高三数学(文科)
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,每个空格填对得4分,否则得零分。
1.方程4x2x20的解是 。
2.函数ysin(2x)cos(2x)的最小正周期T= .
3613.不等式1的解是 ______ ___.
xcossin34.若sin,则行列式 。
5sincos5.若定义在(5, log2a2)上的函数yf(x)是偶函数,则实数a . 6.已知函数f(x)的周期为2,当x(1,1]时,f(x)x2,则当x(3,5]时,
f(x)______________。
7.在ABC中,已知A600,AC4,SABC3,则BC= . 8. 若Sn为等比数列{an}的前n项的和,8a2a50,则
S6= 。 S3y2x9.已知实数x、y满足y2x 则目标函数zx2y的最小值是
x310.函数yx1(x0)在区间D上有反函数的一个充分不必要条件是xD= .
11. 函数f(x)lg(x22x3)的递增区间是 12.若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a,bR)是偶函数,且它的值域为(,4],则该函数的解析式f(x) 。
1113.函数f(x)()x1()x的值域是_________.
2214.设函数f(x)asin(x1)bsin(x2),其中a,b,1,2为已知实常数。 下列所有正确命题的序号是 .
①若f(0)f()0,则f(x)0对任意实数x恒成立;
2②若f(0)0,则函数f(x)为奇函数;
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③若f()0,则函数f(x)为偶函数;
2二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分。
113x1的解集是 ( ) 2x12x111A.{x|x0} B.{x|x0} C.{x|x0} D.{x|x0且x}
2216.下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是增函数的函数是 ( )
15.不等式x1A.f(x)x B.f(x)x332 C.f(x)x|x| D.f(x)x3
17. 对于函数yf(x),有下列五个命题:
①若yf(x)存在反函数,且与反函数图象有公共点,则公共点一定在直线yx上; ②若yf(x)在R上有定义,则yf(|x|)一定是偶函数;
③若yf(x)是偶函数,且f(x)0有解,则解的个数一定是偶数;
④若T(T0)是函数yf(x)的周期,则nT(nN),也是函数yf(x)的周期; ⑤f(0)0是函数yf(x)为奇函数的充分不必要条件.
从中任意抽取一个,恰好是真命题的概率为 ( )
1234 A. B. C. D.
555518.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动 (向右为顺时针,向左为逆时针)。设顶点P(x,y) 的轨迹方程是yf(x),则yf(x)在其两个相邻零点
间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是( ) A. S1 B. S21 C. S31 D. S
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤。
19.(本题满分12分)第1小题满分6分,第2小题满分6分.
已知△ABC的周长为4(21),且sinBsinC2sinA. (1)求边长a的值;
(2)若SABC3sinA. ,求角A的大小(结果用反三角函数值表示)
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20.(本题满分12分)第1小题满分6分,第2小题满分6分。
设函数f(x)xa,x0,。 x1(1)当a2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0a1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明。
21.(本题满分14分。第1小题满分7分,第2小题满分7分)
cx1已知函数f(x)—xc212(0xc)(cx1),且f(c2)9. 8 (1)求实数c的值; (2)解不等式f(x)>
21. 822.(本题满分18分。第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
已知an是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn, 等比数列{bn}的前n项和为
14,T2 99Tn,S42S24,b2 (1)求公差d的值;
(2)若对任意的nN*,都有SnS8成立,求a1的取值范围; (3)若a1,判别方程SnTn2010是否有解?说明理由.
