2010年湖南省长沙市中考数学试卷解析

2010年湖南省长沙市中考数学试卷解析

一、 选择题 （在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共8个小题，每个小题3分，共24分） 1．（2010湖南长沙，1，3分）4的平方根是（ ）． A．2 B．2 C．2 D．2 【分析】由平方根的定义知，因为（±2）2＝4，所以4的平方根是±2.故选C. 【答案】C.

【涉及知识点】平方根. 【点评】因为平方与开方互为逆运算，所以利用平方去求一个数的平方根是一个基本的方法.

【推荐指数】★

1的自变量x的取值范围是（ ）． x1A．x1 B．x1 C．x1 D．x1

2．（2010湖南长沙，2，3分）函数y【分析】由分母不为零，得x+1≠0，即x≠－1. 故选C. 【答案】C.

【涉及知识点】函数自变量的取值范围

【点评】此题考查函数自变量的取值范围. 涉及分式，需注意分母不为0. 【推荐指数】★ 3．（2010湖南长沙，3，3分）一个几何体的主视图．左视图．俯视图的图形完全相同，它可能是（ ）．

A．三棱锥 B．长方体 C．球体 D．三棱柱

【分析】从选项出发逐一分析，得球体的主视图．左视图．俯视图的图形完全相同. 故选C.

【答案】C.

【涉及知识点】视图.

【点评】由某个几何体画出其主视图．左视图．俯视图，是学生学习视图的基本要求. 【推荐指数】★ 4．（2010湖南长沙，4，3分）下列事件是必然事件的是（ ）． A．通常加热到100℃，水沸腾； B．抛一枚硬币，正面朝上； C．明天会下雨；

D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯． 【分析】通常加热到100℃，水沸腾是必然事件，；抛一枚硬币，正面朝上是不确定事件；明天会下雨是不确定事件；经过城市中某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯是不确定事件．故选A．

【答案】

【涉及知识点】必然事件，不可能事件，不确定事件， 【点评】注意识别随机事件中的不同情况． 【推荐指数】★ 5．（2010湖南长沙，5，3分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，

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不能构成直角三角形的是（ ）． ．．

A．3．4．5 B．6．8．10 C．3．2．5 D．5．12．13 【分析】将选项遂一辨别，

构成直角三角形的是C． 3+25，因此不能．．

222【答案】C．

【涉及知识点】勾股定理的逆定理．

【点评】如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 【推荐指数】★

6．（2010湖南长沙，6，3分）已知⊙O1．⊙O2的半径分别是r12．r24，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是（ ）． A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是2＜O1O2＜6，故选B． 【答案】B．

【涉及知识点】圆和圆的位置

【点评】理解圆和圆的位置与两圆半径R．r．圆心距d的关系，本题涉及的关系是：两圆相交R－r＜d＜R＋r（R≥r）；

【推荐指数】★ 7．（2010湖南长沙，7，3分）下列计算正确的是（ ）．

A．aa2a B．(2a)24a C．333 D．1232 【分析】A．aa2a；错，应为aa2a． B．(2a)4a；错，应为(2a)4a．

C．333；正确，依据二次根式的性质aaa≥0．

2224224222222 D．1232．错，应为12323． 3故选C． 【答案】C．

【涉及知识点】二次根式的性质 【点评】本题主要考查学生对一些邻近知识的理解和掌握水平，这些知识点都是学生平时学习时易混的地方，有警示的作用．

【推荐指数】★★★ 8．（2010湖南长沙，8，3分）如图，在⊙O中，OA＝AB,OCAB,则下列结论错误的是（ ）．

A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长； B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；

C．AC＝BC； D．BAC30

⌒⌒吴梅录入、作答，若有错误，请指出，QQ:576847841

OACB

【分析】由已知得△OAB等边三角形，又OCAB,所以先项A．B．C．都正确，用排除法得结论错误的是D．

【答案】D．

【涉及知识点】正多边形和圆． 【点评】实际上由同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半也可得结论错误的是D．

【推荐指数】★★★

二．填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） .9．（2010湖南长沙，9，3分）－3的相反数是 ．

