【推荐】高二导数备课教案

基础较差，则最后的生活中的优化问题暂时不给于指导，则前面五块内容共计划花时110分钟；若学生基础较好，则前面两块内容快速带过，直接进入导数的应用部分，计划用时120分钟。

例题解析和随堂练习加起来共17道题。 一、 变化率与导数、导数的计算 【基础知识梳理】

1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为

f(x2)f(x1)，若xx2x1，

x2x1yf(x2)f(x1)则平均变化率可表示为

y。 x瞬时变化率就是对平均变化率求极限。 2、函数y=f(x)在x=x0处导数 （1）定义

称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim为y=f(x)在x=x0处导数，记作

x0f(x0x)f(x0)ylim x0xxf(x0)或y|xx0,即f(x0)limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x注：f(x0)与(f(x0))的区别：

在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与(f(x0))是不一样的，f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))=0。

3、函数f(x)的导函数 称函数f(x)limx0f(xx)f(x)为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作y

x注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：

f(x0x)f(x0);

x0xf(xx)f(x)方法二：先求导函数f(x)lim，再令x=x0求f(x0)

x0x方法一：直接使用定义；f(x0)lim【课堂互动练习】

（一）利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接

（1）根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法： ①求函数的增量yf(x0x)f(x0)；

yf(x0x)f(x0)； xxy③得导数f(x0)lim，简记作：一差、二比、三极限。

x0x②求平均变化率

（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。

2、例题解析 〖例1〗求函数y=1的在x=1处的导数。 x解析：y1111x 1x11x1x11xx,

y1，x1x11xy11lim[.x0xx021x11xlim1y|x1.2〖例2〗一质点运动的方程为s83t。

（1） 求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）

2分析（1）平均速度为

s； t2（2）t=1时的瞬时速度即s83t在t=1处的导数值。 解答：（1）∵s83t

∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,

2vs63t. tslim(63t)6

t0tt0（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度vlim求导法：质点在t时刻的瞬时速度

vs(t)(83t2)6t，当t=1时，v=-6×1=-6.

注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。

【基础知识梳理】

4、基本初等函数的导数公式

5、导数运算法则

fxgx'f'xg'xfxgx'f'xgxfxg'x

fxgx'f'xgxfxg'xg2x注：函数求导的原则：

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误。

【课堂互动练习】

（二）导数的运算

1、相关链接

（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数yf(x)在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：

①分析函数yf(x)的结构和特征； ②选择恰当的求导法则和导数公式求导； ③整理得结果。

（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。

2、例题解析

〖例〗求下列函数的导数。

1y2x21(3x1)x2x12y2xx13y3xex2xe

4ylnxx21思路分析：本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得.

解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后 再求导：y=(2x-1)(3x+1)=6x+2x-3x-1， ∴y′=(6x+2x-3x-1)′

=(6x)′+(2x)′-(3x)′=18x+4x-3.

方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导： y′=(2x-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′

23

2

2

3

22

3

2

=4x(3x+1)+3(2x-1)=12x+4x+6x-3 =18x+4x-3.

(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：

2

222

x2x1x2x12x2xy21, 22xx1xx1xx12x2x12x2x12x22y2222xx1xx1(3)根据求导法则进行求导可得：

y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2

(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：

y(lnx)x21lnxx21

x21212x1lnx2xx212lnx1x.2222xx1x1规律总结：一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.

误区警示：(1)运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则；(2)特别是商的求导法则，求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．

【基础知识梳理】

（三）切线的求解

1、相关链接

（1）导数的几何意义

函数f(x)在点x处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点（x0，f(x0)）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=f(x0)(x=x0).

思考：曲线在点P处的切线和曲线过点P的切线有何不同？

【思考·提示】 前者P为切点；后者点P可以是切点也可以不是。一般曲线的切线与曲线可以有一个或一个以上的公共点。

（2）曲线的切线的求法

若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．

第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)． 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入方程求出x1.

第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 注：此处的求法总结应该在解完例题后，让学生自我归纳，教师再给予适当的点播。

【课堂互动练习】

【例】已知曲线y134x， 33（1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3） 求斜率为4的曲线的切线方程。

思路分析：“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.

思路点拨：首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题．

解答：（1）P(2,4)在曲线y134x上，且yx2 33∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x2=4;

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

13414x与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，x03），则切线333313422的斜率ky|xx0x0，∴切线方程为y（x0）=x0（x-x0），即

332342yx0xx0

3323432x0，即x0∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x023x040，∴33（2）设曲线y322x0x04x040，

∴（x0+1）(x0-2)2=0 解得x0=-1或x0=2

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. （3）设切点为（x0,y0）

则切线的斜率为k=x02=4, x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3） ∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0

注：(1)求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k=f′(x0)，故当f′(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.

