论文-关于“人船模型”中人船位移求解的再讨论

“人船模型”是高中物理一个很重要的模型，不少实际问题可以还原成“人船模型”去灵活处理。笔者就“人船模型”中人船位移的求解作一些初浅的讨论。 [问题]一只长为L，质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人静立在船头，若不计水对船的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少？

[分析]选人和船组成的系统为研究对象。 由于人从船头走到船尾的过程中，系统在 水平方向不受外力作用，所以水平方向动 量守恒。人起步前系统的总动量为零，当 人起步加速前进时，船同时向后加速运动； 当人匀速前进时，船同时向后匀速运动； 当人停下来时，船也停下来。设某一时刻

人对地的速度为v，船对地的速度为vf，人相对船的速度为vr。选人前进的方向为正方向，根据动量守恒定律有：mv－Mvf=0即在船上行走过程的任一瞬时都成立。 [解法一] 用动量守恒定律和微元法求解。

取人在船上行走时任一极短时间ti，在此时间内人和船都可视为匀速运动，此时间内人和船对地的位移分别为Smi=viti和SMi=vfiti，由此有

vM=……①，此结果对于人vfmSmiviM==，这样人从船头走到船尾时，人而后船对地的位移分别为SMivfims人=Smi，s船=SMi，由此有

联立可得船的位移s船=

s人M=……②，又s人+s船=L……③由②③s船mmLML，人的位移s人=。

MmMm[点评]②式是“人船模型”的位移与质量的关系式，此式的适用条件是：一个原来处于静止状态的系统，在系统发生相对运动的过程中，有一个方向动量守恒（如水平方向或竖直方向）。使用这一关系式应注意：s人和s船是相对同一参考系的位移。 [解法二]运用平均动量守恒来处理。

对人和船组成的系统，选船的运动方向为正方向，由平均动量守恒得， 0=Mvf－mv即0=M的位移s人=

s船smL－m人又有s人+s船=L，所以船的位移s船=，人ttMmML。

Mm[解法三]用动量守恒定律和积分法求解。

根据动量守恒定律有：mv－Mvf=0，即m(vr－vf)－Mvf=0 （M+m）vf=mvr对此式两边积分：又

(Mm)vdt=mvdt

0f0rttt0vrdt=L，所以船的位移s船=vfdt=

0tmL

Mm人的位移s人=

t0vdt=MML vfdt=

0mMmt[解法四]用质心坐标法求解。

对两个质点 m1和m2,选定ox轴与两质点连线重合，其坐标相应为x1和x2,则它们的质心C的坐标为Xc=

m1x1m2x2。本题中水平方向外力为零，质心运动状

m1m2态不变。原来质心静止，质心的坐标保持不变，再把ox 轴的原点取在过质心的铅垂线上，则有Xc=0即m x2+M x1=0……①，

人从船头走到船尾时m x2/+M x1/=0……②

②－①式得m(x2/－x2)+M（x1/－x1）=0即m△x2 + M△x1=0……③ 由图可知，△x1=－s , △x2=L－s……④ 由③④联立可得，船的位移s=

mLML，人的位移s人=。

MmMm