江西省九江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

江西省九江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）已知集合 A={y|y=2，x＜0}，集合 B={x|x≥0}，则A∩B=（） A． （1，+∞） B． [1，+∞） C． （0，+∞） 2．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（） A．

B．

C．

﹣x

D． [0，+∞）

D．

3．（5分）设f：x→ln|x|是集合M到集合N的映射，若N={0，1}，则M不可能是（） A． {1，e} B． {﹣1，1，e} C． {1，﹣e，e} D． {0，1，e}

4．（5分）圆（x+2）+y=4与圆（x﹣2）+（y﹣1）=9的位置关系为（） A． 内切 B． 相交 C． 外切 D． 相离 5．（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（）

①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n； ②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n； ③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n； ④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

6．（5分）函数f（x）=e+x的零点所在一个区间是（） A． （﹣2，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1）

x2

2

2

2

D． （1，2）

7．（5分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（）

A． ﹣3 B． 2 C． ﹣3或2 D． 3或﹣2

8．（5分）已知函数f（x）=ln

，则函数f（x）的图象（）

A． 关于x轴对称 B． 关于y轴对称 C． 关于原点对称 D．关于直线y=x对称 9．（5分）如图所示是某一几何体的三视图，则它的体积为（）

A． 16+12π

B． 48+12π

C． +12π

D． +16π

10．（5分）已知函数f（x）= A． 0

B． 1

2

2

，（其中a＞1），则f[f（a）]=（） C． 2

D． loga2

2

11．（5分）直线l：y=kx﹣1与曲线C：x+y﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取

值范围是（） A．

12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点 A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（） ①三棱锥P﹣AA1Q的体积为定值； ②当CQ=时，S为等腰梯形； ③当＜CQ＜1时，S为六边形； ④当CQ=1时，S的面积为

．

B．

C．

D．

A． ①④ B． ①②③ C． ②③④

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程是．

14．（5分）函数f（x）=

的定义域为．

D． ①②④

15．（5分）函数f（x）=（m﹣m﹣1）x是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是．

16．（5分）已知圆C1：x+y=1与圆C2：（x﹣2）+（y﹣4）=5，过动点 P（a，b）分别作

22

圆C1，圆C2的切线PM，PN（ M、N分别为切点），若PM=PN，则（a﹣5）+（b+1）的最小值是．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

2

17．（12分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R． （1）若a=0，求A∪B的值；

（2）若（∁RA）∩B≠∅，求a的取值范围． 18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=． （1）证明：CD⊥平面PAC；

（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

2

2

2

2

2

m

19．（12分）如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点 B后，被x轴反射到y轴上的

C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）． （1）求直线BC的方程；

（2）求线段BC的中垂线方程．

20．（12分）已知函数f（x）=e﹣e． （1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）若函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，求实数a的取值范围．

x

﹣x

21．（12分）如图所示，已知圆C：x+y=r（r＞0）上点（1，

222

）处切线的斜率为，

圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N． （1）求圆C的方程；

（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．

【选做题】（请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．） 22．（10分）求函数y=（2）﹣2

x

2

x+1

+5，x∈[﹣1，2]的最大值和最小值．

23．已知函数f（x）=loga（x+1）是定义在区间[1，7]上的函数，且最大值与最小值之和是2，求函数f（x）的最大值和最小值．

24．已知函数f（x）=

﹣

+5，x∈[2，4]，求f（x）的最大值及最小值．

江西省九江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）已知集合 A={y|y=2，x＜0}，集合 B={x|x≥0}，则A∩B=（） A． （1，+∞） B． [1，+∞） C． （0，+∞） D．[0，+∞）

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

分析： 求出A中y的范围确定出A，找出A与B的交集即可．

﹣x

解答： 解：由A中y=2，x＜0，得到y＞1，即A=（1，+∞），

﹣x

∵B=[0，+∞）， ∴A∩B=（1，+∞）， 故选：A．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（） A．

