空间向量的应用

题型一 求异面直线所成的角

例1 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形

BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1 分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影． (1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；

(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD

＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．

1

题型二 求直线与平面所成的角

例2 在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图． （1）求证：AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC

＝1

2

AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

2

题型三 求二面角

例3 (2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩

形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．

(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面

ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12

PD.

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q—BP—C的余弦值．

3

题型四 求空间距离

例4 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥

平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离．

(2012·大纲全国)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为

CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

A．2

4

( )

B.3 C.2 D．1

课后强化训练

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角

为

( )

A．60° C．30°

B．45° D．90°

2． 在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，

则点P到平面OAB的距离d等于 A．4

B．2

( )

C．3 D．1

3. 如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1

和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是 A．60° C．30°

B．45° D．90°

( )

4． 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的

锐二面角的余弦值为 1

A. 2

2B. 3

C.

D.

2 2

( )

3

3

二、填空题(每小题5分，共15分)

5. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，

∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1 所成的角是________．

6． 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，

则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为____________．

7． 设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．

三、解答题(共22分)

8． (10分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABD

所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝ 4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．

5

9． (12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥

平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)求二面角P—BD—A的大小．

6

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

→→

1． 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉

的值为 1A. 9

( )

4B.5 92D. 3

2

C.5 92． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )

A.2

2

B.15 5

C.6

4

D.6 3

3. 如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1

D1P上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是

D1B1

0， A.31C.2，1

1

0， B.21D.3，1

( )

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． (2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－

A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 ________．

5．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________．

30 A. 1 B. 2 C. D. 105102 2 6． 在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．

7

三、解答题

7． (13分)(2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，

AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

8

空间向量的应用—求空间角、距离

题型一 求异面直线所成的角

例1 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形

BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1 分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影． (1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；

(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

→→→

(1)证明 以D为原点，DD1、DC、DA分别为z轴、y轴、x轴1→

的正向，|DD1|为1个单位长度建立空间直角坐标系．

2

由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，

→→→

∴FE1＝(0,1，－1)，FG1＝(0，－1，－1)，EE1＝(－1,0,0)， →→→→→→→→∴FG1·EE1＝0，FG1·FE1＝0⇒FG1⊥EE1，FG1⊥FE1， 又∵EE1∩FE1＝E1.∴FG1⊥平面FEE1. (2)解 由题意知点A的坐标为(2,0,0)，

→→

又由(1)可知EA＝(1，－2，－1)，E1G1＝(0，－2,0)， →→EA·E1G16→→

∴cos〈EA，E1G1〉＝＝，

3→→

|EA|·|E1G1|→→

∴sin〈EA，E1G1〉＝3→→

1－cos2〈EA，E1G1〉＝.

3

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，

AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值．

→→→

解 以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则→→

有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是EC1＝(1,3,2)，FD1＝(－4,2,2)，设EC1与FD1

9

所成的角为β，则： →→|EC1·FD1|

cos β＝

→→|EC1|·|FD1|＝

1×－4＋3×2＋2×212＋32＋22×－42＋22＋2

2＝21， 14

21. 14

∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为题型二 求直线与平面所成的角

例2 在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图． （1）求证：AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，

∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．

（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，

∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M∴

=（0，1，﹣1），

=（1，1，0），

=

．

．

设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，

令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）． 设直线AD与平面MBC所成角为θ． 则sinθ=|cos

|=

=

=

10

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA

1

＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC

2的中点．

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN与平面CMN所成角的大小．

(1)证明 设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，

111

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，，0)．

2221→11→

所以CM＝(1，－1，)，SN＝(－，－，0)．

22211→→

因为CM·SN＝－＋＋0＝0，

22所以CM⊥SN.

(2)解 设平面CMN的法向量为n＝(x，y，z)，

则→1，－1，0＝1x－y＝0n·CN＝x，y，z·22

1

∴y＝x，z＝－x，取x＝2，

2

1→

n·CM＝x－y＋z＝0

2

.

则n＝(2,1，－2)为平面CMN的一个法向量． →n·SN→

∴cos〈n·SN〉＝

→|n|·|SN|

－1，－1，02，1，－2·222

＝＝－.

211－2＋－2＋0222＋1＋－22·22→

∴〈n·SN〉＝135°，

故SN与平面CMN所成角的大小为45°.

11

题型三 求二面角

例3 (2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩

形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值． (1)证明 ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD.

同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD. 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC. (2)解 如图，

分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系． 由(1)知BD⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC， ∴BD⊥AC.

故矩形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2. ∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． →→→

∴PB＝(2,0，－1)，BC＝(0,2,0)，BD＝(－2,2,0)． 设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)， →PB＝0，x＋0·y－z＝0，n·2·则 即

→0·x＋2·y＋0·z＝0，BC＝0，n·

z＝2x，

∴取x＝1得n＝(1,0,2)． y＝0，

→

∵BD⊥平面PAC，∴BD＝(－2,2,0)为平面PAC的一个法向量． →n·BD10→

cos 〈n，BD〉＝＝－.

