指数函数案例分析

教材中的地位：

本节内容是在指数范围扩充到实数的基础上引入指数函数的，而指数函数是高中研究的第一种具体函数，是在初中已经初步探讨了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数的图像和性质的基础上，在进一步学习了函数的概念及有关性质的前提下，去研究学习的。重点是指数函数的图像及性质，关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，而a>1与0设计背景：

对老教材只是教过一遍的我，在新教材的教学中，慢慢体会到新教材渗透的基本理念，知识点的形成过程经历具体—抽象—具体，即概念是由具体的实例引入，形成概念，再次运用于实际问题或具体数学问题，它的应用性，实用性更明显的体现出来。学数学重在培养学生的思维品质，这么多年的数学学习经历学生还是见到数学存有几分胆怯，尤其高中的数学对于学生来说很抽象。但是如果让学生感到离我们的生活太远，那么很难激发他们的学习兴趣，所以，在教学中，我尽力抓住知识的本质，以实际问题引入新知识。另外，对于学生来说，指数函数是学习函数概念及基本性质之后研究的第一个重要的函数，让学生学会研究一个新的具体函数的方法比学会本身的知识更重要。在这个过程中，所有的新知识都是陌生的，在大脑中没有形成基本的框架结构，需要老师的引导，使他们逐渐建立。数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，授课注重让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识，是非常重要的。“授人于鱼不如授人于渔”。

教学目标：

一． 知识与技能

1． 理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像，性质及其简单应用。 二．过程与方法

1． 由实例引入指数函数的概念，利用描点作图的方法做出指数函数的图像，并借助计算机演示验证指数函数图像，由图像研究指数函数的性质。利用性质解决实际问题。 三．情感，态度，价值观

1． 通过指数函数的图像和性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

2． 通过对指数函数的研究，使学生能把握函数研究的基本方法，激发学生的学习兴趣。

设计思路：

1

由实际问题引入指数函数的定义，并分析底数a的取值范围。通过学生自己用描点法画出不同底的指数函数的图像，描述出图像的特征，分析出指数函数的性质的整个过程，让学生体会研究函数的基本方法，基本步骤及渗透的基本思想。最后，再运用性质解决实际问题。

教学过程：

由实际问题引入：

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，„1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x之间的关系是什么？ 分裂次数 细胞个数 1 2

2

2 2×2=2

3

3 2×2×2=2 „„„„„

x 2×2ׄ„×2 =2x y=2x

问题2：某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，那么经过x年后剩留量y与x的关系是什么？

经过1年，剩留量y=1×84%=0.841经过2年，剩留量y=0.84×0.84=0.842 „„„„

经过x年，剩留量y=0.84x 寻找异同：

你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？学生可能从式子特征（共同点：变量x与y构成函数关系式，不同于以往学过的一次函数，二次函数，反比例函数，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同„）。

那么，今天我们来学习新的一个基本函数——指数函数 得到指数函数的定义：

x定义：形如ya（a>0且a1）的函数叫做指数函数。

在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y=kx+b（k0）的形式表示，反比例函数用形如y=

k(k0)表示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)表示。对其一般形式上的系数都有相应的限x制。（给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值）

问：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？

（1） 若a=0，当x>0时，a恒等于0，没有研究价值；当x0时，a无意义。

xx 2

（2） 若a<0,例如，y(4)x，当x= 时是无意义的，没有研究价值。

11,x=„, 24（3） 若a=1，则yax=1,是一个常量，也没有研究的必要。

所以有规定a>0且a1。（与定义连在一起的）

由定义，我们可以对指数函数有一初步认识。 进一步理解函数的定义： （1） 指数函数的定义域：在我们学过的指数运算中，指数可以是有理数，当指数是无理数时，

ax也是一个确定的实数，对于无理数，学过的有理指数幂的性质和运算法则都适用，

所以指数函数的定义域为R.

（2） 简单判断是否是指数函数：如y=2x+2,y=-3x+5,y=(3)x.