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12 23.(本题满分18分。第1小题满分6分,第2小题满分7分,第3小题满分5
分)
若定义在D上的函数yf(x)满足条件:存在实数a,b(ab)且[a,b]使得:
⑴ 任取x0[a,b],有f(x0)C(C是常数); ⑵ 对于D内任意y0,当y0[a,b],总有f(y0)C。
我们将满足上述两条件的函数f(x)称为“平顶型”函数,称C为“平顶高度”,称
ba为“平顶宽度”。根据上述定义,解决下列问题:
D,
(1)函数f(x)|x2||x3|是否为“平顶型”函数?若是,求出“平顶高度”
和“平顶宽度”;若不是,简要说明理由。
(2)求实数n的值,使函数f(x)xx22xn,x[2,)是“平顶型”函数。 (3)对于(2)中的函数f(x),若f(x)kx在x[2,)上有两个不相等的根,
求实数k的取值范围。
松江二中2011学年度第一学期期中考试
高三数学答题纸(文)
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注意:解答题的答案必须写在框内,如在规定范围外答题则一律不给分。 一、填空题:(每题4分,共56分)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. -
二、选择题:(每题5分,共20分)
15. 16. 17. 18. 三、解答题: 19.(本题共12分) 20.(本题共12分)
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▋ 21.(本题共14分) 22.(本题共18分)
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23.(本题共18分)
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松江二中2011学年第一学期期中试卷(答案)
高三数学(文科)
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.方程4x2x20的解是 。 【x0】
2.函数ysin(2x)cos(2x)的最小正周期T= .【】
3613.不等式1的解是_______ ___. 【x0或x1】
xcos34.若sin,则行列式
5sinsincos【 。
7】 25p5.若定义在(5, log2a2)上的函数yf(x)是偶函数,则实数a . 【42】 6.已知函数f(x)的周期为2,当x(1,1]时,f(x)x2,则当x(3,5]时,
f(x)______________。 【(x4)2】
7.在ABC中,已知A600,AC4,SABC3,则BC= .【13】 8. 若Sn为等比数列{an}的前n项的和,8a2a50,则
S6= 。 【-7】 S3y2x9.已知实数x、y满足y2x 则目标函数zx2y的最小值是 【9】 x310.函数yx1在区间D上有反函数的一个充分不必要条件是xD= .
D(0,1] D[1,),D(0,1],D[2,)等,答案不唯一
11.函数f(x)lg(x22x3)的递增区间是 【(3,)】 12.若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a,bR)是偶函数,且它的值域为(,4],则该函数的解析式f(x) 。【f(x)2x24】
1113.函数f(x)()x1()x的值域是_________. 【[1,)】
2214.设函数f(x)asin(x1)bsin(x2),其中a,b,1,2为已知实常数, 下列关于函数f(x)的性质判断正确的命题的序号是 . ①②③
①若f(0)f()0,则f(x)0对任意实数x恒成立;
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②若f(0)0,则函数f(x)为奇函数;
③若f()0,则函数f(x)为偶函数;
2二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分。
113x1的解集是 ( D ) 2x12x111(A){x|x0} (B){x|x0} (C){x|x0} (D){x|x0且x}
2216.下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是增函数的函数是 ( C )
15.不等式x1A.f(x)x3 B.f(x)x32 C.f(x)x|x| D.f(x)x3
17. 对于函数yf(x),有下列五个命题:
①若yf(x)存在反函数,且与反函数图象有公共点,则公共点一定在直线yx上; ②若yf(x)在R上有定义,则yf(|x|)一定是偶函数;
③若yf(x)是偶函数,且f(x)0有解,则解的个数一定是偶数;
④若T(T0)是函数yf(x)的周期,则nT(nN),也是函数yf(x)的周期;⑤
f(0)0是函数yf(x)为奇函数的充分也不必要条件. 1234A. B. C. D. 5555 从中任意抽取一个,恰好是真命题的概率为 ( B )
18.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动(向右为顺时针,向左为逆时针)。设顶点p(x,y)的轨迹方程是则yf(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围yf(x),
区域的面积S的正确结论 ( A ) A. S1 B. S21 C. S31 D. S
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤。