10→

|n|·|BD|

π

设二面角B－PC－A的平面角为α，由图知0<α<，

2∴cos α＝

10310，sin α＝1－cos2α＝. 1010

12

sin α

∴tan α＝＝3，

cos α

即二面角B－PC－A的正切值为3.

(2011·辽宁)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面

1

ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

2(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q—BP—C的余弦值．

(1)证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以DA、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

→→

依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则DQ＝(1,1,0)，DC＝(0,0,1)，

→

PQ＝(1，－1,0)．

→→→→所以PQ·DQ＝0，PQ·DC＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.

又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ. 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

→→

(2)解 依题意有B(1,0,1)，CB＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－1)． 设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量， →CB＝0，n·x＝0，则 即

→－x＋2y－z＝0.BP＝0，n·

因此可取n＝(0，－1，－2)．

→BP＝0，m·

同理，设m是平面PBQ的法向量，则

→PQ＝0，m·可取m＝(1,1,1)．所以cos〈m，n〉＝－故二面角Q—BP—C的余弦值为－题型四 求空间距离

例4 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥

平面ABC，SA＝SC＝23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离．

13

15. 5

15. 5

解 取AC的中点O，连接OS、OB.∵SA＝SC，AB＝BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC＝AC， ∴SO⊥平面ABC，

又∵BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(0,23，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,22)， M(1，3，0)，N(0，3，2)．

→→→

∴CM＝(3，3，0)，MN＝(－1,0，2)，MB＝(－1，3，0)． 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， →n＝3x＋3y＝0CM·则，取z＝1，

→n＝－x＋2z＝0MN·则x＝2，y＝－6，∴n＝(2，－6，1)． →

|n·MB|42∴点B到平面CMN的距离d＝＝. |n|3

(2012·大纲全国)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E

为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A．2 答案 D

解析 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,22)，E(0,2，2)，易知AC1∥平面BDE. 设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量． →BD＝2x＋2y＝0n·

则.

→DE＝2y＋2z＝0n·

取y＝1，则n＝(－1,1，－2)为平面BDE的一个法向量． →

又DA＝(2,0,0)，

∴点A到平面BDE的距离是 →

|－1×2＋0＋0||n·DA|

d＝＝＝1.

|n|－12＋12＋－22

故直线AC1到平面BED的距离为1.

14

( )

B.3 C.2 D．1

课后强化训练

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角

为

( )

A．60° C．30° 答案 D

B．45° D．90°

解析 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设→→

正方体边长为1，则射线CD1、B1D的方向向量分别是CD1＝(－1,0,1)，B1D＝(－1,1，－1＋0－1→→

1)，cos〈CD1，B1D〉＝＝0，

2×3∴两直线所成的角为90°.

2． 在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，

则点P到平面OAB的距离d等于 A．4 答案 B

解析 P点到平面OAB的距离为 →|OP·n||－2－6＋2|d＝＝＝2，故选B.

|n|9

3. 如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1

和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是 A．60° C．30° 答案 B

解析 以D为原点，分别以射线DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则 D(0,0,0)，C(0,1,0)， 1111，，1，F，0，， E2222

11→→

0，－，－，DC＝(0,1,0)， EF＝22

B．45° D．90°

( )

B．2

( )

C．3 D．1

15

→→EF·DC2→→→→

∴cos〈EF，DC〉＝＝－，∴〈EF，DC〉＝135°，

2→→

|EF||DC|∴异面直线EF和CD所成的角是45°.

提醒 两异面直线的方向向量的夹角与异面直线所成的角相等或互补．

4． 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的

锐二面角的余弦值为 1A. 2答案 B

解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1， 1

1，0，，D(0,1,0)， 则A1(0,0,1)，E21→→

1，0，－， ∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝2设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)， y－z＝0，y＝2，

则1 ∴

z＝2.1－z＝0，2

2B. 3

C.

D.

2 2

( )

3

3

∴n1＝(1,2,2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝2

即所成的锐二面角的余弦值为. 3二、填空题(每小题5分，共15分)

5. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，

∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1 所成的角是________． 答案 60°

解析 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．

22

＝. 3×13

设AB＝BC＝AA1＝2，

则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)， →→

则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，

16

→→∴EF·BC1＝2， →→

∴cos〈EF，BC1〉＝

21

＝，

2×222

∴EF和BC1所成的角为60°.

6． 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1

与AE所成角的余弦值为____________． 答案

30

10

解析 建立坐标系如图， 则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)，

→→

∴BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)， →→BC1·AE→→

∴cos〈BC1，AE〉＝ →→|BC1||AE|＝30. 10

7． 设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．

答案

23

3

17

解析 如图建立空间直角坐标系， 则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)， D(0,0,0)，B(2,2,0)， →

∴D1A1＝(2,0,0)，

→→

DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，

设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)， →DA1＝2x＋2z＝0n·则.