【分析】由定义知，只有符号不同的两个数是相反数，因此－3的相反数是3． 【答案】3．

【涉及知识点】相反数

【点评】求相反数的方法: a的相反数为－a 【推荐指数】★ 10．（2010湖南长沙，10，3分）截止到2010年5月31日，上海世博园共接待8000000人，用科学记数法表示是 人．

【分析】8000000＝8×106 【答案】8×106

【涉及知识点】科学记数法

【点评】科学记数法是初中数学的基础知识，也每年中考的必考题．科学记数法是把一个数写成a×10的形式（其中1≤a＜10，n为整数），其方法是（1）确定a，a是只有一位整数的数；（2）确定n；当原数的绝对值≥1时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．

【推荐指数】★★ 11．（2010湖南长沙，11，3分）如图，O为直线AB上一点COB2630'，则∠1＝ 度．

1AOCBn

【分析】∠1＝180°－∠COB＝180°－26°30′＝63°30′． 【答案】63°30′．

【涉及知识点】角度的加减．

【点评】本题涉及的角度换算：1°＝60'． 【推荐指数】★ 12．（2010湖南长沙，12，3分）实数a．b在数轴上位置如图所示，则|a|．|b|的大小关

吴梅录入、作答，若有错误，请指出，QQ:576847841

系是 ．

aob

【分析】在数轴上，|a|就是实数a所对应的点与原点的距离，即OA的长度．|b|就是实数b所对应的点与原点的距离，即OB的长度．观察数轴得|a|＞|b|．

【答案】|a|＞|b|

【涉及知识点】绝对值

【点评】数形结合有助于学生较好地理解绝对值的意义． 【推荐指数】★

13．（2010湖南长沙，13，3分）已知反比例函数y范围是 ．

y1m的图象如图，则m的取值xOx

【分析】由图象得，1－m＞0,即m＜1． 【答案】m＜0．

【涉及知识点】反比例函数图象的性质． 【点评】反比例函数yk(k为常数，k≠0)的图象是双曲线． x⑵当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一．三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；

⑶当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二．四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大．

【推荐指数】★★ 14．（2010湖南长沙，14，3分）已知扇形的面积为12，半径等于6，则它的圆心角等于 ．

n62【分析】由扇形面积公式可得：＝12π，所以n＝120°．

360【答案】120°．

【涉及知识点】扇形面积

nr2【点评】本题已知扇形的面积，半径，求它的圆心角，直接用公式S即可．

360【推荐指数】★★

15．（2010湖南长沙，15，3分）等腰梯形的上底是4cm，下底是10cm，一个底角是60，则等腰梯形的腰长是 cm． 【分析】如图，

吴梅录入、作答，若有错误，请指出，QQ:576847841

A4cmD60°B6cmE4cmC

【答案】6

【涉及知识点】

【点评】等腰梯形问题常转化为等腰三角形和平行四边形问题． 【推荐指数】★★ 16．（2010湖南长沙，16，3分）2010年4月14日青海玉树省玉权县发生7.1级大地震后，湘江中学九年级（1）班的60名同学踊跃捐款，有15人每人捐30元．14人每人捐100元．10人每人捐70元．21人每人捐50元，在这次每人捐款的数值中，中位数是

【分析】 捐款（元） 人数 30元 15 50元 21 70元 10 100元 14 【答案】50

【涉及知识点】中位数

【点评】将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)就是这组数据的中位数.

【推荐指数】★

三．解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分）

17．（2010湖南长沙，17，6分）计算213tan30(2010)0 【答案】解：213tan30(2010)0

1331 23111 21 2【涉及知识点】负整数指数，零指数，特殊的三角函数值. 【点评】实数运算，注意运算顺序. 【推荐指数】★★★ 18．（2010湖南长沙，18，6分）先化简，再求值：

x2911()2其中x x3x3x3x3x291)2【答案】解：( x3x3x3x吴梅录入、作答，若有错误，请指出，QQ:576847841

x291 x3xx3x3x3x31 x1

xx3当x1时 311原式3

x13【涉及知识点】分式的化简求值.

