1．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx，a∈R． （Ⅰ）若f（x）≥0，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a＝﹣1时，方程f（x）＝b﹣3x（b∈R）在[，2]上恰有两个不等的实数根，求
21
b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≥0得ax2﹣lnx≥0， ∵x＞0，∴a≥则g′（x）=
𝑙𝑛𝑥𝑙𝑛𝑥
，设函数g（x）=， 𝑥2𝑥21−2𝑙𝑛𝑥
（x＞0）， 𝑥3令g′（x）＞0，解得：0＜x＜√𝑒，令g′（x）＜0，解得：x＞√𝑒， 故函数g（x）在（0，√𝑒）递增，在（√𝑒，+∞）递减， 故x=√𝑒时，函数g（x）取最大值g（√𝑒）=故a的取值范围是[
1
1， 2𝑒2𝑒
，+∞）；
12
（Ⅱ）由题意得x2﹣3x+lnx+b＝0在[，2]上恰有2个不相等的实数根， 设函数F（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0）， 则F′（x）=
(2𝑥−1)(𝑥−1)
，
𝑥1
令F′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜2， 令F′（x）＜0，解得：＜x＜1，
21
故F（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，
2
2
11
∵f（x）＝b﹣3x（b∈R）在[，2]上恰有2个不相等的实数根，
2
1
𝑏−−𝑙𝑛2≥054故{𝐹(1)＜0即{，解得：+ln2≤b＜2，
𝑏−2＜04
𝐹(2)≥0𝑏−2+𝑙𝑛2≥0故b的取值范围是[+ln2，2）．
45
𝐹(2)≥0
15
2．已知椭圆C：
𝑥2𝑎2+
𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过原点O的直线l1：y=2x与椭圆
3
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交于A，B两点（点A在第一象限），且|AF|+|BF|＝4，椭圆C的离心率为．
2
1
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若以点A为切点的椭圆的切线l2：x+2y﹣4＝0与y轴的交点为P，过点P的直线l3与椭圆C交于不同的两点M，N，求
|𝑃𝑀|⋅|𝑃𝑁||𝑃𝐴|2
的取值范围．
【解答】解：（1）设椭圆的左焦点为M，
由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则|OA|＝|OB|， 又|OM|＝|OF|，所以四边形AFBM为平行四边形，所以|AF|＝|BM|， 由椭圆的定义得|AF|+|BF|＝|BF|+|BM|＝2a＝4，即a＝2， 又椭圆的离心率为e=
𝑐1
=，所以c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3， 𝑎2𝑥24
故椭圆C的标准方程为+
𝑦23
=1；
𝑥+2𝑦−4=033
（2）由{，解得x＝1，y=，则点A（1，）， 32𝑦=2𝑥2由题易知点P（0，2）， 所以|PA|2＝（1﹣0）
2
+(2−2)2=4，
35
当直线l3与x轴垂直时，|PM|•|PN|＝（2+√3）×(2−√3)=1， 故
|𝑃𝑀|⋅|𝑃𝑁||𝑃𝐴|2
=，
5
4
当直线l3与x轴不垂直时，设直线l3的方程为y＝kx+2， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＞0，
𝑦=𝑘𝑥+2联立方程{𝑥2𝑦2，消去y可得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，
+=1
43则△＝48（4k2﹣1）＞0，得k且x
1𝑥2
2
＞4，
−16𝑘
2，
1
=
43+4𝑘
2，x
1
+𝑥2=
3+4𝑘
设直线l3的倾斜角为α，
12则|PM|=|𝑐𝑜𝑠𝛼|=√1+𝑘2|𝑥1|，|PN|=|𝑐𝑜𝑠𝛼|=√1+𝑘2|𝑥2|，
|𝑥||𝑥|
所以|PM|•|PN|＝（1+k）x1x2=因为k
2
2
4(1+𝑘)3+4𝑘1
22
=1+
13+4𝑘
2，
＞4，所以1＜1+
1
3+4𝑘
2＜4，即
5
1＜|PM|•|PN|＜4，
5
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所以＜5
4|𝑃𝑀|⋅|𝑃𝑁||𝑃𝐴|2|𝑃𝐴|2
＜1，
45
综上，
|𝑃𝑀|⋅|𝑃𝑁|
的范围为（，1）．
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