2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(文科)

2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）已知集合U{1，3，4，5，7，9}，A{1，4，5}，则ðUA( ) A．{3，9}

B．{7，9}

C．{5，7，9}

D．{3，7，9}

2．（5分）已知i是虚数单位，复数m1(2m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数

m的取值范围是( )

A．(,1) C．(2,)

B．(1,2)

D．(，1)(2，)

3．（5分）已知向量a(1,m),b(2,1)，且(ab)b，则实数m( ) A．3

B．

1 21C．

2D．3

4．（5分）某车间生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比分别为5:k:3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的产品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为( ) A．12

B．24

C．36

D．60

5．（5分）要得到函数ycos(2x)的图象，只需要将函数ycosx的图象( )

4个单位长度，横坐标缩短为原来的6倍，纵坐标不变． 81B．向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变．

42C．向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变．

8D．向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变．

4A．向左平行移动

6．（5分）设直线m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A．m//n，m//n// C．m//，m//// 7．（5分）已知a2,beA．bca

431ln3323B．mn，m，n D．，m//m

,c3，则( )

C．cab

D．bac

B．cba

第1页（共18页）

8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为( )

A．4

9．（5分）函数f(x)B．5

C．6

D．7

lnx的图象大致是( ) x1A． B．

C． D．

10．（5分）已知(0,)，且3sin25cos2sin20，则sin2cos2( )

2A．1

B．23 17C．23或1 17D．1

11．（5分）如图，在RtABC中，C2，B6，AC4，D在AC上且AD:DC3:1，

当AED最大时，AED的面积为( )

A．

3 2B．2 C．3 D．33 4ax3ex，在(0,)上恒成立，12．（5分）已知函数f(x)4alnx3x，且不等式f(x1)…第2页（共18页）

则实数a的取值范围( ) 3A．(,)

43B．(,]

4C．(,0) D．(，0]

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）书架上有6本不同的数学书，4本不同的英语书，从中任意取出1本，取出的书恰好是数学书的概率是 ．

14．（5分）已知函数f(x)2x3ax22在x2处取得极值，则实数a ．

15．（5分）若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，

b4,BAAC8,S4，则a ．

16．（5分）同学们有如下解题经验：在某些数列求和中，可把其中一项分裂为两项之差，使某些项可以抵消，从而实现化简求和．如：已知数列{an}的通项an项

化

为112an1)211nn11(3n1，则将其通

n(n1)n，故数列

{an}的前项的和

Sn(11n1)(．)斐波那契数列是数学史上一个著名数1n1n1n1列，在斐波那契数列{an}中，a11，a21，an2an1an(nN*)，若a2021a，那么S2019 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn2n12． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn(2n1)an，求数列{bn}的前n项和Tn．

5a，c分别为内角A，18．（12分）在ABC中，且满足acosC(bc)cosA． b，C的对边，B，

3（1）若sinC1，ac10，求c； 5（2）若a4，c5，求ABC的面积S．

19．（12分）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：

（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；

第3页（共18页）

（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；

（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150，170]的概率．

20．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边CD的中点，将ADE沿AE翻折得到ASE，且平面ASE平面ABCE． （1）求三棱锥BCES的体积； （2）设线段SC上一点G满足

SG在BE上是否存在点H使GH//平面SAE？若存在，2，

GC求出EH的长度；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数f(x)lnxa(x1)． x2（1）若a4，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(0，1]内单调递增，求实数a的取值范围； （3）若x1、x2R，且x1„x2，求证：(lnx1lnx2)(x12x2)„3(x1x2)．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

322．（10分）如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以C1(1,)和C2(2,)为圆心，外切于

22点O的两个圆．过O作两条夹角为点．

（1）写出C1与C2的极坐标方程；

第4页（共18页）

的射线分别交C1于O、A两点，交C2于O、B两3

（2）求OAB面积最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f(x)|x2|t，tR，g(x)|x3|． （1）xR，有f(x)…g(x)，求实数t的取值范围；

（2）若不等式f(x)„0的解集为[1，3]，正数a、b满足ab2ab2t2，求a2b的最小值．

第5页（共18页）

2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）已知集合U{1，3，4，5，7，9}，A{1，4，5}，则ðUA( ) A．{3，9}

