空间向量的应用

 考纲要求

1、空间向量的概念及其运算

将平面向量的有关概念及其运算推广到空间，并理解其意义；

掌握空间向量的线性运算和数量积；领悟类比和推广的数学思维方法。 2、空间向量及其与运算的坐标表示

会用坐标表示空间向量，会将空间向量的运算转化为坐标运算。 3、空间直线的方向向量和平面的法向量

会将线面的平行及其垂直关系转化为向量关系；

会用向量方法证明简单的空间图形中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直，以及解决一些简单的几何证明问题 4、空间向量在度量问题中的应用

会用向量方法进行有关角的度量计算和有关距离的计算。 有关角： 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角。 有关距离：点到平面的距离、异面直线之间的距离。

 知识梳理

一、空间向量的概念及其坐标表示（参阅：理科课本P．39～47）

1、空间向量的有关概念

空间向量的模、零向量、单位向量、一个向量的负向量、向量的夹角等概念，皆等同于平面向量的相应概念；空间向量运算（加法、减法、数乘和数量积）以及其运算律，都与平面向量的相应概念、运算及其运算律具有相同的意义。 平面向量分解定理的空间推广（空间向量的基是由三个互不平行向量组成）。 2、空间向量的坐标表示

空间直角坐标系、空间位置向量和空间向量的坐标，以及空间向量运算的坐标表示；

空间位置中的定比分点公式、距离公式、向量的夹角公式。

二、空间直线的方向向量和平面的法向量（参阅：理科课本P．48～52） 1．直线l的一个方向向量：平行与空间直线l的非零向量d． 2．平面的一个法向量：垂直与平面的非零空间向量n． 3．直线、平面的三个基础命题：

（1）两条直线平行或重合的充要条件是它们的方向向量互相平行； （2）一条直线与一个平面平行或在一个平面内的充要条件是这条直线的方向向量垂直与该平面的法向量；

（3）两个平面平行或重合的充要条件是它们的法向量互相平行．

三、课本练习：P．41～52 练习3.1，3.2(1)、(2)、(3)，3.3(1)、(2)、(3)。

1

四、空间向量在度量问题中的应用（参阅：理科课本P．53～57） 1、求异面直线的夹角

设a、b分别是异面直线a、b的方向向量，

ab又a与b的夹角，则cosab。

特殊情形：abab0。

例1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，

求异面直线AC与BC1所成角的大小。

例2 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，

D、E分别是棱BC、CC1的中点，

ABAA12,，求异面直线AB1与BE所成角的

大小。

2、求直线与平面所成的角

a为直线a的一个直线a与平面所成的角为，

方向向量，n是平面的法向量（如图），则

ansincos() 2an特殊情形：当an(R且0)，则直线a与平面垂直。 PA平例3 如图，在三棱椎PABC中，

面ABC，BAC90,，D、E、F分别是棱

 AB、BC、CP的中点，ABAC1，PA2，求直线PA与平面DEF所成角的大小

2

3、求二面角的大小

如图，设是两相交平面、所成的平面角，n1是平面的一个法向量，n2是平面的一个法向量，则法向量夹角为，

即cosn1n2n1n2。

特殊情形：当n1n20时，平面垂直平面。

例4 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，

D、E分别是棱BC、CC1的中点，ABAA12,，

求二面角BAB1D的大小。

*4、求异面直线的距离

（只要求在已知异面直线公垂线的条件下）

d是异面直线a与b的距离，n是直线a如图，与b的一个法向量，A、B分别是直线a、b上的ABn点，显然d|AB|cos, 又cos，则

ABn nC A abD B ABndn．

例5 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱BC、CC1的中点， ABAA12,，求异面直线AB1与BE的距

离。

5、求点到平面的距离

如图，点A到平面的距离d|PA|cos, 3

PAnPAn而cosPAn，则dn

（n是平面的一个法向量）

例6 如图，在三棱椎PABC中，

PA平面ABC，BAC90,，

D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，ABAC1，求点P到平面DEF的PA2，

距离。

利用这个公式，不仅可解决点到平面的距离，还可推广到直线与平面平行时的距离以及平行的两个平面之间的距离问题：

（1）若an0a//平面（其中a是直线a的方向向量，n是平面的法向量）；

（2）nn(R且0)平面//平面(其中n、n为平面、的法向量)

6、空间向量的综合应用

例7 在三棱锥SABC中，ABC是边长为4 的等边三角形，平面SAC平面

ABC，SASC22,M为AB的中点

（1）证明：ACSB；

（2）求二面角SCMA的平面角的正弦值；

（3）求点B到平面SCM的距离。

4