九年级数学上册《垂径定理》导学案 新人教版

【学习目标】

1.探究 研究圆的对称性，掌握垂径定理及其推论. ， 能够运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题

2.经历探索圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力。

3.在学生通过观察、操作、和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。 【学习重点】：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明 【学习难点】：垂径定理及其推论的运用。

【预习案】 一、.学法指导

1、用15分钟左右的时间阅读探究课本内容，通过预习，了解根据频数分布表求加权平均数的计算方法，体会用平均数反映一组数据的集中趋势的方法

2、限时20分钟完成教材助读设置的题目，预习自测及“我的疑惑”处，用双色笔作好备注。

二、旧知回顾

等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴在哪？

直角三角形中三边具有怎样的关系？如何利用三边的关系求其中一边的长？

三、教材助读 圆的对称性

圆是 图形，过 的任意一条直线都是它的对称轴. 垂径定理

垂直于弦的直径平分 ，并且平分 四、预习自测 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）． A．CE=DE B．BCBD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD

2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8

3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）

A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．ADBD D．PO=PD

我的疑问 请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。

【探究案】

质疑探究——质疑解疑、合作探究

1.思考， 完成“质疑探究”部分的学习内容，找出问题的思路、要点。2.明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决。3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。 一、基础知识探究

探究点1.把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，反复几次，你发现什么？ 由此你能得到什么结论？

探究点2.垂径定理及推论

问题：如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。 C 这个图形是对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

O 2.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。

E A B

3. 你能用一句D 话概括这些结论吗？

4.你能用几何方法证明这些结论吗？

5. 你能用符号语言表达这个结论吗？

. 如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径。

垂径定理的推论

如图1，若直径CD平分弦AB则

1. 直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？

C

O

E A B 2. 图2中 如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

D

二、知识综合应用探究 探究点一：

1. 连结什么可得到一个直角三形？

2. 利用什么知识可以解得半径。

3. 从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？

总结提升:例1：赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？ C

D

ABR

O

注：在半径r,弦a，弦心距d,拱高h四个量中，任意知道其中的 个量中， 利用 定理，就可以求出其余的量。 例2：如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD O

. A D . O

B ACDB

三、知识网络:

1垂径定理： 2、解决垂径问题常用 方法 。

【训练案】 选择题． 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）．

A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD

ACOCBEDOAMBAOPBD

(1) (2) (3)

2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8

3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）

A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．AD=BD D．PO=PD

二、填空题

1．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．

2．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） DB

EB

A OEO A (5) C F D （6） C

3．如图6，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，则弦CD长 三、解答题

1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD的圆心，•其中CD=300m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=45m，求这段弯路的半径．

C

E

F

D

O2.AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？ D

CN

O

AM B

3.（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．