解三角形完整讲义

1、正弦定理:

abc2R或变形：a:b:csinA:sinB:sinC. sinAsinBsinCa2b2c22bccosA2222、余弦定理： bac2accosB 或

c2b2a22bacosCb2c2a2cosA2bca2c2b2. cosB2acb2a2c2cosC2ab3、解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；

（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，bacosCccosA，… 8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，… 【例题】在锐角三角形ABC中，有 （ B ）

A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAC．cosA>sinB且cosBsinA

9、三角形内切圆的半径：rabc斜2S ，特别地，r直abc2

正弦定理

专题：公式的直接应用

1、已知△ABC中，a2，b3，B60，那么角A等于（ ）

C．45

D．30

A．135

B．90

2、在△ABC中，a＝23，b＝22，B＝45°，则A等于（ C ）

A．30° B．60° C．60°或120° D． 30°或150°

3、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c等于（ ）

2，b6，B120，则aA．6

B．2

C．3

D．2

4、已知△ABC中，A30，C105，b8，则a等于（ B ）

A．4 B.42 C.43 D.45 5、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于 （ B ）

A．103 B．1031

C．31 D．103

6、已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA1，b3sinB，3则a等于 ． （

3） 37、△ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于（ A ）

A .1663 B. C . D . 23228、△ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cosA（ C ）

A .

113 B . C . 324cos2Acos2B11。 2222abab D .0

9、在△ABC中，证明：

sin2Asin2Bcos2Acos2B12sin2A12sin2B11222证明：222222 ababababsin2Asin2B 由正弦定理得：22ab cos2Acos2B11 a2b2a2b2专题：两边之和

1、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，ab12，则a＝ ；b＝ .

（36126,12624）

2、已知△ABC的周长为21，且sinAsinB（1）求边AB的长；

（2）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．

2sinC．

16

专题：三角形个数

1、△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( C )

A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定

2、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于 （ B ）

A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°

3、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ）

A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100° C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45° 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ）

A．a=1,b=2 ,c=3

B．a=1,b=2 ,∠A=30° C．b=c=1, ∠B=45°

C．a=1,b=2,∠A=100°

5、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ B ）

A．无解

B．一解

C． 二解

D．不能确定

6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为（ A ）

A．4 B．2 C．1 D．不定

7、已知△ABC中，a181,b209,A121°，则此三角形解的情况是 无解

8、在△ABC中，已知b503，c150，B30，则边长a 。1003或503

专题：等比叠加

1、△ABC中，若A60，a3，则abc等于（ A ）

sinAsinBsinCA .2 B .

13 C .3 D. 22abc239 = .sinAsinBsinC32、在△ABC中，A=60°, b=1, 面积为3，则

专题：变式应用

1、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c 1:3:2

2、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，则A∶B∶C等于( A )

A．1∶2∶3

C．1：3：2

B．2∶3∶1

D．3：1：2

3、在△ABC中，周长为，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①a:b:c4:5:6 ②

a:b:c2:5:6 ③a2cm,b2.5cm,c3cm ④A:B:C4:5:6 其中

成立的个数是 ( A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

C )

4、在△ABC中，已知边c10,

cosAb4，求边a、b 的长。 cosBa3cosAbsinBbcosAsinB，sinA ,可得 解：由， cosBacosBsinAa变形为sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B,

又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=

. ∴△ABC为直角三角形. 2由a2+b2=102和

b4，解得a=6, b=8。 a35、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，若

3bccosAacosC，则

cosA_________________。

6、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA． （1）求B的大小；

（2）求cosAsinC的取值范围．

专题：求取值范围

1、△ABC中，已知ax,b2,B 60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围( C)

A．x2

B．x2

C．2x43 3D． 2x43 32、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ B ）

A．1x5 B．5x13 C．0x5 D．13x5

3、在锐角ABC中，BC1,B2A,则为 . 2(2,3)

AC

的值等于 ，AC的取值范围cosA

答案 ：设A,B2.由正弦定理得

ACBCACAC,12.

sin2sin2coscos由锐角ABC得0290045，

又01803903060，故304523，所以 cos22余弦定理

专题：公式应用

1、在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于（ C ）

A． 30° B．45° C．60° D．120°

2、在三角形ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC的大小为（ ）

A．

2 3 B．

5 6 C．

3 4 D．

 33、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B )

A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°

4、在△ABC中，a33,c2,B150°，则b＝ 7

5、在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（ C ）

A. 900 B. 600 C. 1200 D. 1500

6、在△ABC中，三边长分别为a3,b5,c6,则bccosAcacosBabcosC的值为（ D ）

A．38 B．37 C．36 D．35

7、在△ABC中，已知a2b2c2bc，则角A为（C ）

 3A．

B．

6C．

2 3

2D． 或

338、在钝角△ABC中，已知a1，b2，则最大边c的取值范围是 。5c3

9、设a、b、c是ABC的三边长，对任意实数x，f(x)bx(bca)xc有（ B ）

222222A.f(x)0 B.f(x)0 C.f(x)0 D.f(x)0

9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x60的根，则三角形的另一边长为（ B ）

A．52

B．213 C．16

D．4

10、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD7，那么BC= 9 211、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （ D ）