B．{7，9}

C．{5，7，9}

D．{3，7，9}

【解答】解：集合U{1，3，4，5，7，9}，A{1，4，5}， 所以ðUA{3，7，9}， 故选：D．

2．（5分）已知i是虚数单位，复数m1(2m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数

m的取值范围是( )

A．(,1) C．(2,)

B．(1,2)

D．(，1)(2，)

【解答】解：复数m1(2m)i在复平面内对应的点在第二象限，

m10，解得m1．

2m0实数m的取值范围是(,1)．

故选：A．

3．（5分）已知向量a(1,m),b(2,1)，且(ab)b，则实数m( ) A．3

B．

1 21C．

2D．3

【解答】解：向量a(1,m),b(2,1)， 则ab(1,m1)，

又(ab)b，则(ab)b0， 即121(m1)0， 解得m3． 故选：D．

4．（5分）某车间生产A，B，C三种不同型号的产品，产量之比分别为5:k:3，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本进行检验，已知B种型号的产

第6页（共18页）

品共抽取了24件，则C种型号的产品抽取的件数为( ) A．12

B．24

C．36

D．60

【解答】解：由题意可得

24k，求得k2． 1205k3336，

523则C种型号的产品抽取的件数为120故选：C．

5．（5分）要得到函数ycos(2x)的图象，只需要将函数ycosx的图象( )

4个单位长度，横坐标缩短为原来的6倍，纵坐标不变． 81B．向左平行移动个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变．

42C．向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变．

8D．向右平行移动个单位长度，横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变．

4【解答】解：要得到函数ycos(2x)的图象，只需要将函数ycosx的图象向左平移

44A．向左平行移动个单位，

1得到ycos(x)，再把横坐标缩短为原来的，纵坐标不变即可．

42故选：B．

6．（5分）设直线m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A．m//n，m//n// C．m//，m////

B．mn，m，n D．，m//m

【解答】解：由m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知： 在A中，m//n，m//，n或n//，故A错误；

在B中，mn，m，n，由线面垂直的性质定理得，故B正确； 在C中，m//，m//与相交或平行，故C错误；

在D中，m//，m与相交、平行或m，故D错误． 故选：B．

7．（5分）已知a2,beA．bca

431ln33,c3，则( )

C．cab

D．bac

23B．cba

第7页（共18页）

411121【解答】解：a23163，beln313eln3333，c3393；

13916，f(x)x3在(0,)上单调递增；

1113393163；

bca．

故选：A．

8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为( )

A．4

B．5

C．6

【解答】解：k0，s014，继续循环； s0，k2，s14继续循环； s022，k3，s14继续循环； s235，k4，s14继续循环； s549，k5，s14继续循环； s9514，k6，s14跳出循环；

此时k6， 故选：C．

9．（5分）函数f(x)lnxx1的图象大致是( ) A． B．第8页（共18页）

D．7

C．

1D．

1lnxlnxx【解答】解：由f(x)，得f(x)，

(x1)2x1令g(x)11111xlnx，则g(x)220， xxxxg(x)在(0,)上单调递减，

111又g（e）0，g(e2)12lne2210，

eee存在x0(e,e2)，使得g(x0)0．

则当x(0,x0)时，g(x)0，f(x)0， 当x(x0，)时，g(x)0，f(x)0，

f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减．

故选：C．

10．（5分）已知(0,)，且3sin25cos2sin20，则sin2cos2( )

2A．1

B．23 17C．23或1 17D．1

【解答】解：由3sin25cos2sin20，

3sin25cos22sincos得0，

sin2cos23tan22tan50， 2tan1即3tan22tan50， 5解得tan1或tan．

3(0,)，

2tan1，即4．

sin2cos2sin2cos21．

故选：A．

11．（5分）如图，在RtABC中，C2，B6，AC4，D在AC上且AD:DC3:1，

第9页（共18页）

当AED最大时，AED的面积为( )

A．

32 B．2 C．3 D．33 【解答】解：AD:DC3:1，

DC14AC1， SAEDSACESDEC

12ACCE12DCEC 12ACCE1124ACCE ACCE(1128)