2、即时巩固 已知函数fxax6的图像在点M(1,f1)处的切线方程为x2y50， 2xb求函数f(x)的解析式。

二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 【基础知识梳理】

1、函数的单调性与导数

在某个区间（a,b）内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减。如果f(x)0，那么函数

yf(x)在这个区间上是常数函数。即如图所示：

注：函数yf(x)在（a,b）内单调递增，则f(x)0，f(x)0是yf(x)在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。

（一）利用导数研究函数的单调性 【随堂互动训练】

1、相关链接

（1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法，如下图：

即：

①确定函数f(x)的定义域;

②求f’(x) ，令f’(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；

③把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。

④确定f’(x)在各个开区间内的符号，根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f’(x)>0（或f’(x)<0）直接得到单调递增（或递减）区间。

（2）证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤 ①求f’(x);

②确认f’(x)在（a,b）内的符号；

③作出结论：f’(x)>0时为增函数；f’(x)<0时为减函数。

（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f’(x)≥0（或f’(x)≤0），x∈（a,b）恒成立，且f’(x) 在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f’(x) =0，甚至可以在无穷多个点处f’(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何

一个子区间。

2、例题解析

【例1】(2011·北京模拟)若函数f的取值范围.

思路解析：函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f′(x)≤0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+∞),所以本题就是要求f′(x)≤0在(0,+∞)上有实数解. 解答：f′(x)=

a2xlnx-x-2x存在单调递减区间,求实数a

21-ax-2=ax22x1.因为函数f(x)存在单调递减区间,所以f′(x)

xx≤0有解.又因为函数的定义域为(0,+∞),则ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞)内有解. (1)当a＞0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1≥0,总可以找到x＞0的解; (2)当a＜0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-1≥0总有大于0的解,则Δ=4+4a≥0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,此时-1≤a＜0. (3)当a=0时,显然符合题意.

综上所述,实数a的取值范围是［-1,+∞). 3、即时巩固

1.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.

logae1解析：函数的定义域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′23x5x23(6x5)logae=, (3x1)(x2)①若a＞1,则当x＞

11时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(, 3311时，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数，当x＜－2时，f′33+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.

②若0＜a＜1,则当x＞

(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数

答案：(－∞,－2)

2.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 解：f′(x)=3ax2+1

若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾. 若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾. 若a＜0,∵f′(x)=3a(x+

13|a|)·(x－

13|a|),此时f(x)恰有三个单调区间.

∴a＜0且单调减区间为(－∞,－

13|a|)和(

13|a|,+∞)，单调增区间为(－

13|a|,

13|a|).

（二）函数的极值、最值与导数 【基础知识梳理】

（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．

一般地，当函数 f(x) 在点 x0 处连续时，判断 f(x0) 是极大（小）值的方法是： （1）如果在 x0附近的左侧 f’(x)>0 ，右侧f’(x) <0 ，那么 f(x0) 是极大值． （2）如果在x0附近的左侧 f’(x) <0 ，右侧f’(x) >0 ，那么 f(x0) 是极小值． 注：导数为0的点不一定是极值点

【随堂互动训练】

1、相关链接

（1）求函数f(x)极值的步骤

即：

①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f’(x);

③求方程f’(x)=0的根。

④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f’(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值。

（2）可导函数极值存在的条件

①可导函数的极值点x0一定满足f’(x0)=0,但当f’(x0)=0时，x0不一定是极值点。如f(x)=x3,f’(0)=0,但x=0不是极值点。

②可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f’(x)=0，且在x0左侧与右侧f’(x0)的符号不同。

（3）设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤

①求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

③根据最值的定义，求在闭区间[a,b]上连续，开区间（a,b）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f’(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。

④定义在开区间（a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。 2、例题解析

【例1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,记f(x)的导数为f′(x). (1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3，且x=

2时，

y=f(x)有极值,求函数f(x)3的解析式.

(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在［-4,1］上的最大值和最小值.

思路解析：在求解(1)时，可以通过切线斜率和极值点求得a,b的值，从而求得函数的解析式.在求解(2)时只需要列出极值变化表，对比区间端点值求得最值即可.

解答：

（1）由题意，得

解得，所以

（2）由（1）知，

令

当x变化时，

，得

的变化情况如表：

∴

〖例2〗已知函数

fxx|x2a|,aR.在上的最大值为13，最小值为-11.