研究函数的途径—由函数的图像的性质，从形与数两方面认识：

学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图像及性质，然后利用其图像性质去解决数学问题和实际问题。根据以往的经验，你会从那几个角度考虑？（图像的分布范围，图像的变化趋势，„）图像的分布情况与函数的定义域，值域有关，函数的变化趋势体现函数的单调性。引导学生从定义域，值域，单调性及与坐标轴的交点情况。 首先我们做出指数函数的图像，我们研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。

我们以具体函数入手，请同学们以小组形式取不同底数的指数函数画它们的图像，每列为一组分别画以2，3，

11，，（给每位同学一张白纸）将学生画的函数图像展示，（画函数的图像的23步骤是：列表，描点，连线。）

最后，老师在电脑上演示列表，描点，连线的过程，并且，画出a取不同的值时，函数的图像。 要求学生描述出指数函数图像的特征，并试着描述出性质。 x

… -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.71 1 0.5 1.4 1 2 1.5 2.8 2 4 3 8 … … y=2x … 0.13 0.25 0.35 0.5 fx = 2x86421-5-1O1 3

图象特征 函数性质 （1）图象位于x轴的上方，x取任何实数时， 向左无限接近x轴，向上无都有ax>0，即定义域是R， 限延伸 值域是（0，+） （2）从左向右看，图象是上升的 （3）与y轴有一个交点 （4）在y轴的左侧的点，其纵坐标小于1；而在y轴的右侧的点，其纵坐标大于1。 函数是增函数 过(0,1)点，在为a0=1。 当x<0时，ax<1； 当x>0时，ax>1。 x1以同样的方式，研究函数y=

2x … x -3 8 -2 4 -1.5 -1 2.8 2 -0.5 0 1.4 1 0.5 0.71 1 0.5 1.5 0.35 2 0.25 3 0.13 … … 1y=2 … 8fx = 1x26421-1O1图象特征 函数性质 5（1）图象位于x轴的上方，x取任何实数时， 向右无限接近x轴，向上无都有ax>0，即定义域 限延伸 是R，值域是（0，+ （2）从左向右看，图象是下降的 （3）与y轴有一个交点 （4）在y轴的左侧的点，其纵坐标大于1；而在y轴的右侧的点，其纵坐标小于1。 函数是减函数 过(0,1)点，在为a0=1。 当x<0时，ax>1； 当x>0时，ax<1。 4

让底数a取不同值，图像的变化趋势，进一步对指数函数的图像加以认识，总结如下性质：

a>1 01．比较下列各题中各个值的大小： （1）1.72.5 ， 1.73 （2）0.8-0.1 ， 0.8-0.2 （3）()342.1 ，()4 ，1

53分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征，（底数相同，指数不同）联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小。

解：y=1.7x在(,)上是增函数 且 2.5<3

1.7

2.5

<1.73

基本步骤：

（1） 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性 （2） 自变量的大小关系 （3） 函数值的大小关系

5

学生完成（2）（3）

2．已知下列不等式，比较m,n的大小： （1）2m<2n

（2）0.2m>0.2n

(3) am< an (a>1) (4) am >an (0解：（1）y=2x在(,)上是增函数且2m<2n

m学生完成其它。

小结：通过这节课的学习，你们学到了什么？（知识上的，方法上的，需要我们记忆的）；知识上：指数函数的定义，性质，图像。方法上：如何去研究函数，是通过描点法作函数图像，由图像得函数的性质。需要我们记忆指数函数的图像，由图像得到函数的性质，并会利用。还有比较两个幂值大小时，利用构造函数法。

课后反思：

这节课是一节传统的课，由实例引入指数函数的概念，这一过程学生过渡比较顺利。通过分组描点作图，让学生学会用数学文字语言描述图象的特征的时候，准确性不够。后期要注意培养学生的数学表达能力，能将文字语言，符号语言，图象语言互相转换。其实在学生表达的时候，本身就是一种理解的过程。在最后的简单应用：比大小，学生也能顺利接受。

这节课的教案是经过几次修改定的，这节课是通过组内各个组员，及教研员的帮助下而上的，应该说从最先的准备都得到了很大的完善，也是通过这节课的准备，让我感到上好一节课很不容易，从其他老师那汲取的观点信息，让我觉得“一节好课不是一天，一个月的准备，可能需要一辈子。”思想深处的东西是需要点滴的积累。这节课后，从自身上有很多欠缺： 语言的精炼，基本功的扎实，深入学生的思维等等。积极的思考，不断的反思。

丰台二中 刘小华

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