【题目1】 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C， B＋C
②bsin 2＝asin B，
③cos 2A－3cos(B＋C)＝1这三个条件中任选一个解答下列问题： (1)求A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选择①.
(1)由正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c， 即a2－b2＝c2－bc.
b2＋c2－a21
由余弦定理，得cos A＝2bc＝2.
π
∵0 (2)由S＝2bcsin A＝53，b＝5，A＝3，得c＝4. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝21. a 由正弦定理，得sin A＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)， a2 ∴(2R)＝sin A＝28， 2 bc5 ∴sin Bsin C＝＝. （2R）27选择②. (1)由正弦定理，得sin Bsin B＋C 2＝sin Asin B. ∵sin B≠0，A＋B＋C＝π， AAAπA ∴sin2－2＝sin A，即cos 2＝2sin 2cos 2. AA1 又cos 2≠0，∴sin 2＝2. Aππ ∵0 (2)由S＝2bcsin A＝53，b＝5，A＝3，得c＝4. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝21. a 由正弦定理，得sin A＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)， a∴(2R)2＝sin A＝28， bc5 ∴sin Bsin C＝＝. （2R）27选择③. (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，A＋B＋C＝π， 得2cos2A＋3cos A－2＝0. 1 解得cos A＝2或cos A＝－2(舍去). π ∵0 a 由正弦定理，得sin A＝2R(R为△ABC的外接圆的半径)， a2 ∴(2R)＝sin A＝28， 2 2 bc5 ∴sin Bsin C＝＝. （2R）27 【题目2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，记bn＝anSn(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)∵Sn＝2n＋1－2. ∴当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－2＝2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n， 又a1＝2＝21适合上式， 故an＝2n(n∈N*). (2)由(1)知bn＝anSn＝2n(2n＋1－2)＝2·4n－2n＋1. ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝2(4＋42＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1) 4（1－4n）4（1－2n）2n＋1n＋24＝2×－＝3·4－2＋3. 1－41－2 【题目3】 第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图： (1)试根据频率分布直方图估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率. － 解 (1)平均成绩x＝0.02×45＋0.16×55＋0.22×65＋0.30×75＋0.20×85＋0.10×95＝73.00. (2)由题意知，从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中分别选取了3人，2人，1人. 2 6人平均分成3组分配到3个社区，共有C26C4＝90(种)方法. 32成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有A3A3＝36(种)， 362所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率p＝90＝5. 【题目4】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°. (1)证明：AD⊥PB； (2)若PB＝6，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值. (1)证明 取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图1， 图1 ∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BO⊥AD. 又PA＝PD，即△PAD是等腰三角形，∴PO⊥AD. 又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面PBO，∴AD⊥平面PBO， 又PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB. (2)解 ∵AB＝PA＝2， ∴由(1)知△PAD，△ABD均是边长为2的正三角形， 则PO＝3，BO＝3，又PB＝6， ∴PO2＋BO2＝PB2，即PO⊥BO， 又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD， ∴以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系. 图2 则D(－1，0，0)，P(0，0，3)，C(－2，3，0)，B(0，3，0)， →＝(0，3，－3)，DP→＝(1，0，3)，CD→＝(1，－3，0). PB →n·DP＝0， 设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，则 →CD＝0，n·x＋3z＝0，x＝3， ∴取y＝1，解得， z＝－1x－3y＝0，即n＝(3，1，－1)为平面PCD的一个法向量. 设直线PB与平面PDC所成的角为θ， →，n〉|＝|0×3＋3×1＋（－3）×（－1）|＝10， 则sin θ＝|cos〈PB56×510∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为5. 【题目5】 已知定点A(－3，0)，B(3，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们1 的斜率之积为－，记动点M的轨迹为曲线C. 9(1)求曲线C的方程； (2)过点T(1，0)的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S(x0，0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由. y 解 (1)设动点M(x，y)，则直线MA的斜率kMA＝(x≠－3)， x＋3 y 直线MB的斜率kMB＝(x≠3). x－31yy1x22 因为kMA·kMB＝－9，所以·＝－9，化简得9＋y＝1. x＋3x－3 x22 又x≠±3，所以曲线C的方程为9＋y＝1(x≠±3). (2)由题意得直线l的斜率不为0，根据直线l过点T(1，0)，可设直线l的方程为x＝my＋1， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， x＝my＋1，22联立2消去x得(m＋9)y＋2my－8＝0. 2 x＋9y＝9， 2m y1＋y2＝－2，m＋9则 －8 y1y2＝m2＋9.y1y1又kSP＝＝， x1－x0my1＋1－x0y2y2 kSQ＝＝， x2－x0my2＋1－x0 y1y2 kSP·kSQ＝ （my1＋1－x0）（my2＋1－x0） y1y2 ＝2 my1y2＋m（1－x0）（y1＋y2）＋（1－x0）2＝ －822， （x20－9）m＋9（1－x0） －82 当x0＝3时，∀m∈R，kSP·kSQ＝＝－9； 9（1－x0）2当x0＝－3时，∀m∈R，kSP·kSQ＝ －81＝－18. 9（1－x0）2 所以存在定点S，其坐标为(3，0)或(－3，0)使得直线SP与SQ斜率之积为定值. 【题目6】 已知f(x)＝ex，g(x)＝x＋1(e为自然对数的底数). (1)求证：f(x)≥g(x)恒成立； 111 (2)设m是正整数，对任意正整数n，1＋31＋32·…·1＋3n＜m，求m的最 小值. (1)证明 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1， 则h′(x)＝ex－1， 当x∈(－∞，0)时，h′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，h′(x)＞0， 故h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(0)＝0，即h(x)≥0恒成立， 所以f(x)≥g(x)恒成立. 1 (2)解 由(1)可知1＜1＋3n≤e3n，由不等式的性质得 11111＋31＋321＋33·1＋3n …· 1 1111 ≤e3·e32·e33·…·e3n ＝e3 11 ＋ ＋ 1 ＋…＋ 1 3233 n 3n 111n 3[1－3]11 1－＜e2＝e＜2. ＝e＝e123 1－3所以m的最小值为2(m∈N*). 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容