解不等式

一、不等式的概念与性质

1．等式“2x－5x＋1＝0”叫做方程，“2x－5x＋1≠0”叫做不等式；

2．不等号的方向性：2x－5x＋1＞0，2x－5x＋1＜0，2x－5x＋1≥0，2x－5x＋1≤0；

3．不等式的性质：①不等式的两边乘以同一个正数，不等号的的方向不改变；②不等式的两边乘以同一个负数，不等号的方向改变． 4．“同号得正，异号得负”： ①若222222a0a0a0a0，或，则ab＞0；反之：ab＞0a、b同号，或；

b0b0b0b0a0a0a0a0，或，则ab＜0；反之：ab＜0a、b异号，或；

b0b0b0b0 ②若aa0；反之，0a、b同号ab＞0； bbaa ④a、b异号ab＜00；反之，0a、b异号ab＜0．

bb ③a、b同号ab＞0 二、不等式与方程的对应关系

1．毎一个不等式对应一个方程：如2x12x→2x12x，2x12x→2x12x；

2．解不等式，相当于解对应的方程； 3．所有的不等式，都要化为标准形式． 三、举例

1．一元一次不等式

例1．解下列不等式：2x－3＜4x＋9

解：①整理不等式2x－3＜4x＋9有：2x＞－12； ②不等式2x＞－12对应的方程是：2x＝－12； ③解方程：2x＝－12得x＝－6；

④不等式2x＞－12的解是：x＞－6．所以：不等式：2x－3＜4x＋9的解为：x＞－6． 注：①不等式2x－3＜4x＋9的解集是_______________________； ②“相等”与“不等”的关系．

例2．设不等式：ax＋1≥9＋2x的解集是[4，＋∞﹞，则a＝______________． 2．一元二次不等式

例1．解不等式2x－3x＜－1； 解：①整理不等式：3x－2x－1＞0； ②解对应的方程：令3x－2x－1＝0；

222x＝

124431216242，得x小＝－，x大＝1．【3x－2x－1＞0】 ＝323662所以不等式3x－2x－1＞0的解为：x＜－

21，或x＞1． 3 注：若方程ax＋bx＋c＝0的两根为：x小，x大．则有： ①不等式ax＋bx＋c＞0的解为：x＜x小，或x＞x大；

②不等式ax＋bx＋c＜0的解为： x小＜x＜x大．【大于两边分，小于取中间】 例2．解下列不等式：（1）2x－3≤－x；（2）－x＋6x＜10；（3）x－1＜x． 四、绝对值不等式：含绝对值不等式的标准形式：|f(x)|＞a，|f(x)|＜a．解法：“大于两边分，小于取中间”．

例3．解不等式：(1)|x＋2|＞4；(2) |1－2x|＜1；(3) |2x－3|≥x． 五、分式不等式的标准形式及其解法： 例1．解不等式：(1)

22222523． ＞1；(2)

x12x1六、简单的指数、对数不等式的解法：

【1＝logaa，0＝loga1（a＞0，且a≠1）；②若0＜a＜1,由“logaM＞logaN，则0＜M＜N”，得代数不等式；③若a＞1,由“logaM＞logaN，则M＞N＞0”，得代数不等式】

例1．解下列不等式．

(1)log2x＞1；(2) log0．5x≥2；(3) 2巩固性练习，解下列不等式． 1． 2x＋3＞x； 2．3＞x； 3．2x≥x； 4．|2x－1|＜3；

5．|2x－1|≥5 ；

2222x＜8；(4) 3x2≥9．

3＞－2； x123x 7．≤－4；

x16．

8．log2(x1)＜2； 9．log1(12x)≥3；

2 10．2x3＞8； ≥

11．()13x31； 272 12(*)．已知不等式ax＋2x＋b＞0的解集是(－1,3)，求a、b的值． 13(*)．已知不等式x＋2x＋b＞0恒成立，求实数b的范围．

11．解不等式|x－x|＜2．

12．已知不等式ax＋(b－8)x－a－ab＞0的解集是(－3，2)，求a、b的值．

13．关于x的不等式(a－1)x－(a－1)x－1＜0的解集为R，求实数a的取值范围．

14．解不等式|x－1|＞|x|`

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