【点评】本题考查分式的化简求值，注意先化简，再求值. 【推荐指数】★★★ 19．（2010湖南长沙，19，6分）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45．求路况显示牌BC的高度．

CB60°°D45A地铁施工绕道慢行

【答案】解：在Rt△ABD,AB＝3m，∠ADB ＝45°， 所以ADAB333． tanADBtan451Rt△ACD中，AD＝3m，∠ADC＝60°

所以ACADtanADC3tan603333． 所以路况显示牌BC的高度为33－3m．

【涉及知识点】解直角三角形．

【点评】本题主要是利用直角三角形的边角关系解决实际问题，难度不大． 【推荐指数】★★★★ 20．（2010湖南长沙，20，6分）有四张完全一样的空白纸片，在每张纸片的一个面上分别写上1．2．3．4.某同学把这四张纸片写有字的一面朝下，先洗匀随机抽出一张，放回洗匀后，再随机抽出一张，求抽出的两张绝版上的数字之积小于6的概率．（用树状图或列表法求解）

【答案】解：根据题意用列表法或树状图求解如下：

吴梅录入、作答，若有错误，请指出，QQ:576847841

第一次 第二次 1 2 3 4 第一次抽牌1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 12 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 23 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 34 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 4第二次抽牌(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)(1，1)

从表或树状图可以看出所有可能结果共有16种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，

∴P（积小于6）1 2【涉及知识点】概率

【点评】用树状图或列表法求解概率，是初中学习概率知识必需掌握的基本技能，试题难度不大．

【推荐指数】★★★ 21．（2010湖南长沙，21，6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A．B．C三点在格点上．

（１）作出 △ABC关于ｙ轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （２）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

【答案】解：（１）（２）如图，点C1的坐标（－3，2）；点C2的坐标（－3，－2）．

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A1C1B1C2A2

【涉及知识点】平面直角坐标系

【点评】了解关于坐标轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．

【推荐指数】★★★ 22．（2010湖南长沙，22，6分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB．ED

（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求EFD的度数．

B2 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC

又∵AC为对角线，E为AC上一点， ∴∠BCE＝∠DCE＝45°． ∵EC＝EC,

∴△BEC≌△DEC(SAS)；

（2）∵△BEC≌△DEC, ∠BED＝120°, ∴∠BEC＝∠DEC＝60°． ∵∠DAC＝45°， ∴∠ADE＝15°

∴∠EFD＝∠BED－∠ADE＝120°－15°＝105°

【涉及知识点】全等三角形的判定，正方形的性质．三角形的外角．

【点评】本题要求综合应用全等三角形的判定，正方形的性质．三角形的外角等知识解决数学问题．难度不大．

【推荐指数】★★★

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四．解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分） 23．（2010湖南长沙，23，8分）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？

【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，题中的等量关系：楼盘原来的销售均价×(1－x）2＝价格经过两次下调后的楼盘销售均价．

（2）兼顾购房与物业两项，比较方案①．②中所得的实惠即可．

【答案】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得50001－x4050，解得x12111，x2（不合题意舍去）.所以平均每次下调的百分率为0.1. 1010（2）方案①购房少花4050×100×0.02＝8100（元），但需要交两年的物业管理费

1.5×100×12×2＝3600（元），实际得到的优惠是8100－3600＝4500（元）；方案②省两年物业管理费1.5×100×12×2＝3600（元）．因此方案①更优惠．

【涉及知识点】一元二次方程，百分率问题．

【点评】一元二次方程的应用中百分率问题是常见题型，但本题的背景较为新颖． 【推荐指数】★★★

24．（2010湖南长沙，24，8分）已知：AB是⊙O的弦，D是AB的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C， （1）求证：AD＝DC；

（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝EC，求sinC.

⌒

【分析】（1）欲证AD＝DC；需证AD＝BD＝DC； 已知D是AB的中点，由圆的基本性质得AD＝BD，由等边对等角可得∠DAB＝∠DBA.根据等角的余角相等，得∠DBC＝∠C.再由等角对等边可得DB＝DC.等量代换，得AD＝ DC.

（2）欲求sinC，需证得∠DEC＝90°及∠C的度数.由已知可证得四边形DEBF是矩形，又DE＝EC，所以△DEC是等腰直角三角形，所以∠C＝45°，由特殊的三角函数值，得sinC＝

⌒2. 2【答案】解：（1）连接DB, ∵D是AB的中点，∴AD＝BD.