B．

C．

D．

考点： 直线的斜率． 专题： 计算题．

分析： 根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．

解答： 解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，

所以直线l的斜率k=tan120°=tan（180°﹣60°）=﹣tan60°=﹣． 故选B

点评： 此题比较简单，要求学生掌握直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，以及灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值进行化简求值． 3．（5分）设f：x→ln|x|是集合M到集合N的映射，若N={0，1}，则M不可能是（） A． {1，e} B． {﹣1，1，e} C． {1，﹣e，e} D．{0，1，e}

考点： 映射．

专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由题意知|x|=1，|x|=e；从而解得． 解答： 解：∵N={0，1}， ∴|x|=1，|x|=e； 故A，B，C正确， D不正确； 故选D．

点评： 本题考查了映射的概念与应用，属于基础题．

4．（5分）圆（x+2）+y=4与圆（x﹣2）+（y﹣1）=9的位置关系为（） A． 内切 B． 相交 C． 外切 D．相离

考点： 圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 直线与圆．

分析： 求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．

22

解答： 解：圆（x+2）+y=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．

22

圆（x﹣2）+（y﹣1）=9的圆心C2（2，1），半径R=3，

2222

两圆的圆心距d=R+r=5，R﹣r=1，

=，

R+r＞d＞R﹣r， 所以两圆相交， 故选B．

点评： 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径． 5．（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（）

①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n； ②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n； ③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n； ④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个

考点： 空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 利用线面平行、面面平行以及线面垂直、面面垂直的性质对选项分别分析解答． 解答： 解：对于①，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n或者异面；故①错误；

对于②，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面平行、线面垂直的性质，可得m与n平行或异面；故②不正确；

对于③，若m⊥α，n∥β，且α∥β，利用线面平行、线面垂直，面面平行的性质，可得m⊥n；正确

对于④，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面垂直、面面垂直的性质可得m⊥n．正确 故正确的有2个； 故选B．

点评： 本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直以及面面垂直的性质，熟练掌握定理是解答的关键．

6．（5分）函数f（x）=e+x的零点所在一个区间是（） A． （﹣2，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1） D．（1，2）

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由 函数f（x）是R上的连续函数，且 f（﹣1）•f（0）＜0，根据函数的零点的判定定理得出结论．

x

解答： 解：∵函数f（x）=e+x是R上的连续函数，f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=1＞0， ∴f（﹣1）•f（0）＜0，

故函数f（x）=e+x的零点所在一个区间是 （﹣1，0）， 故选B．

点评： 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．

7．（5分）若直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行，则a的值是（） A． ﹣3 B． 2 C． ﹣3或2 D．3或﹣2

x

x

考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题： 直线与圆．

分析： 利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．

解答： 解：直线l1：ax+3y+1=0，的斜率存在，斜率为﹣， l2：2x+（a+1）y+1=0，斜率为﹣

∵直线l1：ax+3y+1=0与l2：2x+（a+1）y+1=0互相平行 ∴﹣=﹣

解得：a=﹣3或2

当a=2时，两直线重合， ∴a=﹣3 故选：A．

点评： 本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题．

8．（5分）已知函数f（x）=ln

，则函数f（x）的图象（）

A． 关于x轴对称 B． 关于y轴对称 C． 关于原点对称 D． 关于直线y=x对称

考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 由题意先求定义域，再判断f（﹣x）与f（x）的关系．

解答： 解：∵函数f（x）=ln又∵

的定义域为（﹣1，1）；

，

∴f（x）是奇函数，

故选C．

点评： 本题考查了函数的性质的判断，属于基础题． 9．（5分）如图所示是某一几何体的三视图，则它的体积为（）

A． 16+12π

考点： 由三视图求面积、体积．

B． 48+12π

C． +12π D．+16π

专题： 空间位置关系与距离．

分析： 几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，根据三视图判断圆柱的高与底面半径，判断正四棱锥的高及侧面上的斜高，求出正四棱锥的底面边长，把数据代入圆柱与棱锥的体积公式计算．

