高阶等差等比数列的通项及求法

求高阶等差数列的通项知及前“和S”的时候，通常采用逐差法或待定 系数法。下而先介绍逐差法求通项。 方法一逐差法。我们先看一个例题。 例1求数列｛\"”｝的通项： ｛〜｝： 1, 7, 25, 61, 121, 211,・・・ 解：先作各阶差数列： 数列：1, 7, 25, 61, 121, 211,・・・ 一阶差数列心｝： 6, 18, 36, 60, 90,… 二阶差数列CJ： 12, 18, 24, 30,… 三阶差数列：6, 6, 6,…

由此可见，数列｛。”｝是3阶等差数列，数列©｝是首项为差为

6的等差数列，故 cn = 12 + （H 一 1）6 = 6” + 6

•・•$ —仇 J （心 2）,

/. bx —仇“ =6（// -1） + 6 = 6/2 >

于是得到> 2）

叽-仇-I = 6〃

仇J - b“ = 6（/? -1）,

仇・2一4・3 =6（舁一 2）,

12、公b2 —/?! = 6・ 2.

. . •••••••••••••••••••••••••••••彳/ •••••••••••••••••••••.•.•.• .................

将以上各式两边分别相加，得

bn -bx =6(2 + 3 + ・・・ + 〃) =6(1 + 2 + 3 +…+ n)-6 = 6•叩;一&)-& =3n 2 + 3n — 6

/. bn = 3n2 + 3n 一 6 +纠=+ 3n(n > 2).

因为此公式当“ =1时的值/7.=6,故数列｛b„｝的通项公式为

bn = 3n2 + 3n(n = 1,2,3,…)

又\"”+i 一舛=\"(\" = 1,2,3,…)

= 3/22 + 3n(n = 1,2,3, ■ ■ ■)

由此可得，当“22时，

£

a

= 3,?2

n-\\ 一 Cln-2 = 3(〃 一 1广 一 3(〃 - 1),

① _ = 3 • 2- _ 3 • 2,

将以上各式相加，得

an 一绚=3[/?2 +(H-1)2 + …+ 2'] — 3[几 + (“一1)+・・ + 2]

=3[用 +(〃一1)2 + ・・・ + 2‘ +卩]一3[〃 + (料一1)+・・ + 2 + 1] — 3 •

卩 +3・1

n(n +1)(2/? +1) n(n + l) 3

=3 ------------------------ 3 ----------- -- 7? - n.

6 2 /. an = n、一 x

、一 n + ax = H3 一 n + 1(/? > 2),

又此式当八=1时的值® =1,故数列｛\"”｝的通项公式为 an = n3 — M

+1(/2 = 1,2,3,…).

一般地，设数列｛©｝的K阶差数列记为｛/｝,如果数列｛〜｝是P阶 等差数列，那么（P-1）阶差数列｛“「｝是等差数列，于是可以求出 数列｛“丁｝的通项公式，利用席―血严=船匕=123,…），仿照上述 例题的作法，可以求出数列«-2））的通项公式，依次类推，可求出数 列仏”｝的通项公式.

利用逐差法求高阶差数数列的通项还是比较麻烦的，下而介绍待 定系数法求通项.

方法二待定系数法 下而先证明两个定理.

定理1设P为正整数，前n个自然数的P次幕的和记为S；J,即

S'：' =lp +2P +3P +-np.

则ST是关于n的（p+1）次多项式.

证明用数学归纳法. 当p二1时，因

Sf =1 + 2 + 3 +…=巴凹=匕,+4,它是关于n的2次多项式,

2 2 2

故结论是正确的.

设结论当“Sk伙XI）是正确的，既 =广+2女+3* +…卅 是关于n的（k+1）次多项式. 严=£ 严一土 （;-1）*+2

j-i

j-i

=t Jk+2-t ［严-昭产+^•訂-C乙产+…+（-1严］

j-i

;-1

=c朮严-邙2乞产+C吐严+…+ （-1严川，

/■I

J-1

;-1

于是

t严=斗\"严+c金i; r -c吐严+…+(-i)F].

