在纠错中引导学生发现

在纠错中引导学生发现

朱胜强

(南京外国语学校󰀁210008)

󰀁󰀁在解决数学问题的过程中,好的󰀂念头 非常可贵,但并非一定能奏效.有些想法虽然不够成熟,暂时不能解决问题,但也并非一无是处.如果教师能及时捕捉到其中的闪光点,引导学生在此基础上完善方法,使之成为能真正解决问题的有效办法,则学生收获的不仅是具体问题的解法,更可获得从失败走向成功的思维过程的体验.下面以高三数学教学中的一次经历对此作具体的说明.

问题󰀁设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1

=1,2Sn=(n+1)an(n!N).

(1)求a2,a3,a4的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

双曲线上.所以直线L与双曲线有且只有一个公共点P,因此折痕L与双曲线相切.

证法二󰀁如图5,由命题2知折痕L与双曲线有一个公共点P,且双曲线的两焦点分别为O、F,设OP是从焦点O发出的一条入射光线,由双曲线的光学性质知,反射光线PT的反向延长线经过点F.设直线PQ是入射点P处的法线,则PQ平分∃MPT,因为折痕L是线段FM的中垂线,所以L平分∃FPM.又因为T、P、F三点共线,所以法线PQ垂直于折痕L.由双曲线的光学性质知,折痕L是双曲线在点P处的切线.

对于操作题3,证明如下:

证法一󰀁如图6,由命题3知点P是折痕L与抛物线的一个公共点,设点N是直线L上异于点P的任一点,连NM、ND,则ND=NM,因为PM%AB,所以NM与AB不垂直,故NM大于N到直线AB的距离,即ND大于N到直线AB的距离,由抛物线定义知N不在该抛物线上.所以直线L与抛物线有且只有一个公共点P,因此

*

选用本题的意图是让学生完成(1)后,猜想数列的通项公式,再用数学归纳法证明.但课堂上有学生突发奇想.

生1:由条件可求得a2=2,a3=3,a4=4.考虑到a1=1,猜想an=n.将an=n代入条件󰀂2Sn=(n+1)an(n!N) 验证.

一方面2Sn=2(a1+a2+∀+an)

=2#(1+2+∀+n)n(n+1)2

=(n+1)n.=2#

另一方面(n+1)an=(n+1)n.折痕L与抛物线相切.

证法二󰀁如图6,由命题3知折痕L与抛物线有一个公共点P,且抛物线的焦点为D,设DP是从焦点D发出的一条入射光线,由抛物线的光学性质知,反射光线PT垂直于准线AB,设直线PQ是入射点P处的法线,则PQ平分∃DPT,因为折痕L是线段DM的中垂线,所以L平分∃DPM.又因为M、P、T三点共线,所以法线PQ垂直于折痕L.由抛物线的光学性质知,折痕L是抛物线在点P处的切线.

6󰀁两点体会

通过对这三道操作题的探究与拓展,笔者深有体会:&平时的教学中教师要勤于思考,深入钻研教材和课标,积极创设愉悦好奇的探究学习环境,充分运用信息技术进行数学探究和数学发现;∋要重视操作题的教学,让学生体验数学研究的过程,培养学习兴趣和探究精神,提高数学建模能力,建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强毅力.

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38数学通报󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁2010年󰀁第49卷󰀁第4期

󰀁󰀁所以当an=n时,满足条件2Sn=(n+1)an(n!N).因此an=n.

大家思考一下,这样的解法有什么问题?对此教师给出了一个反例:

22

已知{an}满足a1=1,an+1-an=an+1+an,an

=n,及an=(-1)n+1均符合题设条件.

因此,验证an=n符合条件,只能说明an=n是题设条件下众多可能结果中的一种,并不能说明由条件一定能得到这一结果.

认清症结所在,随即步入正轨.学生用数学归纳法很快证明了猜想结论的正确.

就在学生忙于证明时,教师感到生1想到的将结果代入条件验证在本题中有着其合理的一面.于是接下来引导学生做进一步思考.

师:同学们,要说明猜想所得结果正确,是否一定要用数学归纳法呢?

生2:还可以先求出通项公式,看与猜想的结果是否一致.

生3:可以查看在同一条件下是否还存在其它通项公式.如果没有,那么猜想的结果一定是题目条件所能推出的惟一结果.

师:想法都不错.不过生3的想法对于解决今天的问题更有参考价值.怎样证明符合条件的数列是惟一的呢?当然这一点在刚才大家用数学归纳法证明后已经得到了说明.现在我们要思考的是有没有什么更简洁的方法来说明满足条件的数列的通项是惟一的呢?

生4:依据本题条件,由a1可求得a2,由a2又可求得a3,∀,由an又可求得an+1,现已知a1,因此,只要对任意的n!N*,由an求得的an+1都是惟一的,那么数列{an}就一定是惟一的.

师:很好!数学归纳法的思想被用活了.大家能说明本题条件下的数列的通项是惟一的吗?

于是大家作了如下推导:

由2Sn=(n+1)an,可得2Sn-1=nan-1(n(2),则2an=2Sn-2Sn-1=(n+1)an-nan-1,

n解得an=an-1(n(2).

n-1

因为a1=1,而an+1是由an惟一确定的,因此,满足条件󰀂a1=1,2Sn=(n+1)an(n!N*) 的数列{an}是惟一的.

又因为an=n符合条件󰀂a1=1,2Sn=(n+1))an(n!N*)

所以,数列{an}的通项公式是an=n.*

一个原本被否定了的看起来存在着低级错误的方法,在师生共同努力下获得了新生.与此同时同学们对󰀂将结果代入条件验证 的认识也悄然改变.接下来,师生一起针对上面的思考过程进行了归纳总结,得出了求数列通项公式新方法,其步骤大致如下:

&由条件求出数列的前几项,并猜想数列的通项公式;

∋由条件确定数列是惟一的;

∗将猜想结果代入条件,符合条件.

则经由&∋∗所得的通项公式便是所求的结果.

面对探索获得的成果,大家无不欢欣鼓舞.在兴奋之余教师又引导大家从推理与证明的角度来审视这一新方法.

一般地,如果一个命题的条件和结论都是惟一存在的,它们所指的概念是同一概念,那么这个命题就叫做同一性命题.根据同一性命题的含义,同一性命题和它的逆命题等价,这一性质通常称为同一原理.

对于符合同一原理的命题,当直接证明有困难时,可以改证和它等效的逆命题.只要它的逆命题正确,这个命题就成立.这种证明方法叫做󰀂同一法 .

本文开始提出的问题中,由󰀂a1=1,2Sn=(n+1)an(n!N*) 及󰀂an=n 所确定的数列均是惟一的.它的逆命题为:

在数列{an}中,若an=n,则a1=1,2Sn=(n+1)an(n!N*).

我们将󰀂an=n 代入条件󰀂a1=1,2Sn=(n+1)an(n!N*) ,实际上也就是证明这一逆命题.

在教学中我们都力求充分发挥学生学习的主动性,倡导积极主动、勇于探索的学习方式.落实在具体的教学行动中,就是要尊重学生的劳动成果,保护学生的参与的积极性.对于学生的新奇想法的评价不应非对即错,在条件允许的情况下,尽可能地引导学生去粗取精、去伪存真,这对于发展学生的创新意识,形成数学思维能力将会大有裨益.

参考文献

1󰀁国家数学课程标准研制工作组.普通高中数学课程标准(实

验).北京:人民教育出版社,2003,4

2󰀁赵振威.中学数学与逻辑󰀁南京:江苏教育出版社,1992