解答： 解：由三视图知：几何体是圆柱与正四棱锥的组合体，

2

圆柱的高为3，底面直径为4，∴圆柱的体积为π×2×3=12π； 正四棱锥的高为3，侧面上的斜高为5，∴正四棱锥的底面边长为2∴四棱锥的体积为×8×3=．

故几何体的体积V=+12π． 故选：C．

点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．

10．（5分）已知函数f（x）=

，（其中a＞1），则f[f（a）]=（）

2

2

=8，

A． 0 B． 1 C． 2 D．loga2

考点： 对数的运算性质． 专题： 函数的性质及应用．

2

分析： 由a＞1可得a＞a，然后依次代入分段函数解析式求得答案．

2

解答： 解：∵a＞1，∴a＞a，

2

∴f（a）=1，

2

则f（f（a））=f（1）=loga1=0， 故选：A．

点评： 本题考查了分段函数的函数值的求法，考查了对数的运算性质，是基础题．

11．（5分）直线l：y=kx﹣1与曲线C：x+y﹣4x+3=0有且仅有2个公共点，则实数k的取值范围是（） A．

B．

C．

D．

22

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 计算题；直线与圆．

分析： 求出直线l：y=kx﹣1与曲线C相切时k的值，即可求得实数k的取值范围．

解答： 解：如图所示，直线y=kx﹣1过定点A（0，﹣1），直线y=0和圆（x﹣2）+y=1相交于B，C两点，

2

2

22

，，，

∵直线l：y=kx﹣1与曲线C：x+y﹣4x+3=0有且仅有2个公共点， ∴0故选A．

，

点评： 此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的数学思想，比较基础．

12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点 A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（） ①三棱锥P﹣AA1Q的体积为定值； ②当CQ=时，S为等腰梯形； ③当＜CQ＜1时，S为六边形； ④当CQ=1时，S的面积为

．

A． ①④ B． ①②③ C． ②③④ D．①②④

考点： 棱柱的结构特征． 专题： 立体几何．

分析： ①通过计算点P到平面AA1Q的距离，利用体积公式计算即可； ②通过条件可得PQ∥AD1，从而得出结论；

③当时，S为五边形，故③错误；

④通过条件可知S为平行四边形APC1R，利用面积计算公式即得结论． 解答： 解：①点P到平面AA1Q的距离∴②当③当

，

，故①正确．

时，PQ∥AD1，S为等腰梯形APQD1，故②正确．

时，S为五边形，故③错误．

④设A1D1的中点为R，当CQ=1时，S为平行四边形APC1R， 易得S的面积为故选：D．

，故④正确．

点评： 本题考查点到直线的距离公式，棱锥的体积公式，面积公式，注意解题方法的积累，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）过点（1，3）且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程是2x﹣y+1=0．

考点： 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程． 专题： 计算题．

分析： 由两条直线垂直斜率之积为﹣1，求出所求直线的斜率，再代入点斜式直线方程，最后需要化为一般式方程．

解答： 解：由题意知，与直线x+2y﹣1=0垂直的直线的斜率k=2， ∵过点（1，3），

∴所求的直线方程是y﹣3=2（x﹣1）， 即2x﹣y+1=0，

故答案为：2x﹣y+1=0．

点评： 本题考查了直线垂直和点斜式方程的应用，利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线斜率的值，代入点斜式直线方程，从而得到直线的方程；

14．（5分）函数f（x）=的定义域为（0，2）∪（2，3]．

考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 直接利用分母不为0，偶次方非负，对数的真数为正数，得到不等式组，求解即可．