/-I

5+2

J-1

；-1

根据假设f j\\± 产…分别是关于n的(k+1)次、k次、(k-1) /-I

J-1

次，…，1次多项式，而C乙(丿=1,2,3,…* + 2)与n无关，因此文严是

/-I

关于n的(k+2)次多项式.就是说，当p二k+1时，Sf是关于n的(k+2) 次多项式，即结论当p二k+1时也是正确.

因此，Sf是关于n的(p+1)次多项式.

定理2数列｛心｝为p阶等差数列的充要条件是：数列｛“”｝的通项 为n的p次多项式.

证明先证必要性.用数学归纳法.

当p二1时，数列｛\"”｝是等差数列，其通项a„=at+ (n-1)J ,这是关 于n的一次多项式.

设p二k,即当｛©｝为k阶差数列时,数列｛(“”-％)｝(心2)就是k 阶差数列时，根据假设可令

a

n ~an-\\ =ank + 加z + …依次令 n二2, 3, 4,…得

a 2 —ax = a-2k +b-2i_1 + ■•• a5 -a2 = “ • 3* +b- 3A_I + ■••

an _ an^ = a - nK + b ・ n1l'x + ・•・

将以上各式两边分别相加，化简后得

an =a(2k +3k + - + nk) + b(2k^ +3*'1 + …+ /\") +…+ q

根据定理1,右边第一个括号的和是关于n的(k+1)次多项式， 第二个括号是关于n的k次多项式，…，因此，心是关于n的(k+1) 次多项式.

所以，当｛“”｝为(k+1)阶等差数列时，心是关于n的(k+1)次多项 式，即p二k+1时结论也是成立的.

由上述证明可知，当｛心｝为p阶等差数列时，心是关于门的卩次 多项式.

充分性.设数列｛“”｝的通项是关于n的p次多项式，设

an = an\" +bnp^1 + …(a H 0)

作它的一阶差数列：

an 一①一]=+ bn=apnp

/，-1

+ …]一 [a(n — l)\" +/?(/? —+ …]

+ …

如果连续作P次,则得到P阶差数列是常数列｛©川，因此数列｛\"”｝ 是P阶等差数列.

定理3若数列｛“”｝为p阶等差数列，则它的前n项和S”是关于n 的(p+1)次多项式.

证明因为｛“”｝是p阶等差数列，根据定理2,它的通项公式是关 于n是p次多项式.设a” =an +bn~' +…(a H 0),

v

!，(akp +bkp~} + …)

根据定理1, t忆亡…分别是关于n的(p+1)次、p次、

21

k^\\

(p-l)次，…多项式，因此，S”是关于n的(p+1)次多项式.根据 定理2和定理3,我

们可以求出任意的高阶等差数列的通项公式和前 n项和公式.

例1求下面数列的通项公式及前n项和5, 17, 35, 59, ,… 解先判断是几阶等差数数列.

数列｛©｝： 5, 17, 35, 59, ,… 一阶差数列：12, 18, 24, 30- 二阶差数列：6, 6, 6,・・・

因此，数列｛“”｝是二阶等差数列，根据定理2, %是关于n的2 次多项式；根据定理3,前项n和S”是关于n的3次多项式.于是设 an = air + bn + c, ①

S„ =劝\"+ yn2 + zjt + f.

②

其中“、b、c、x、y、z、/都是待定系数. 因为®=5, “2=17, “3=35,于是由①式得方程组

a + h + c = 5. < 4\" + 2Z? + c = 17, 9a + 3Z? + c = 35.

解之得a = 3, b = 3, c = -l,因此数列的通项公式为 aH = 3n2 + 3/i -1(« = 123,…) 因此 S] = q = 5,S2 = q +a2= 22,S3 = S2 + a3 =57,S4 =S3+a4 =116,于是由 ②式得方程组：

k+y + z + / = 5； 8x + 4y + 2z + f = 22; <

27x + 9y + 3z + f = 57; x + 16y + 4? + / = 116.