→DB＝2x＋2y＝0n·令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，

→

|D1A1·n|223

∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

|n|33三、解答题(共22分)

8． (10分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABD

所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝ 4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值． 解 (1)建立如图空间直角坐标系，

∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， ∴∠PAD＝60°.

在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23，∴P(0,0,23)． →→

(2)∵PA＝(2,0，－23)，BC＝(－2，－3,0)， →→

∴cos〈PA，BC〉 ＝

2×－2＋0×－3＋－23×013

＝－，

13413

13. 13

∴PA与BC所成的角的余弦值为

9． (12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥

平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6. (1)求证：BD⊥平面PAC；

18

(2)求二面角P—BD—A的大小．

(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(23，0,0)， C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，

→→→

∴AP＝(0,0,3)，AC＝(23，6,0)，BD＝(－23，2,0)． →→→→∴BD·AP＝0，BD·AC＝0.∴BD⊥AP，BD⊥AC. 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥面PAC.

(2)解 设平面ABD的法向量为m＝(0,0,1)， 设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)， →→→则n·BD＝0，n·BP＝0.∵BP＝(－23，0,3)， y＝3x，－23x＋2y＝0，∴解得23 －23x＋3z＝0z＝3x.

m·n1令x＝3，则n＝(3，3,2)，∴cos〈m，n〉＝＝.

|m||n|2∴二面角P—BD—A的大小为60°.

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

→→1． 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉

的值为 1A. 9

( )

4B.5 92D. 3

2

C.5 9答案 B

解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y→→

轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝145→→→→

(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，sin〈CM，D1N〉＝. 99

2． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )

A.2

2

B.15 5

C.6

4

D.6 3

答案 C 解析

19

→

建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则C1(3，1,0)、A(0,0,2)，AC1＝(3，1，－2)，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦→|AC1·n|36值为＝＝.故选C.

→84|AC1||n|

3. 如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1

D1P上，记＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是

D1B1

0， A.31C.2，1 答案 D

→→→

解析 由题设可知，以DA、DC、DD1为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)， D1(0,0,1)．

→

由D1B＝(1,1，－1)得 →→

D1P＝λD1B＝(λ，λ，－λ)， →→→所以PA＝PD1＋D1A

＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， →→→

PC＝PD1＋D1C＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1) ＝(－λ，1－λ，λ－1)．

显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于 →→PA·PC→→

cos∠APC＝cos〈PA，PC〉＝<0，

→→|PA||PC|→→

这等价于PA·PC<0，

即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2

1

0， B.21D.3，1

( )

20

1

＝(λ－1)(3λ－1)<0，得<λ<1.

31

因此，λ的取值范围为3，1. 二、填空题(每小题5分，共15分)

4． (2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－

A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 ________． 答案

5

5

解析 利用向量法求解． 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.

可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)， →→

∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)，

→→

4－1BC1·AB115→→

∴cos〈BC1，AB1〉＝＝＝＝>0.

→→5×955|BC1||AB1|→→

∴BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角， ∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为5. 5

5．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为________．

30 A. 1 B. 2 C. D. 105102 2

如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为X,Y,Z轴，建立坐标系。令ACBCC1C2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).∴BM(-1,1，-2），AN(0,-1，-2）。cosθBMAN|BM||AN|0-146530.10

6． 在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC

的距离为________． 答案

3a 3

解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则

21

P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．

过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．

∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心． 又∵△ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心， aaa

可得H点的坐标为3，3，3. ∴PH＝

a－02＋a－02＋a－02＝3a.

3333

3a. 3

∴点P到平面ABC的距离为三、解答题

7． (13分)(2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，

AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． (1)证明 ∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC. ∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC， 又A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C. 又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE.

(2)解 如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz 则A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)． →

设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B＝0， →n·BE＝0.

→→

又A1B＝(3,0，－23)，BE＝(－1,2,0)，

22

3x－23z＝0，∴ －x＋2y＝0.

令y＝1，则x＝2，z＝3， ∴n＝(2,1，3)．

设CM与平面A1BE所成的角为θ. →

∵CM＝(0,1，3)，

→n·CM42→

∴sin θ＝|cos〈n，CM〉|＝＝＝. →8×42|CM||n|·π∴CM与平面A1BE所成角的大小为. 4

(3)解 线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．理由如下： 假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]． 设平面A1DP的法向量为m＝(x′，y′，z′)， →→则m·A1D＝0，m·DP＝0.

→→

又A1D＝(0,2，－23)，DP＝(p，－2,0)，

2y′－23z′＝0，∴ px′－2y′＝0.

令x′＝2，则y′＝p，z′＝∴m＝2，p，

p. 3

p， 3



平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0， 即4＋p＋p＝0.

解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．

∴线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．

23