A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60° (sinA-sinC)²-4

（

sinB-sinA)(sinC-sinB)

=sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB) =(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)²

专题：判断三角形 1、若tanAtanB1，则△ABC（ A ）

B. 可能是钝角三角形 D. 可能是直角三角形

A. 一定是锐角三角形 C. 一定是等腰三角形

2、 在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状是（ C ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

3、△ABC中，B60，b2ac，则△ABC一定是 （ D ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定

5、△ABC中，

abc，则△ABC一定是 （ D ） cosAcosBcosCA. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

6、在△ABC中，若

cosAcosBsinC，则△ABC是（ B ） abcB．等腰直角三角形 D．等边三角形

A．有一内角为30°的直角三角形 C．有一内角为30°的等腰三角形

7、 若△ABC的内角A则（ ） 、B、C的对边分别为a、b、c，且acosAbcosB，A．△ABC为等腰三角形

B．△ABC为直角三角形

D．△ABC为等腰三角形或直角三角形

C．△ABC为等腰直角三角形

8、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列条件判断三角形形状：

(1).(abc)(bca)3bc，且sinA2sinBcosC，则△ABC是_______；(2).(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则△ABC是_______.9、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

10、在△ABC中，已知2sinAcosBsinC,那么△ABC一定是 (

B ) （ B ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 11、在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（D ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 12在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a2bcosC，则此三角形一定是（ C ）

A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

tanAa213、在△ABC中，若2，则△ABC的形状是（ B ）

tanBbA. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ B ）

A．8,10

B．

8,10

C．

8,10

D．

10,8

15、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=

7, 则ΔABC是______三角形. 钝角 1216、在△ABC中，已知2abc，sin2AsinBsinC，试判断△ABC的形状。

解：由正弦定理

abcabc2R得：sinA，sinB，sinC。 sinAsinBsinC2R2R2R所以由sin2AsinBsinC可得：(a2bc)，即：a2bc。 2R2R2R222又已知2abc，所以4a(bc)，所以4bc(bc)，即(bc)0， 因而bc。故由2abc得：2abb2b，ab。所以abc，△ABC 为等边三角形。

217、已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m(4,1),

n(cos2A7,cos2A)，且mn . 22（1）求角A的大小；

（2）若a3，试求当bc取得最大值时ABC的形状.

29.解：（1）由m(4,1),n(cosA,cos2A) 2 mn4cos2A1cosAcos2A 4(2cos2A1) 22 2cos2A2cosA3

又因为mn77,所以-2cos2A2cosA3 22 解得cosA1分 0A,A 233，

（Ⅱ）在ABC中，a2b2c22bccosA,且a (3)bc2bc222122b2c2bc． bc2bc,32bcbc， 2即bc3,当且仅当bc3时，bc取得最大值,

又由（Ⅰ）知A3,BC3,所以，ABC为正三角形

18、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：

①B=60°,b2=ac； ①由余弦定理

a2c2b2a2c2b21cos60a2c2acac (ac)20，

2ac2ac2ac. 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. b2sinA ②b2tanA=a2tanB；②由btanAatanB

cosA22a2sinBsinBcosAb2sin2BsinAcosAsinBcosB,sin2Asin2B,cosBsinAcosBa2sin2A∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△.

③sinC=

sinAsinBsinAsinB③sinC，由正弦定理：c(cosAcosB)ab,再

cosAcosBcosAcosBa2b2c2a2c2b2由余弦定理：ccab

2bc2ac(ab)(c2a2b2)0,c2a2b2,ABC为Rt.

sin(AB)a2b2④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).④由条件变形为

sin(AB)a2b2sin(AB)sin(AB)a2sinAcosBsin2A,sin2Asin2B,AB或AB90. sin(AB)sin(AB)b2cosAsinBsin2B∴△ABC是等腰△或Rt△. 专题：

1、在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC等于 。1 412、在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4，则cosA___________

83、在△ABC中，bc:ca:ab4:5:6，则△ABC的最大内角的度数是 120

4、在△ABC中，ab10，cosC是方程2x23x20的一个根，求△ABC周长的最小值。

解：2x23x20 x12,x21 又cosC是方程2x23x20的一个2根 cosC112222 由余弦定理可得：cab2ab•abab 222则：c2100a10aa575 当a5时，c最小且c7553 此时

abc1053 △ABC周长的最小值为1053

A25，ABAC3． 255、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos（I）求ABC的面积； （II）若bc6，求a的值．

解 （1）因为cos34A252A1,sinA，又由ABAC3 ，cosA2cos255251bcsinA2 2得bccosA3,bc5，SABC（2）对于bc5，又bc6，b5,c1或b1,c5，由余弦定理得

a2b2c22bccosA20，a25

专题：已知面积

1、已知△ABC的面积为

3，且b2,c3，则∠A等于 （ D ） 2

D．60°或120°

7，且C2A．30° B．30°或150° C．60°

C所对的边分别是a、b、c，2、在△ABC中，已知角A、B、边c又△ABC60，

的面积为1133，则ab____________ 223、已知△ABC中，ABa，ACb，ab0，SABC15，a3,b5，则（ ） 4A. 30 B ．150 C．1500 D． 30或1500

