2021年中考数学压轴题讲次07 平行四边形的存在性问题(学生版)

在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形．

模块一：已知三点的平行四边形问题 知识精讲

1、 知识内容：

已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图ABC．第四个点M则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）．

2、 解题思路：

（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点； （3） 更换顶点，求出所有可能的点；

（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．

例题解析

例1.如图，抛物线yx2bxc经过直线yx3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与

x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使SAPC:SACD5:4的点P的坐标；

（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．

例2.如图，已知抛物线yax23axc与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点

B的左侧），点B的坐标为(1， 0)，tan∠OBC = 3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平

行四边形，若存在，写出点P的坐标；

（3）抛物线的对称轴与AC交于点Q，说明以Q为圆心，以OQ为半径的圆与直线BC的关系．

例3.如图，在平面直角坐标系中，直线y = kx + b分别与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，P经过点A，点B（圆心P在x轴负半轴上），已知AB = 10，AP =

25． 4（1）求点P到直线AB的距离； （2）求直线y = kx + b的解析式；

（3）在P上是否存在点Q，使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点

Q的坐标；若不存在，请说明理由．

模块二：存在动边的平行四边形问题

知识精讲

1、 知识内容：

在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等列出方程，进而解出相关数值．更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示后才可列出方程进行求解． 2、 解题思路：

（1） 找到或设出一定平行的两条边（一组对边）； （2） 分别求出这组对边的值或函数表达式； （3） 列出方程并求解； （4） 返回题面，验证求得结果．

例题解析

例4.（2020宝山二模）如图6，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2ax3aa02与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l:ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC.

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示） （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为

5，求a的值； 4（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标.

例5.（2020崇明二模）已知抛物线yaxbx4经过点A(1,0),B(4,0)，与y轴交于

2点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC、BC、CD、BD． （1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴； （2）当SBCD4SAOC时，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上一点，点F是抛物线上一点，当以点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标．

5例6.如图，抛物线yx2bxc与y轴交于点A(0，1)，过点A的直线与抛物线交于另

45一点B(3，)，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．

2（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．

①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度； ②联结CM、BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

例7.如图，已知抛物线yx2bxc经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

例8.如图，在RtABC中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，动点P从点A开始沿边AC向点

C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度

的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB =_______，PD =_______；

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

1.已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数y比例函数y3x3的图像与y轴交于点A，点M在正432x的图像上，且MO = MA．二次函数yxbxc的图像经过点A、M． 2（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数y3x3的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标． 4

2.在平面直角坐标系xOy中，经过点A（1，0）的抛物线yx2bx3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称. （1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；

（2）如果点E是抛物线上的一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作EG⊥AD于点G，设E的横坐标为m，EFG的周长为l，试用m表示l； （3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、

Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2mx4m与x轴、y轴分别交于点A、B，点3C在线段AB上，且SAOB2SAOC．

（1）求点C的坐标（用含有m的代数式表示）；

（2）将AOC沿x轴翻折，当点C的对应点C′恰好落在抛物线y求该抛物线的表达式；

322xmxm上时，183（3）设点M为（2）中所求抛物线上一点，当以A、O、C、M为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

4.如图，直线ymx4与反比例函数y

k

（k0）的图像交于点A、B，与x轴、y轴分x

别交于D、C，tanCDO2，AC:CD1:2． （1）求反比例函数解析式； （2）联结BO，求DBO的正切值；

（3）点M在直线x1上，点N在反比例函数图像上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．