将满足上述两条件的函数f(x)称为“平顶型”y0[a,b]，

函数，称C为“平顶高度”，称ba为“平顶宽度”。根据上述定义，解决下列问题：

⑴ 函数f(x)|x2||x3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由。

⑵ 求实数n的值，使函数f(x)xx22xn,x[2,)是“平顶型”函数。

⑶ 对于⑵中的函数f(x)，若f(x)kx在x[2,)上有两个不相等的根，求实数k 的取值范围。

2x1,x2解：⑴f(x)5,2x3， ------2′

12x,x3则存在区间[2,3]使x[2,3]时f(x)5

且当x2和x3时，f(x)5恒成立。 2′ 所以函数f(x)是 “平顶型”函数，平顶高度为5，平顶宽度为5。 2′

⑵ 存在区间[a,b][2,)，使得xx22xnc恒成立----1′，即

22cn1 ------3′ x2xn(xc)恒成立。则2nc221,2x1此时f(x)，则存在区间[2,1]使x[2,1]时f(x)1且

当x1时，f(x)1恒成立。 ------2′

所以n1使函数f(x)xx22xn,x[2,)是“平顶型”函数。1′ ⑶x1时，2x1kx，则

11，得k2或k1------2′ k2111，得1k------2′ k22x1时，1kx，则21所以1k。------2′

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