4、若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（ C ）

A． 5 B．6 C．7 D．8

5、在ΔABC中，若SΔABC=

1 (a2+b2－c2),那么角∠C=______. 446、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x223x20的两个根，且2cosAB1。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。

解：（1）cosCcosABcosAB1 C＝120° 2 （2）由题设：

ab2ab23

AB2AC2BC22AC•BCcosCa2b22abcos120

a2b2ababab23210

22 AB10

7、在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c22b，且

sinAcosC3cosAsinC, 求b

解法一：在ABC中

sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2b2c2b2c2a2有:a3c,化简并整理得：2(a2c2)b2.又由已知

2ab2bc. a2c22b4bb2.解得b4或b0(舍）解法二:由余弦定理得: a2c2b22bccosA.又a2c22b,b0. 所以b2ccosA2

①

又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinC

sin(AC)4cosAsinC，即sinB4cosAsinC

bsinC，故b4ccosA c由正弦定理得sinB ②

由①，②解得b4.

专题：求三角形面积

1、在△ABC中，AB3,AC1,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ B ）

3 43或3 233 或 42A．

3 2 B． C．D．

2、已知△ABC的三边长a3,b5,c6，则△ABC的面积为 （ B ）

A． 14 B．214

C．15 D．215

A

3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。403 20米

1500 30米

C

B

4、在△ABC中，asin10°，bsin50°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为（ C ）

A．

1 64 B．

1 32 C．

1 16 D．

185、 △ABC中，b8，c83，SABC163，则A等于 （ C ）

A 30 B 60 C 30或150 D 60或120

6、在ABC中，sin(CA)1, sinB=的面积.

1.（I）求sinA的值； (II)设AC=6，求ABC37、A、B、C为ABC的三内角，对边分别为a、b、c，若cosBcosCsinBsinC1． 2 （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a23,bc4，求ABC的面积．

解：（Ⅰ）cosBcosCsinBsinC11 cos(BC) 22又0BC，BC2 ABC，A 3322（Ⅱ）由余弦定理a2b2c22bccosA得 (23)(bc)2bc2bccos2 3即：12162bc2bc()，bc4 ∴SABC12113bcsinA43 2228、在锐角三角形中，边a、b是方程x2－23 x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

3

解：由2sin(A+B)－3 =0，得sin(A+B)=2 , ∵△ABC为锐角三角形

∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－23 x+2=0的两根，∴a+b=23 ,

∴c=6 , SABC1331absinC=2 ×2×2 =2 。 2 a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,

∴c=6 , SABC1331absinC=2 ×2×2 =2 。 29、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中c2，又向量m(1,cosC)，n(cosC,1)，m·n=1． （1）若A45，求a的值；

（2）若ab4，求△ABC的面积． 解：（1）∵mn cosCcosC2cosC1

∴cosC1 0C180 ∴C60 2a22226， ∴a，

3sin45sin603由正弦定理得，

（2）∵c2，C60， a2b22abcos604，∴a2b2ab4， 又∵ab4，∴a2b22ab16，∴ab4， ∴SABC54,sinB. 1351absinC3． 210、在ABC中，cosA（Ⅰ）求cosC的值； （Ⅱ）设BC15，求ABC的面积．

54123,sinB，得sinA,cosB．----2分 13513510.解：（Ⅰ）由cosA∵ABC，∴cosCcos[(AB)]cos(AB)-----4分

(cosAcosBsinAsinB)63．-----6分 65（Ⅱ）由cosC6313，得sinC，------8分 6565由正弦定理得ACBCsinB13．-----10分

sinA所以ABC的面积S1116BCACsinC151324．----12分

2652A25，ABAC3． 2511、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos（I）求ABC的面积； （II）若c1，求a的值．

解（Ⅰ）cosA2cos2A252312()1 2552又A(0,)，sinA1cosA43，而AB.ACAB.AC.cosAbc3，所55以bc5，所以ABC的面积为：

114bcsinA52 225（Ⅱ）由（Ⅰ）知bc5，而c1，所以b5 所以ab2c22bccosA

定理应用

1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）

2512325

A.

4004003米 B. 米 C. 2003米 D. 200米 332 、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C

岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( C )

海里 海里 C. 56 海里 3 海里

3、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知

这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ D ） A． 450a元 B．225a元 C．

150a元 D． 300a元

4、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ A ）

A．

150分钟 7B．

15分钟 7C．分钟 D．分钟

5、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ A ）

A． 5000米

B．50002 米 C．4000米 D．40002 米

6、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于 （ A ）

A

asinsinasinsinA． B．

sin()cos()



C．

asincosacossin D．

sin()cos()

D C

7、在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球（如图所示）

解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，ABvt。 4在△AOB中，由正弦定理，得

OBAB，

sinOABsin15∴sinOABOBvt62sin1562 ABvt/44而(62)2843841.741，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.