解答： 解：要使函数有意义，必须：，解得x∈（0，2）∪（2，3]．

所以函数的定义域是：（0，2）∪（2，3]． 故答案为：（0，2）∪（2，3]．

点评： 本题考查函数的定义域的求法，基本知识的考查．

15．（5分）函数f（x）=（m﹣m﹣1）x是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是﹣1．

考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

2

分析： 运用幂函数的定义，可得m﹣m﹣1=1，解得m，再由幂函数的单调性即可得到m．

2

解答： 解：由幂函数定义可知：m﹣m﹣1=1， 解得m=2或m=﹣1，

又函数在x∈（0，+∞）上为减函数， 则m=﹣1．

故答案为：﹣1．

2m

点评： 本题考查幂函数的定义和性质，考查函数的单调性的判断，考查运算能力，属于基础题．

16．（5分）已知圆C1：x+y=1与圆C2：（x﹣2）+（y﹣4）=5，过动点 P（a，b）分别作

22

圆C1，圆C2的切线PM，PN（ M、N分别为切点），若PM=PN，则（a﹣5）+（b+1）的最小值是．

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆．

22

分析： 根据条件PM=PN，求出P的轨迹方程，（a﹣5）+（b+1）的几何意义为P到定点（5，﹣1）的距离的平方，即可得到结论．

2222

解答： 解：∵过动点 P（a，b）分别作圆C1，圆C2的切线PM，PN（ M、N分别为切点），若PM=PN，

22

∴|PC1|﹣1=|PC2|﹣5，

2222

即a+b﹣1=（a﹣2）+（b﹣4）﹣5，

即a+2b﹣4=0，即动点P（a，b）在直线x+2y﹣4=0上，

22

（a﹣5）+（b+1）的几何意义为P到定点（5，﹣1）的距离的平方， 则点（5，﹣1）到直线x+2y﹣4=0的距离为

2

2

，

故（a﹣5）+（b+1）的最小值为， 故答案为：

点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，利用距离的几何意义是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

2

17．（12分）已知集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R． （1）若a=0，求A∪B的值；

（2）若（∁RA）∩B≠∅，求a的取值范围．

考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合．

分析： （1）若a=0，求出集合A，B即可求A∪B的值； （2）根据集合关系进行求解即可．

解答： 解：（1）若a=0，则A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x﹣2x=0}={0，2}， 则A∪B={x|﹣2＜x≤2}

（2）∁RA={x|x≥a+2或x≤a﹣2}，且a∉∁RA，

2

B={x|x﹣（a+2）x+2a=0}={x|x=2或x=a}， 若（∁RA）∩B≠∅，

∴2∈CRA，2≤a﹣2，2≥a+2， ∴a≤0或a≥4．

2

点评： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，AC=． （1）证明：CD⊥平面PAC；

（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 证明题；空间位置关系与距离．

分析： （1）由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD可证明PA⊥CD，在△ACD中，由已知

222

可得AC+CD=AD，即CD⊥AC，又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，从而证明CD⊥平面PAC．

（2）先求S四边形ABCD=AB×AC=，从而由VP﹣ABCD=S四边形ABCD×PA，即可求解．

解答： （本小题满分12分） 解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD ∴PA⊥CD…（2分）

在△ACD中，AD=2，CD=1，AC=， ∴AC+CD=AD

∴∠ACD=90°，即CD⊥AC…（4分）

又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC…（6分） （2）∵S四边形ABCD=AB×AC=∴VP﹣ABCD=

…（9分）

…（12分）

2

2

2

S四边形ABCD×PA=

点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的解法，体现了数形结合和等价转化的数学思想，属于中档题． 19．（12分）如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点 B后，被x轴反射到y轴上的

C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）． （1）求直线BC的方程；

（2）求线段BC的中垂线方程．

考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程． 专题： 直线与圆．

分析： （1）求出点A（2，1）关于x轴的对称点A′（2，﹣1），点D（1，2）关于y轴的对称点D′（﹣1，2），然后由直线方程的两点式求得直线BC的方程；

（2）由（1）求得B，C的坐标，进一步求得BC的中点坐标，再求出直线BC的斜率，得到BC的中垂线的斜率，代入直线方程点斜式得答案． 解答： 解：（1）点A（2，1）关于x轴的对称点为A′（2，﹣1）， 点D（1，2）关于y轴的对称点为D′（﹣1，2）， 根据反射原理，A′，B，C，D′四点共线．