上是增函数；

（1）当a0时，求证函数 （2）当a=3时，求函数

fx在,fx在区间[0，b]上的最大值。

fxxx2ax3ax,因fx3x2a0fxa0解答：(1)时，故在R上是增函

数。(4分)

x33xx3fxx|x23|3xx30x3(2)a3时，

fx3xx3,由fx33x200b3①若时，得：x1

fx0,fxfxmaxfb3bb3,0b1(Ⅰ)若时，在[0，b]上单增，故 fxmaxf120x1,fx0;1xb,fx0.(Ⅱ)若1b3时，因故.

0,3fxb3上的最大值为2，下求fx在②若时，由①知在

3,b上的最大

值，因

fx3x230，故

fxmaxfbb33b.又

3b3bb2b33b2b1b20b2 22fxmax综合①、② 知：3、即时巩固

b33bb221b233bb0b1 (12分)

1、设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 解：f′(x)=

a+2bx+1 xa+4b+1=0,解方程组可得2(1)由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且a=－

2121,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x 363621(2)f′(x)=－x-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)

332时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.

633f(x)ax2、（2010·安徽安庆高三二模（文））已知函数⑴当a2时，求函数f(x)的最小值；

⑵若f(x)在[1,e]上是单调函数，求a的取值范围.

s3lnxx.

解析：（1）当a2时，

f(x)2x23lnxx

232x23x2f(x)22xxx2 „„„2分 令f(x)0得x2或

12（x0，舍去负值）。 „„„ 3分

函数f(x)及导数f(x)的变化情况如下表：

∴当a2时，函数f(x)的最小值是53ln2 „„„ 6分

ax23xaf(x)x2（2）， „„„7分 3294a2h(x)ax3xaa(x)2a4a 令

2要使f(x)在1,e上为单调函数，只需对x(1,e)，都有f(x)0或f(x)0

h(1)30，∴h(e)ae3ea0，∴

0a①当

2a3ee21 „„„8分

3ee21时，h(x)0恒成立即f(x)0恒成立； „„„ 10分 x3012a，∴h(x)h(1)0，∴f(x)0恒成立；„„12分

②当a0时，

a综上所述：当

3ee21时，f(x)在1,e上为单调函数 „„„13分

【方法归纳】在解决实际问题的最值时，一般情况下，其函数是定义域内的单峰函数，即函数在定义域内只有一个极值点，此时极大值好为最大值，极小值即为最小值。

（三）生活中的优化问题 【基础知识梳理】

解决优化问题的基本思路是：

【随堂互动训练】

1、相关链接

利用导数解决生活中的优化问题时：

(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间.

(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去.

(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.

2、例题解析

〖例〗某地为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区.已知AB⊥BC,OA∥BC,且AB=BC=2AO=4 km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到0.1 km).

2

思路解析：矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC上的具体位置有关，因此应设法将落在OC上的点用一个变量表示出来，然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积，而要设出相应的变量，则应首先建立直角坐标系.

解答：以O点为坐标原点，OA所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图所示)，

依题意可设抛物线为y2=2px(p＞0)且C(4,2).

∴22=2p·4,∴p=1,故所设抛物线方程为y2=x(0≤x≤4).

2设P(x,

x)(0≤x≤4)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4-x,所以工业区的面积为S=|PQ|·|PN|=(2+x)(4-x) =x-2x+4x+8，

3212∴S′=

3x2

1

2-2+2

x12，

令S′=0，得3x+4x-4=0,( x+2)(3x-2)=0,∴x=4.

1212129故当x∈［0,

4)时，S′＞0,S是关于x的增函数； 9当x∈［4,4］时，S′＜0,S是关于x的减函数，

9∴x=4时，S取得最大值，

98,|PN|=4-x=32, 39832256≈9.5,∴S≈9.5(km2). ∴S=max

3927832∴把工业园规划成长为km,宽为km的矩形，工业园的面积最大，最大面积约为9.5 39此时|PQ|=2+x=km2.

方法总结：①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧。

②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。

3、即时巩固

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y13x3x8(0x120)．已知甲、乙

12800080两地相距100千米

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解：（I）当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油(1002.5小时， 4013403408)2.517.5（升）。

12800080 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 依题意得

100小时，设耗油量为h(x)升， x131001280015h(x)(x3x8).x(0x120),

12800080x1280x4x800x38032(0x120). 令h'(x)0,得x80. h'(x)20x0x 当x(0,80)时，h'(x)0,h(x)是减函数； 当x(80,120)时，h'(x)0,h(x)是增函数。 当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.

因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25

升。