柯西不等式

浅析中学数学中柯西不等式的应用

刘小菲

引言：

柯西不等式在中学数学中的广泛的应用，它在中学数学特别是中学数学奥林匹克竞赛有着不容忽视的作用。它在20届的IMO，26届的IMO以及1987年CMO集训队试题等数学竞赛题中都有直接或者间接利用到。作为一个基础不等式，它在高等数学中也起到重要的作用，在数学分析、概率论和泛函分析中都有所涉及，并且对证明其它不等式都有很大的作用。本文先从三个不同的方法出发给出了柯西不等式的证明，并结合近年来中学数学，包括中学数学竞赛中的实例，采用从易到难的方法讨论了柯西不等式在证明不等式、求函数极值，解几何问题等方面的应用，并且描述了柯西不等式的几何意义，以及柯西不等式的推广形式。 1. 柯西不等式的证明

柯西不等式的内容是：

n定理：设ai,biR（i=1,2……n），则abaibi

i1i1i12i2inn2（1-1） 当且仅当

bb1b2......n时，不等式等号成立。 a1a2an对于这个定理有如下证法。

证1：作关于x的二次函数

n f(x)i1n2ia2nx2i1in2abx iii1b若ai20，即a1a2......an0，显然不等式成立。

i1n若ai20，则有f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2......(anxbn)20

i1n且a0，所以[2(aibi)]4(a)(bi2)0

2i22ii1i1i1i1nnn2

故 (a)(b)2i2ii1i1nn(n2aibi )i1从上面的证明过程看出，当且仅当

bb1b2n时，不等式取等号。 a1a2an证（1-2） 即

2：考虑关于x的二次多项式

2(axb)kk k1n

(a)x2(akbk)xbk2

2k2k1k1k1nnn（1-3）

根据（1-2），（1-3）对于一切实数x是非负的，由此推出（1-1） 由（1-2）看出，当且仅当

bb1b2（1-1）取等号成立。 n时，

a1a2an1212xy 22111120 akbkakbk2ak22bk，其中

22证3：对于x,yR，有xy 将上述不等式从k1到kn相加，得

12n211n akbkak2bk2

22k1k1k1n 选取使得 n2ak1nn2kn12bk1n2k(ab)

k1n1222kk 则有akbk(ak1k12kb)k1122k

因为

ababkkk1k1nnkk，由此推出

nnn (akbk)2k1(k12ak)( bk2k1)2. 柯西不等式在中学数学中的应用

对于柯西不等式，它在证明不等式以及求极值等方面都有很多的应用，给我们开拓了思路。

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2.1 柯西不等式在证明不等式中的应用

例1 已知a1,a2,an都是正数，求证：(a1a2an)(证1：aiR(iN)

111)n2 a1a2ana1a2annna1a2an，(a1a2an)(1111 nna1a2ana1a2an111)n2，当且仅当a1a2an时等号成a1a2an立。

证2：构造两个数组：

na1,a2an；111, a1a2an利用柯西不等式有(i1nn12122ai)[(ai)][()]

aiaii1i`1nnn即 (1)(ai)(2i1i1i11) ai(a1a2an)(111)n2 a1a2ann2in1例2 设aiR(i1,2,,n)，且Aa(ai)2，证明：A2a1a2

n1i1i1证明：由柯西不等式，有

(ai)[(a1a2)an](111)[(a1a2)a](n1)(ai22a1a2)2222222ni1i1nn Aai2i1n1(n1)(ai22a1a2) n1A2a1a2

例3 设a1,a2,,ak,为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n，有

nak1 2k1kk1kn4

nak12nakn112)]2 证明：()[(kakk1kk1k1kk1akn不妨设a1a2ak，则akk，故

n11 k1akk1kn11 akkn12nakn11nak()2()，即2 k1kk1kk1kk1kk1kna4(b1)4122a(1)，求证：f16 例4 已知a,b0，f(b1)22bab2证明：由题意，可得

a4(b1)412a22(b1)22222f(b1)2a(1)[a(b1)][a(b1)] 222babba2a2(b1)2a2(b1)22[a(b1)][2][] 2baba22a2(b1)2令g

ba(ab)g[(a)2(b)2][(a2b12)()](b1a)2ba

ab12(ab)22(ab)11g()(ab)24即f4

ababab22a1a2an2a12a2an)例5 证明：(

nn证明：(a1a2an)2(a11a21an1)2

22 (a12a2an)(1122a1a2an2a12a2an()

nn2n1a)(22an 1a)若上述不等式中a1,a2,,an0，两边开平方，得

5

22a1a2ana12a2an nn这就是著名的不等式：n个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。

例6 求证：对于任意实数a1,a2和b1,b2，下面不等式恒成立

2a12a22b12b2(a1)b12(2a2 )b222证明：由柯西不等式，得： (a12a2)(b12b2)(a1b1a2b2)2 2又 (a12a22b12b)22(a12)a22(b12)b222222(a12a )(bb)21222 (a12a2)(b12b2)2(a1b1a2b2)(a1b1)2(a2b2)2