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∴AD＝DB.∴∠DAB＝∠DBA. ∵AB⊥BC,∴∠DBC＝90°－∠DBA,∠C＝90°－∠DAB. ∴∠DBC＝∠C. ∴DB＝DC. ∴AD＝ DC.

（2）连接OD,交AB于F, ∵D是AB的中点，∴AB⊥OD ∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE ∵AB⊥BC,∴四边形DEBF是矩形 ∴∠DEC＝90°,

∵DE＝EC，∴∠C＝45° ∴sinC＝sin45°＝

⌒2. 2【涉及知识点】圆的基本性质．余角的性质．等腰三角形的性质和判定．矩形的判定．直线与圆的位置关系．特殊的三角函数值.

【点评】这是一道典型的几何综合题.知识点覆盖面大，但难度不大，有效地考查了学生基础知识的掌握情况.

【推荐指数】★★★★

五．解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）

25．（2010湖南长沙，25，10分）已知：二次函数yax2bx2的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中a>b>0且a．b为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1．x2，求|x1x2|的范围．

【答案】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx(k为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b），∴把点（1，－b），代入y＝kx，得－b＝k,即k ＝－b

．∴一次函数的表达式为y＝－bx．

（2）∵二次函数yaxbx2的图象过点（1，0），∴a＋b＝2, ∴ a ＝2－b．

2y2bxbx2,将二次函数与一次函数联立，得

ybx.2整理，得(2－b）x2＋2bx－2＝0．

∵b>0，∴k ＝－b＜0． ∴△＝（2b）2－4(2－b）（－2）＝4b2+16－8b＞0． ∴这两个函数的图象交于不同的两点．

（3）∵（2）中的两个交点的横坐标分别为x1．x2，∴x1＋x2＝

2b2，x1x2＝ b2b2吴梅录入、作答，若有错误，请指出，QQ:576847841

∴|x1x2|2x1x22x1x2222b4x1x24 b2b2222b∵40，∵|x1x2|0． b2b2【涉及知识点一次函数．二次函数．一元二次方程根的判别式．

【点评】这是一道典型的代数综合题. 【推荐指数】★ 26．（2010湖南长沙，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA82cm,OC8cm，现有两动点P．Q分别从O．C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y12xbxc经过B．P两点，4过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

【分析】（1）依题意OQ＝8－t,OP＝2t, SPQO1OPOQ，整理即得; 2（2）依据S四边形OPBQS矩形OABCSPABSCBQ可得; （3）依题意得P(42,0),B(82,8)，进而得抛物线为y12x22x8，过B．P4两点的直线为y＝2x－8 ．当x62时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1．

【答案】解：（1）由题意知，OQ＝8－t,OP＝2t,

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∴SPQO1222t8tt42． 22（2）由题意知，AB＝OC＝8,CQ＝ t, CB＝OA＝82,PA＝82－2t,

SPABSOBQ18822t42t322; 21t8242t; 2∴S四边形OPBQS矩形OABCSPABSCBQ

88242t32242t

322．

∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值为322．

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，应满足2t8t． 8822t整理，得t12t320， 解得t14，t28（不合题意）． 此时P(42,0),B(82,8) ． 因抛物线y212xbxc经过B．P两点，所以将B．P两点的坐标代入，得 4214242bc04 218282bc84解得b22

c812x22x8． 4所以经过B．P两点的抛物线为y设过B．P两点的直线为y＝kx+b, 将B．P两点的坐标代入，得

42kb0 82kb8吴梅录入、作答，若有错误，请指出，QQ:576847841

解得k2 b8所以过B．P两点的直线为y＝2x－8．

12x22x8） 412121x62MN＝（2x－8）－（x22x8）＝x32x16444依题得，动点M的坐标（x,

，N的坐标（x, 2x－8）

22

当x62时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1．

【涉及知识点】矩形的面积．三角形的面积．相似三角形的性质．一次函数．二次函数

等．

【点评】本题是几何．代数综合题，涉及内容多，有一定难度．主要考查学生的应用所学解决数学问题的能力，运算量较大，同时也极易出错，需要细心．

【推荐指数】★★★★★