解之得x = l,y = 3,z = lJ'=0.因此，数列的前n项和

Sn = n3 +3n2 + n(n = 1,2,3,…).

例2求数列1・2,2・3,\"5 + 1)的和

解 数列的通项色“心+ 1) = “2 + ”,是关于n的2次多项式，因此， 数列｛“”｝的前n项和》是关于n的3次多项式，于是可设

S “ = an' + bn2 + cn + d.

因

S] = q = 1 ・ 2 = 2, S? = S] + 他=2 + 2 ・ 3 = & S3 = S? + 為=8 + 3 ・ 4 = 20, S4= S3+ a4 = 20 + 4 5 = 40, 于是得方程组

a+ b + c + d = 2\\

Sa + 4b + 2e + 〃 = & 27a + 9b + 3c + 〃 = 20; \" +16b + 4c + 〃 = 40.

解这个方程组得3 因此，数列的和.严加+用+人

3

3

这个例题，如果是自然数的方幕和公式来计算，则会简单一些：

1 • 2 + 2 ・ 3 + …+ 〃(〃 +1)

=工《伙+ 1)=工伙‘ + 1)=》*'+工k &k^\\ &■】 衣■】

/?(/? + l)(2/i +1) n(n +1) 1 3 乍 2 =— ------ 6 -------- + — ------- = -n + ir +-n 2 3 ・3

二、高阶等比数列的通项％及》的求法

下而我们介绍用逐差法求高阶等比数列的通项及前n顶和的问 题.

例1求下列数列的通项：

(1)

｛%｝： 5, 11, 23, 47,…，

・ (2) ｛bn｝: 5, 15, 49, 155, 477, ••・.

解(1)先作各阶差数列： 数列｛©｝： 5, 11, 23, 47,…， 一阶差数列｛心｝6, 12, 24,…，

由此可知，数列｛%｝是一阶等比数列,数列｛“”｝的首项为6,公 比为2,于是

an =6 - 2,!~1.

h_2

a2-an_x = «, n_, =6-2

/. a2 - q = 6• 2°,© —a2 = 6-21 ,a4 —a3 = 6*22,•••,«„ —an-\\ = 6*2n~2,

将以上各式两边分别相加，得

=6(1 + 2 + 22 + --- + 2,,_2)

2-1

/. an = 6 • 2\"\" _ 6 + 坷

=6・2心-6 + 5 = 6・2\"7-1 = 3・2\"-1.

因此，数列的通项公式为

a = 3 2” 一 1(〃 = 1,2,3,…) (2)数列及其各阶差数列为：

数列｛仇｝5, 15, 49, 155, 477,…， 一阶差数列｛“”｝： 10, 34, 106, 322,…，

般新资料推移

二阶差数列心｝： 24, 72, 216,

由此可见，数列｛“｝是首项为24、公比为3的等比数列，于是数 列

｛q｝的通项公式为

un = 24 - 3,,_, =83\" = 1,2,3,…)

u2 一％ = 8 ・ 3] “3 ~ui = 8 ・ 3[…町 一 Hn-1 = 8 ・ 3\"\"・

将以上各式两边分别相加，得 冷一吗=8⑶+3?+…+ 3心)

3（3 心-1）

=4・3〃一

.I 12・ Un =4 3\" -12 + % =43-1 ・3〃一12 + 10 = 4・3\"-2・

又•\"”一几―也=4・3”“—2,

:.b2 一妬=4』_2,爲一优=4与2 一2,…,乞 =4・3心 _2.

将以上各式两边相加，得

仇一勺=4（31+32+・・ + 3心）一2（允一1）

= 4-

3（3心-

1） =2・3“3 一—2 1 〃一4,

・・・化=2・3\"—2舁一4 +勺=2•丁 一2川一4 + 5 = 2•丁・

因此，数列心｝的通项公式为 饥=2・3\" —2M+ 1(〃 = 123,…).