两边开平方即得证

例7 证明：对于任意实数x,y,z，不等式

(x2y2)(y2z2)(z2x2)xyz(xy)(yz)(zx)成立。 证明：由柯西不等式，得 (x2y2)(y2 (y2z2)(z2z2)x2)(xy2y)z2 (yx)z，(zz2(y)x2x2)(x2y2)x2(yz)2

(x2y2)2(y2z2)2(z2x2)2(xyz)2(xy)2(yz)2(zx)2 x2y2,y2z2,z2x20

(x2y2)(y2z2)(z2x2)xyz(xy)(yz)(zx)

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柯西不等式及其应用

1. (113)已知3x2+2y2+4z2=24，试求W=7x+y-5z的最大值与最小值。

2. (115)已知x12+x22+....+xn2=1，求y=-x1+√2x1-√3x1+.....+(-1)n√nxn的最大值与最小值。

3. 已知a、b、c、d、e是满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定e的最大值。(1978年第7届美国数学奥林匹克试题)

4. (117)m个互不相同的正偶数与n个互不相同等正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论。(1987年第2届全国冬令营试题)

5. (95)求证yz+zx+xy-9xyz≧0，其中x、y、z为非负实数，满足x+y+z=1。 这道条比1984年第25届IMO试题第一题稍强，原题是：求证

0≦yz+zx+xy -2xyz ≦7/27，其中x、y、z为非负实数，满足x+y+z=1。 6. (274)设有2n x 2n 的正方形方格棋盘，在其中任意3n个方格中，各放一枚棋子，求证：可以选出n行和n列，使得3n枚棋子都在这n行和n列中。

(1990年全国初中数赛试题) 更一般的命题：

设有( m+n )x(m + n)的正方形方格中棋盘，在其任意m+2n个方格中各放一枚棋子，求证：可选出n行和m列使得m+2n枚棋子都在这n行和m列中。

7. 在一张向四面无限伸展的方格纸上，每一方格内任意填上一个实数，证明：纸上必有一个方格内的数不大于这一方格周围八个方格中至少四个方格所填的数。

8. (105)(1987年第28届IMO试题) 设n个实数x1、x2、....、xn满足

x12+x22+....+xn2=1，求证：对于任意整数k≧2，存在n个不全为零的整数ai，|ai|≦k-1 (i=1，2，....，n)使得

(k-1)√n

|a1x1+a2x2+....+anxn| ≦ n

k-1

9.

10.(119)四个数之和为4，平方和为8，确定这四个数中最大的那个的最大值。 11.设u、v为正实数，求u、v所满足的充分必要条件，使得对给定n，存在实数满足

a1≧a2≧....≧an≧0，a1+a2+....+an=u，a12+a22+....+an2=v。

当这些数存在时，求a1的最大值与最小值。(19年第30届加拿大IMO训练题)

12.(211)设a、b、c、d满足ab+bc+cd+da=1的非负实数。求证：

a3 b3 c3 d3 1

+ + + ≧ b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c 3

13.(1990年第31届IMO预选题)

14.(218)已知a、b、c为正实数，求证：

7

1 1 1 a8 +b8+c8 + + ≦ 。 a b c (abc)3

15.(《数学通报》1983年第7期问题241)

16.设x、y、z是正数，x+y+z=3/2，求证(x+1/x)(y+1/y)(z+1/z)≧125/8，等号成立正当且仅当x=y=z。(《数学通报》1988年第6期有奖问题) 这不等式可以推广为：若正数x1、x2、....、xn满足x1+x2+...+xn=n/2，则(x1+1/x1)(x2+1/x2).....(xn+1/xn)≧(5/2)n。 17.若正实数x1、x2、....、xn满足x1+x2+...+xn=1，则(x1+1/x1)(x2+1/x2).....(xn+1/xn)≧(n+1/n)n。

18.(180)用红、蓝、黄三种颜色去染11 x 11棋盘上的方格，每格染且只染一种颜色。求证：不论怎样染法，棋盘上一定含有一矩形其四角的格子同色且各边长至少有两格子。(1983瑞士数学竞赛试题)

19.六人参加一个宴会，其中任意两人只能互相认识或互不认识。求证：其中必有两个三人组，使得每个组中任意两人都互相认识，或者互不认识(这两个三人组允许有公共成员)。(19年第30届加拿大IMO训练题) 20.设n为自然数，不大于44，求证对每个定义在N2上，值在集合{ 1，2，....，n }中的函数 f，存在四个有序数对(i，j)、(i，k)、(k，l)、(l，k)，满足f(i，j)=f(i，k)=f(k，l)=f(l，k)，其中i、j、l、k是这样的自然数：存在自然数m、p使得

19m≦ii，并且xi≠xj，的j个数。

1. 求证：A=3Cn - 2Cd1 -2Cd2 -..... -2Cdn； 2. 给定奇数n，A的最大值是多少？ (1987年第16届美国数学奥林匹克试题)