∴直线BC的方程为

（2）由（1）得B（1，0），C（0，1）． ∴BC的中点坐标为（∴线段BC的中垂线方程为

），kBC=﹣1．

，即x+y﹣1=0；

，即x﹣y=0．

点评： 本题考查了点关于直线的对称点的求法，考查了直线方程的两点式与点斜式，是基础题．

20．（12分）已知函数f（x）=e﹣e． （1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）若函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，求实数a的取值范围．

考点： 函数零点的判定定理．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

x﹣x

分析： （1）先求出函数f（x）的定义域为R，再可判断f（﹣x）=e﹣e=﹣（e﹣e）=﹣f（x）；从而判断．

（2）易知函数f（x）在R上单调递增，从而化函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点为

，从而解得．

﹣xxx﹣x

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R， 且f（﹣x）=e﹣e=﹣（e﹣e）=﹣f（x）； 则函数f（x）为奇函数．

（2）易知函数f（x）在R上单调递增，

∵函数f（x）在区间（a﹣1，a+1）上存在零点，

﹣x

xx﹣x

∴，

解得﹣1＜a＜1；

故实数a的取值范围为（﹣1，1）．

点评： 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题．

21．（12分）如图所示，已知圆C：x+y=r（r＞0）上点（1，

2

2

2

）处切线的斜率为，

圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N． （1）求圆C的方程；

（2）试问：直线MN是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆．

分析： （1）根据条件结合点在圆上，求出圆的半径即可求圆C的方程； （2）根据条件求出直线MN的斜率，即可得到结论．

解答： 解：（1∵点∴

2

2

在圆C：x+y=r上，

．

222

故圆C的方程为x+y=4．

22

（2）设P（x0，y0），则x0+y0=4，

直线BD的方程为x﹣y﹣2=0，直线AP的方程为y=

+2

联立方程组，得M（，），

易得N（0，），

∴kMN=2X

=

==

，

∴直线MN的方程为y=x+，

化简得（y﹣x）x0+（2﹣x）y0=2y﹣2x…（*） 令

，得

，且（*）式恒成立，故直线MN经过定点（2，2）．

点评： 本题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆的位置关系的应用，考查学生的计算

能力．

【选做题】（请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．） 22．（10分）求函数y=（2）﹣2+5，x∈[﹣1，2]的最大值和最小值．

考点： 复合函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用换元法，结合指数函数和一元二次函数的性质进行求解即可．

x2x+1

解答： 解：设t=2，

∵x∈[﹣1，2]，∴t=2∈[，4]），

则函数等价为y=t﹣2t+5=（t﹣1）+4， 当t=1时，y取最小值4， 当t=4时，y取最大值13．

点评： 本题主要考查复合函数性质的应用，利用换元法结合指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．

23．已知函数f（x）=loga（x+1）是定义在区间[1，7]上的函数，且最大值与最小值之和是2，求函数f（x）的最大值和最小值．

考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

x

x

22

分析： 由对数函数的单调性可得f（7）+f（1）=2，运用对数的运算性质解得a=4，再由对数函数的单调性即可得到最值．

解答： 解：∵函数f（x）在区间[1，7]上是单调函数， ∴f（x）最大值与最小值之和是f（7）+f（1）=2， 即loga8+loga2=2，解得a=4，

∴函数f（x）=log4（x+1）在区间[1，7]上单调递增， ∴

， ．

点评： 本题考查对数函数的单调性和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．

24．已知函数f（x）=

﹣

+5，x∈[2，4]，求f（x）的最大值及最小值．

考点： 对数函数的值域与最值；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 计算题．

分析： 利用换元法，把函数变为闭区间上的二次函数，然后求出函数的最值．

解答： 解：因为函数，

设t=，t∈[﹣1，﹣]．

函数化为：g（t）=t﹣t+5，t∈[﹣1，﹣]． 函数g（t）的开口向上，对称轴为t=， 函数在t∈[﹣1，﹣]．上是减函数， 所以函数的最小值为：g（最大值为：g（﹣1）=7．

所以函数f（x）的最大值及最小值为：7；5．

点评： 本题是基础题，考查换元法的应用，二次函数闭区间上的最值的求法，考查计算能力．

）=5．

2