38ACEC， AC4，CE„CB，ACDC3，ACDC4

而在RtABC中，C2，B6，AC4，

得CB43．AEDAECDEC，

设AEC，AEC，DEC，有图知：在ACE中，tanACEC，tanDCCE tantan()tantan1tantan

ACDCCECE(ACDC)EC3EC3331ACDCEC2ACDCEC24„， CECEEC4EC2CE44EC当且仅当EC4EC， 即EC2时，tan最大，

第10页（共18页）

DEC中

即这时AED最大，ADE面积最大为故选：C．

3423； 84ax3ex，在(0,)上恒成立，12．（5分）已知函数f(x)4alnx3x，且不等式f(x1)…则实数a的取值范围( ) 3A．(,)

43B．(,]

4C．(,0) D．(，0]

【解答】解：f(ex)4ax3ex，

4ax3ex在(0,)上恒成立， 所以f(x1)…f(ex)在(0,)上恒成立， 等价于f(x1)…因为x(0,)时，1x1ex， 所以只需f(x)在(1,)上递减， 即x1，f(x)„0恒成立， 即x1时，所以a„34a3„0恒成立，a„x，

4x3， 4故选：B．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）书架上有6本不同的数学书，4本不同的英语书，从中任意取出1本，取出的书恰好是数学书的概率是

3 ． 5【解答】解：从6本不同的数学书，4本不同的英语书，从中任意取出1本共有10种可能， 取出是数学书的可能有6种， 则取出的书恰好是数学书的概率是3故答案为：

563， 10514．（5分）已知函数f(x)2x3ax22在x2处取得极值，则实数a 6 ． 【解答】解：f(x)6x22ax， f（2）244a0， a6．

第11页（共18页）

故答案为：6．

15．（5分）若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其面积为S，

b4,BAAC8,S4，则a 210 ． 【解答】解：如图，

BAAC8，ABAC8，且b4，

4ccosA8， ccosA2①，

又S4，

14csinA4， 2csinA2②，



②23得，tanA1，A，cosA， ①24c22，

在ABC中，由余弦定理得，a2b2c22bccosA168162(a210．

2)40， 2故答案为：210．

16．（5分）同学们有如下解题经验：在某些数列求和中，可把其中一项分裂为两项之差，使某些项可以抵消，从而实现化简求和．如：已知数列{an}的通项an项

化

为112an1)211nn11(3n1，则将其通

n(n1)n，故数列

{an}的前项的和

Sn(11n1)(．)斐波那契数列是数学史上一个著名数1n1n1n1列，在斐波那契数列{an}中，a11，a21，an2an1an(nN*)，若a2021a，那么S2019 a1 ．

【解答】解：由题意可得anan2an1，

则S2019a1a2a3a2019a3a2a4a3a5a4a2021a2010a2021a2a1．

第12页（共18页）

故答案为：a1．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn2n12． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn(2n1)an，求数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）

Sn2n12，

当n1时，S1a12，

2时，anSnSn12n122n22n， 当n…上式对n1也成立， 则an2n(nN*)；

（2）由（1）知bn(2n1)an(2n1)2n，

Tn12322523(2n1)2n， 2Tn122323524(2n1)2n1，

两式相减得Tn22(22232n)(2n1)2n1

4(12n1)22(2n1)2n1，

12化简可得Tn6(2n3)2n1．

5a，c分别为内角A，18．（12分）在ABC中，且满足acosC(bc)cosA． b，C的对边，B，

3（1）若sinC1，ac10，求c； 5（2）若a4，c5，求ABC的面积S． 【解答】解：（1）

5acosC(bc)cosA，

35sinAcosC(sinBsinC)cosA3，化简得

5sinBcosAsinAcosCcosAsinCsin(AC)sinB， 3第13页（共18页）

因为sinB0，所以cosA43，sinA，

55由正弦定理sinA:sinC4:1a:c，所以a4c， 又ac10，所以c2；

b2c2a243（2）由（1）知cosA，sinA，由余弦定理可得，cosA，

2bc553b2516，得5b265b550， 525b得b115122，则SbcsinA． 52519．（12分）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：

（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；

（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150，170]的概率．

【

解

答

】

解

：

（

1

）

由

题

意

，

得

0.002200.006200.00820a200.010200.008200.002200.002201，解得a0.012； 设中位数为110x，则

0.002200.006200.008200.012x0.5，

解得x15， 所以中位数是125；

（2）由200(0.002200.006200.008200.01220)112， 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人； （3）在区间(150，170]中有2000.0082032人，

