2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题 (2)

第Ⅰ卷（共60分）

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1. 【答案】

【解析】 由正弦的背胶公式可得2. 【答案】1

【解析】 由两角和的正弦函数的公式，可得 3. 如果【答案】9 【解析】 由4. 在

成等比数列，所以满足中，角

所对边的长分别是

，解得

.

，则

的面积为

成等比数列，则实数

__________.

.

__________.

.

__________.

__________. 【答案】

.

【解析】 由三角形的面积公式，可得三角形的面积为5. 不等式【答案】

，即

，所以不等式的解集为，则

__________.

.

的解集为__________.

【解析】 由不等式6. 已知数列【答案】8

【解析】 由等差数列 则7. 在【答案】

，即中，角

中，

是等差数列，

，且，又由

，

. 已知

，则角

__________.

所对边的长分别是

【解析】 在

所以由余弦定理得所以8. 海上

.

，又，

两个小岛之间相距10海里，从岛望岛和岛所成视角为60°，从岛望岛和

岛所成视角为75°，则岛和岛之间的距离为__________海里. 【答案】

海里，

，所以

，

【解析】 由题意可知

由正弦定理得：，所以海里.

9. 若【答案】-1 【解析】 由10. 在__________. 【答案】等腰三角形 【解析】 由题意 又由 所以 即 所以

中，角

，则__________.

.

所对边的长分别是

已知

，则

的形状为

中，满足，所以

，

， 根据正弦定理得

，

，

，所以

为等腰三角形.

中，

，

11. 在等比数列【答案】4 【解析】 因为数列可得

，则__________.

为等比数列，由，即

，

，

又，则，所以的通项公式为

.

，其前项和为8，则

__________.

12. 已知数列【答案】80 【解析】 由数列 则前项的和为 令

的通项公式，

，

，解得.

的解集是

，则实数

__________．

13. 若关于的不等式【答案】2

【解析】 因为不等式 所以和是方程

的解集为的两个根，且

，，即

，

，

根据方程的根与系数的关系可得 解得

或

（舍去）.

，

点睛：本题主要考查了一元二次不等式的应用，利用不等式的解集和对应的一元二次方程的根之间的关系，将不等式转化为一元二次方程的根的问题进行解答，明确不等式的解集的端点对应方程的根对应函数的图象与轴交点的横坐标是解答的关键. 14. 已知【答案】 【解析】 设 所以 又因为 所以当且仅当所以

时等号是成立的， 的最小值为

.

，则

且

，

，

，

，则

且

，

,且

，则

的最小值为__________．

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知等差数列(1)求数列(2)数列

的通项公式

.

的前项和； 是等比数列，公比为，且

；（2）

的前项和；

，求数列

的前项和.

【答案】（1）

【解析】试题分析：（1）由等差数列的前项和公式，即可求解数列（2）由（1），求得可得到数列试题解析： （1） （2）由题知又数列

是等比数列，

的前项和.

，进而得到等比数列的公比，再利用等比数列的求和公式，即

16. 已知函数(1)求函数(2)当

的最小正周期； 时，求

的最大值和最小值.

.

【答案】（1）最小正周期是；（2）

【解析】试题分析：（1）先化简函数的解析式为周期；

（2）由试题解析：

（1）（2）所以 当17. 在(1)若(2)若

，

的最小正周期是 时，中，角，求

的值；

，求

(2)

的值. ,

.

；当

时，

，已知

，得

，进而可求解函数

，即可求解函数 的最小正

的最值.

所对边的长分别是.

的面积

【答案】(1)

【解析】试题分析：(1)由定理，即可求得

的值；

，利用三角函数的基本关系式，求得的值，再利用正弦

(2) 利用三角形内的面积公式试题解析：

(1) ∵cosB=>0，且0，解得，再利用余弦定理，即可求得的值.

由正弦定理得，

(2) ∵S△ABC=acsinB=3，

由余弦定理得

18. 某种汽车购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、汽油费共0.9万元，汽车的维修保养费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……依等差数列逐年递增.

(1)求该车使用了3年的总费用（包括购车费用）为多少万元？ (2)设该车使用年的总费用（包括购车费用）为

），试写出

的表达式；

(3)求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）. 【答案】(1)20.8;(2)

【解析】试题分析：(1)由题意，即可得到年总费用为（2）根据题意保养维修为成首项为即可求得

的表达式；

，利用基本不等式即可求解年平均费用最少值.

，公差为

;(3)3.6.

万元；

的等差数列，利用等差数列的前项和公式，

（3）设年平均费用为试题解析： (1) 3年总费用为

万元

，公差为

的等差数列，

（2）因为每年保养维修为成首项为所以 第年保养维修费为使用了年的总费用

，

（3）设年平均费用为

，则

所以

因为 所以

（当且仅当时，取等号）

答 ：使用13年，年平均费用最少，最小值为19. 已知函数(1)求函数(2)若函数

的定义域；

的最大值为2，求的值；

，其中

万元 ，记函数

的定义域为.

(3)若对于内的任意实数,不等式【答案】（1）定义域为

;(2)

;(3)

恒成立，求实数的取值范围. .

【解析】试题分析：（1）根据函数的解析式，列出不等式组，即可求解函数的定义域； （2）根据对数的运算，得

，再利用二次函数的性质，即可得到函数的

最大值，进而求解实数的值； （3）由题意设取值范围. 试题解析：

（1）要使函数有意义：则有∴ 函数的定义域为（2）因为 所以 因为即由（3）由得 因为所以设则即所以所以所以

. ，所以在，令

，因为

， （当且仅当

时，取等号

恒成立

，得，所以

， ，

在

恒成立，

，

.

，解得－2＜x＜1

在

恒成立，转化为

在

恒成立，

，再利用换元法和基本不等式，即可求解函数的最小值，进而得到实数的

点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质的综合应用，不等式的恒成立问题的求解，及基本不等式求最值，着重考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，解答中牢

记对数函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的处理方法是解答的关键. 20. 已知等差数列(1)求数列(2)记数列

的通项公式； 的前项和为，求

；

.

(3)是否存在正整数，使得若不存在，说明理由. 【答案】(1)

;(2)

仍为数列中的项，若存在，求出所有满足的正整数的值；

;(3) .

，再利用等差数列的通项公式，即

【解析】试题分析：（1）根据题意求得等差数列的公差可求解数列的通项公式. （2）由（1）知，求得数列可求解

的值；

，令

，则

的通项公式

，求得数列的前项和，即

（3）由题意，进而得到的可能取值为，

分类讨论即可得到满足条件的正整数的值. 试题解析： （1）因为数列所以公差=

即

为等差数列，

，所以

时，，

设数列当 （3）

的前项和为，

；当

时，

（2）由（1）知，当

时，

令（其中且是奇数），则是奇数，

的可能取值为是数列

故为8的约数，又当

时，

中的第5项；

当时，

不是数列中的项.

所以存在，满足条件的正整数

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