19.(本题满分12分)第1小题满分6分,第2小题满分6分. 已知△ABC的周长为4(21),且sinBsinC2sinA. (1)求边长a的值;
(2)若SABC3sinA. ,求角A的大小(结果用反三角函数值表示)解 (1)根据正弦定理,sinBsinC2sinA可化为bc2a. 3分
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abc4(21) 联立方程组,解得a4. „ „„6分
bc2a1(2)SABC3sinA, ∴bcsinA3sinA,bc6. 8分
2b2c2a2(bc)22bca21. 又由(1)可知,bc42, ∴cosA2bc2bc31因此,所求角A的大小是arccos. „„„„„„„„„12分
3
20.(本题满分12分)第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分。
设函数f(x)xa,x0,。 x1(1)当a2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0a1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明。
解:(1)当a2时,f(x)x当且仅当x122x11 221 „. 4分 x1x12,即x21时取等号,∴f(x)min221 . 6分 x1(2)当0a1时,任取0x1x2
af(x1)f(x2)(x1x2)1 „„„„„. 8分
(x11)(x21)∵0a1,(x11)(x21)1,∴1a0 „. 10分
(x11)(x21)∵x1x2,∴f(x1)f(x2), 即f(x)在0,上为增函数„„. 12分 21.(本题共2小题,满分14分。第1小题满分7分,第2小题满分7分)
cx1已知函数f(x)—xc221(0xc),且f(c2)(cx1)9. 8 (1)求实数c的值; (2)解不等式f(x)>21. 8解:(1)因为0c1,所以0c2c, „„„„(3分)
91由f(c2)c31得:c „„(7分)
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10x212 (2)由得x „„(10分)
421x121821x1152 由得x „„„„„(13分)
824x12128 所以,不等式的解集为(25,) „„„(14分) 4822.(本题满分18分。第1小题6分,第2小题满分6分,第3小题6分)
已知an是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn, 等比数列{bn}的前n项和为Tn,S42S24,b2 (1)求公差d的值;
(2)若对任意的nN*,都有SnS8成立,求a1的取值范围; (3)若a1,判别方程SnTn2010是否有解?说明理由. 解:(1)∵S42S24,∴4a134d2(2a1d)4 „„„„(4分) 214,T2 9912解得d1 „„„„(6分)
(2)由于等差数列an的公差d10,Sn要取得最小值S8
a80a17d0必须有 „„„(10分)
a0a8d019
求得8a17 ∴a1的取值范围是[8,7] „„„(12分) (3)由于等比数列{bn}满足b214,T2 991bq1119q b133bbq411911[1()n]11113Tn3[1()n] ,Snna1n(n1)dn2 „„(14分)
12322131则方程SnTn2010转化为:n2[1()n]4020
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1令:f(n)n21()n,知f(n)单调递增 „„(16分)
31当1n63时,f(n)632[1()63]63213970
31当n时,f(n)2[1()]24096
3所以 方程SnTn2010无解. „(18分)
23.(本题满分18分。第1小题满分6分,第2小题满分7分,第3小题5分) 若定义在D上的函数yf(x)满足条件:存在实数a,b(ab)且[a,b]D,使得:
⑴ 任取x0[a,b],有f(x0)C(C是常数);⑵ 对于D内任意y0,当总有f(y0)C。我们将满足上述两条件的函数f(x)称为“平顶型”y0[a,b],
函数,称C为“平顶高度”,称ba为“平顶宽度”。根据上述定义,解决下列问题:
⑴ 函数f(x)|x2||x3|是否为“平顶型”函数?若是,求出“平顶高度”和“平顶宽度”;若不是,简要说明理由。
⑵ 求实数n的值,使函数f(x)xx22xn,x[2,)是“平顶型”函数。
⑶ 对于⑵中的函数f(x),若f(x)kx在x[2,)上有两个不相等的根,求实数k 的取值范围。
2x1,x2解:⑴f(x)5,2x3, ------2′
12x,x3则存在区间[2,3]使x[2,3]时f(x)5
且当x2和x3时,f(x)5恒成立。 2′ 所以函数f(x)是 “平顶型”函数,平顶高度为5,平顶宽度为5。 2′
⑵ 存在区间[a,b][2,),使得xx22xnc恒成立----1′,即
22cn1 ------3′ x2xn(xc)恒成立。则2nc221,2x1此时f(x),则存在区间[2,1]使x[2,1]时f(x)1且
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当x1时,f(x)1恒成立。 ------2′
所以n1使函数f(x)xx22xn,x[2,)是“平顶型”函数。1′ ⑶x1时,2x1kx,则
11,得k2或k1------2′ k2111,得1k------2′ k22x1时,1kx,则21所以1k。------2′
2
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