2川+

一1下而介绍用待定系数法求一阶和二阶等比数列的通项的方法. 定理若数列｛©｝为一阶等比数列，则数列的通项公式为

Cin = Aq\"~l +B（n = 1,2,3,…）

其中A、B为非0的常数，q为一阶差数列的公比. 证明因为数列｛\"”｝是一阶等比数列，故数列

（a2 -ax）,（a3 -a2\\ -（an+1 -an）,…是等比数歹lj.设公比为心Hl）,则 \"\"+1 -=

（“2-\"1）“1， 因 为 5工“2， a2 ~a\\

“2 -q =（①-5）q°,① ~ai =（① _绚）d,① _a3 =（他 _q）/,…

% = （“2 - ® ）/7 （n n 2）

• 由此得

将以上各式两边分别相加，得

£ 一绚=（。2 — \"］）（1 + § + / + …+ §心）

[一严

.•・ an = q + — 6/|） ----- ・（爬 > 2）

\\_q

此公式当,『1,时的值为因此数列通项公式为 ]_广

①=+ （a. 一 a】） {n = 1,23,…）

1一9

令A一（gi）,B=q+（G“）丄，则数列他｝的通项公式可以写 \\_q

l_g

an = Aqn~l + B｛n = 1,2,3,…）

定理证毕.

当数列｛\"”｝为二阶等比数列时，因为一阶差数列

4 -绚）,a -①）,…（如—讥…是一阶等比数列，由定理可得此数

列

的通项公式为

勺+1 一 a” = + Bl (n = 1,2,3,…)

其中q是二阶差数列的公比，4、目是常数.将此公式两边求和， 得

为 g—畋-i)= £(人广~ + BJ,即 an -a｝ = _-__- + 目(\"一 1).

jt-2

A-2

\\_q

由此可以得到，二阶等比数列｛\"”｝的通项公式为

®=W+B〃 + C'.

其中A，,BtC都是常数

一般地说，P阶等比数列的通项形式为

5=

+ B｛np + B# + ■ B/t.

利用上述结论，可以用待定系数法求高阶等比数列的通项公式. 例2求数列｛勺｝:

1, 31, 221, 1211, 6201, 31191,…的通项公式.

解 不难验证，数列是2阶等比数列，且二阶差数列的公比为5, 于是可设数列通项为

an=A-5” “ + Bn + C.

W 5 = 1卫2 =31\"=⑵,F是得方程组

A + B + C = l, <5A + 2B + C = 31, 25A + 3B + C = 221.

解这个方程组,得A=10, B=-10, C=l.

因此，数列的通项公式为«„= 2 - 1OH +l(n = 1,2,3, •■) 因为p阶等比数列的通项公式为

an = Aqn~x + B.np~x + B2np~2 + …Bp,

般新资料推移

于是数列的前n项和为

S“=E ©=述 q“S k^+B2± 宀土 Bp.

k^\\

Jt-1

攵2 «■】

由此可见，只要求出了高阶等比数列的通项公式，它的前n项和 也是可以求出来的.

例3求数列｛“”｝

3?,53,172,332,…的前 n 项和.

解 先求数列傀｝： 3, 5, 9, 17, 33,…的通项，这个数列的一 阶差数列为2, 4, 8, 16,・・・

是一个等比数列，其公比为2,因而可设数列血｝的通项公式为

h„ = A2”“ + B.因为勺=3、g = 5,于是方程组 \" + 3 = 3, 2A + B = 5.

解之 A=2, B=l.

因此,数列｛%｝的通项公式为仇=2• 2n-* +1 = 2\"+1(/1 = 1,2,3…), 所以数列仏”｝的通项公式为 © =员=(2\"+ 1尸=2“+2间+1. 数列⑷｝的前n项和为

Sn=t d(2\"+2^+1)

2 2

=E( 4'+2-2'+1) 1-1

91

n

n

X-1

................................. .................... = 2.(4” 一l)+4(2”—l)+7i. 4

2

广+2工2*+工1

H

化简后，得数列仏”｝的前n项和公式

S” = - 4M+1 + 2H+2 +n- — (n = 1,2,3 …).