类型一 空间几何体与三视图
1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半．
[例1] (xx年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )
[解析] 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线． [答案] B
跟踪训练
如图所示，三棱锥PABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱PA⊥平面ABC，且PA＝5，则该三棱锥的正视图是( )
解析：三棱锥的正视图．
即是光线从三棱锥模型的前面向后面投影所得到投影图形．结合题设条件给出的数据进行分析．可知D正确． 答案：D
类型二 空间几何体的表面积与体积
1．柱体的体积公式：V＝Sh.
1
2．锥体的体积公式：V＝Sh.
3
1
3．台体的体积公式：V＝(S′＋SS′＋S)h.
3
423
4．球的表面积与体积公式：S＝4πR与V＝πR(R为球的半径)．
3
[例2] (xx年高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )
A．28＋65 C．56＋125
B．30＋65
D．60＋125
[解析] 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积． 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示， 其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，
BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.
又CD⊥BD，CD⊥AE，则CD⊥平面ABD， 故CD⊥AD，所以AC＝41且S△ACD＝10.
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝25.
在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝41. 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.
在△ABC中，AB＝25，BC＝AC＝41，则AB边上的高h＝6， 故S＝1
△ABC2
×25×6＝65.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋65. [答案] B
跟踪训练
(xx年北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )
A．8
8
B. C．4 3
4D. 3
解析：将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为21114
的四棱锥，其体积V＝S正方形ABCD×PA＝××2×2×2＝，故选D.
3323
答案：D
类型三 球与空间几何体的切、接问题
1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径．
3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
[例3] (xx年高考课标全国卷)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.2
6
B.32 C. 63
D.
2
2
[解析] 利用三棱锥的体积变换求解．
由于三棱锥S ABC与三棱锥O ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S ABC的高是三棱锥O ABC高的2倍，
所以三棱锥S ABC的体积也是三棱锥O ABC体积的2倍
在三棱锥O ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝
332
×AB＝， 44
1－（
2
高OD＝
326
）＝， 33
∴VSABC＝2VOABC
1362＝2×××＝. 3436[答案] A
跟踪训练
1．(xx年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π C．30π
解析：利用三视图还原几何体，结合直观图求解．
D．24π
由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.
V＝V半球＋V圆锥＝·π·33＋·π·32·4＝30π.
答案：C
2．(xx年大同模拟)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．
4πR解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则依题意有＝43π，解得R＝3.因为3a＝2R＝
323，所以a＝2，故该正方体的表面积为6a＝24. 答案：24
2
3
142313
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】 (xx年高考安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
【解析】 将三视图还原为直观图求解．
由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)． 在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5. 1
所以其表面积为：2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
2
【答案】 92
【名师点睛】 本题考查空间几何体三视图的理解与应用．考查几何体表面积的计算．难度中等．本题解题关键是还原几何体后，确定相关量与数据准确对应． 考情展望
空间几何体的考查多以选择、填空题形式出现．主要涉及空间几何体的三视图，以及空间几何体的表面积与体积的计算．难度中档偏下．着重考查学生空间想象能力． 名师押题
【押题】 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
739373
A.m B.m C.m 322
93
D.m
4
【解析】 结合三视图可知，该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个高为1、底面是直角，边长
173
为1的等腰直角三角形的直三棱柱组成的，所以该几何体的体积V＝3×1×1×1＋×1×1×1＝m.
22【答案】 C
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