第14页（共18页）

在区间(170，190]中有2000.002208人， 在区间(190，210]中有2000.002208人，

按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]中抽取1人，(190，210]中抽取1人；

设从(150，170]中抽取职工为a、b、c、d，从(170，190]中抽取职工为E，从(190，210]中抽取职工为F，

则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情况，

它们是等可能的，其中满足两人均来自区间(150，170]的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况， 所以P62； 1552． 5所以两人均来自区间(150，170]的概率为

20．（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边CD的中点，将ADE沿AE翻折得到ASE，且平面ASE平面ABCE． （1）求三棱锥BCES的体积； （2）设线段SC上一点G满足

SG在BE上是否存在点H使GH//平面SAE？若存在，2，

GC求出EH的长度；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）过S作SOAE于O，

平面ASE平面ABCE，交线为AE，SO平面ABCE． 在RtASE中，由SE1，SA2，得SO1SBCE211，

225，

11225VBCESVSBCESBCESO1，

33155三棱锥BCES的体积为25． 15第15页（共18页）

（2）连接AC，交BE于H，连接GH， CE//AB，CE1AB， 2CHEHCE1， HAHBAB2ABH∽CEH，

又

CG1SGCGCH．GH//SA． ，2，GS2GCGSHA又GH平面SAE，SA平面SAE， 15． GH//平面SAE，此时EHBE33

21．（12分）已知函数f(x)lnxa(x1)． x2（1）若a4，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(0，1]内单调递增，求实数a的取值范围； （3）若x1、x2R，且x1„x2，求证：(lnx1lnx2)(x12x2)„3(x1x2)． 【解答】解：（1）f(x)的定义域是(0,)， 13ax2(43a)x4， f(x)x(x2)2x(x2)2x28x4， a4时，f(x)x(x2)2由f(x)0，解得：0x423或x423， 由f(x)0，解得：423x423，

故f(x)在(0,423)递增，在(423，423)递减，在(423，)递增； x2(43a)x4（2）由（1）得：f(x)，

x(x2)2若函数f(x)在区间(0，1]递增，

第16页（共18页）

0在(0，1]内恒成立， 则有x2(43a)x4…即3a„4x4恒成立， x4x4在x1时取得最小值9，故a„3； x又函数y（3）证明：当x1x2时，不等式显然成立， 当x1x2时，x1，x2R，要原不等式成立，

x11)x13(x1x2)x2只要ln„成立即可， x1x2x12x22x23(令tx1(0,1)， x23(t1)„0即可， t2故只要lnt由（2）可知函数f(x)在(0，1]递增， 故f(x)f（1）0， 故lnt3(t1)„0成立， t2故原不等式成立．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

322．（10分）如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以C1(1,)和C2(2,)为圆心，外切于

22点O的两个圆．过O作两条夹角为点．

（1）写出C1与C2的极坐标方程； （2）求OAB面积最大值．

的射线分别交C1于O、A两点，交C2于O、B两3

【解答】解：（1）C1:2sin；C2:4sin；

第17页（共18页）

（2）由（1）得A(2sin,)，B(4sin()，)，

33则SOAB12sin[4sin()]sin 23323sin(sincoscossin)

333sin23sincos

333 cos2sin22223． 3sin(2)62当sin(26)1时，OAB面积最大值为3． 2[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f(x)|x2|t，tR，g(x)|x3|． （1）xR，有f(x)…g(x)，求实数t的取值范围；

（2）若不等式f(x)„0的解集为[1，3]，正数a、b满足ab2ab2t2，求a2b的最小值．

【解答】解：（1）由xR，有f(x)…g(x)，得|x2|t…|x3|恒成立， 所以t„|x2||x3|，

由||x2||x3||„|x2x3|5， 所以5剟|x2||x3|5， 所以t„5；

（2）由不等式f(x)„0的解集为[1，3]，得|x2|„t，

x2t， 解得2t剟2t1解得t1，

2t3将t1带入ab2ab2t2，整理得ab2ab0，



211， ba21所以a2b(a2b)()…(12)29，当且仅当ab3时取等号，

ba故a2b的最小值为9．

第18页（共18页）