第十一章 曲线积分与曲面积分

第十一章 曲线积分和曲面积分

【本章重要知识点】

1. 理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念，掌握它们的性质。 2. 理解两类曲线积分之间的关系和两类曲面积分之间的关系。 3. 熟悉掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法。

4. 掌握格林公式和高斯公式，并会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

5. 会用曲线积分与曲面积分求一些几何量和物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重量、转动惯量、引力、功等）。

第一节 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

一. 主要内容 1. 对弧长的曲线积分

fx,yds的计算要掌握以下要点；

L（1）变量x,y以曲线L的方程代入；ds用弧微分公式代入，即统一积分变量，化为定积分；

（2）变化后的定积分，其积分区间取积分变量的最大变化范围，但下限必须小于上限。 2. 计算方法（化为定积分） (1) 参数式

xxtL: t

yytLfx,ydsfxt,ytx'2ty'2tdt

(2)直角坐标 L:yy(x),(axb),

2 fx,ydsfx,yx1y'xdx

Lab L:xx(y),(cyd),

(3)极坐标

Lfx,ydsfx,yx1x'2ydy

cdL:(),(12),

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Lfx,yds21fcos,sin2()2d

xx(t):yy(t) t (4) 空间曲线

zz(t)f(x,y,z)dsf(x(t),y(t),z(t))[x'(t)]2[y'(t)]2['(t)]2dt

注 (1)第一类曲线积分的性质与定积分的性质相类似，也有相应的性质： 若在L上f(x,y)g(x,y)，则Lf(x,y)dsg(x,y)ds

L中值定理：f(x,y)C(L),(,)L，使特别是 dsl，其中l是L的长度.

LLf(x,y)dsf(,)l

(2) 计算第一类曲线积分的关键是把弧长元素ds根据积分曲线方程的类型写出相应的表达式，并将积分曲线方程代人被积函数中化为定积分计算(定积分的上限必须大于下限)。 (3) 对称性:若LL1L2, 且L1与L2关于x轴(或y轴)对称，f(x,y)是关于y(或x)的偶函数(或奇函数), 则3. 几何意义

Lf(x,y)ds2L1f(x,y)ds(0)

Lf(x,y)ds是以xOy平面上曲线L为准线, 母线平行于z轴, 高为zf(x,y)0时柱面

的面积 . 4. 实际应用

（1） 可微曲线L的弧长为ds。

L（2） 设可微曲线L的密度为(x,y)，则曲线L的总质量M(x,y)ds,曲线L的重

L心坐标x1MLx(x,y)ds,y1MLy(x,y)ds。

（3） 设可微曲线L的密度为(x,y)，则曲线L对x轴、y轴、坐标原点的转动惯量分别为 IxLy2(x,y)ds,IyLx2(x,y)ds,I0L(x2y2)(x,y)ds.

二 典型例题

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例1 设圆圈L:x2y2a2,D是L围成的区域，试问以下两式有无错误？

(1)L(x2y2)dsa2dsa2ds2a3

LL(2)(x2y2)da2da2a4

DD答 (1)正确的。因为L(x2y2)ds是L上的第一类曲线积分, 在L上x2y2a2, 被 积

函数定义在L上, 故被积函数x2y2可以用a2代入计算。

(2)是错误的。因为(x2y2)d是区域D上的二重积分, 在D内, x2y2a2，即在

DD上, x2y2a2,故被积函数x2y2不能用a2代替。

例2 求曲线积分L(x2y2)ds, 其中L是以 O(0,0),A(1,0),B(1,1)为顶点的三角形的边界。

解 闭曲线L由直线段OA,AB,BO组成，它们的方程分别为

y0(0x1),x1(0y1),yx(0x1)，它们的弧积分ds分别为dx,dy,2dx,从而

L(x2y2)dsOA(x2y2)dsOB(x2y2)ds22(xy)ds BOx2dx(1y2)dy2x22dx000111522 3例3 计算L(xy)ds，其中L是双纽线r2a2cos2的右面一瓣。 解 racos2,dsr2r'2dacos2d,xrcos,yrsin,则

L(xy)ds4acos2cosacos2sin4acos2d2a2.

例4 计算L(x2y2)ds，其中L为圆周x2y2ax(a0). 解法1 采用极坐标，L:cos(2222),ds'22dad,

2 L(xy)ds2acosad2a220cosd2a2

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解法2 直角坐标，L:yaxx2,ds1y'2dxadx2axxa02(0xa),

由对称性，L(x2y2)ds2a0axa2axx2dxaadxax2a2.

解法3 利用参数方程，设xrcos,yrsin,则r2arcos,即acos,所以

xacos2,yasincosasindsx'2()y'2()dad，由对称性可知： 20L(xy)ds22rad2a2acosd2a2

022aaxcost,22(0t2),从而 解法4 由参数方程L:aysint,2a2axy(1cost),dsdt,

2222由对称性，L(xy)ds2220a2aa2t2(1cost)dt2cosdt2a. 02222（显然此题最简便的方法是解法1）

x2y2则(2xy3x24y2)dsa，例5 设L是椭圆1， 其周长应为4322.

x2y2解 因为3x4y12()12,而L又是关于x轴（或y轴）对称，2xy是关于x（或

43y）的奇函数，故

原式=L(2xy12)dsL2xyds12Lds012a12a. 例6 均匀曲线段，xsint,ycost,zt(0t转动惯量。

解 IzL(x2y2)ds,dsx'2(t)y'2(t)z'2(t)dt2dt，

2)的线密度为，求此曲线关于z轴的

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Iz202dt2. 22x2y2z2a2例7 计算曲线积分xds，是空间圆周

xyz0.解 因曲线的方程具有对称性，所以有x2dsy2dsz2ds，故

2xds1121223222(xyz)dsadsa2aa. 3333注意：上例的对称性的解法较简单，但不易想到。

第二节 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

一、 主要内容

1. 对坐标的曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy的两种计算方法

(l) 可采用统一变量,化为定积分的形式。但由于对坐标的曲线积分是和所沿曲线的方向有关，因此,在确定定积分的上、下限时,将起点作为定积分的下限,终点作为定积分的上限,此时,下限不一定小于上限了，这是与第一类曲线积分的显着区别。具体计算为：

x(t),1L:○L的起点对应t，终点对应t，且P(x,y),Q(x,y)在L上连续，

y(t),则LP(x,y)dxQ(x,y)dyP(t),(t)'(t)Q(t),(t)'(t)dt(不一定小于)

2L:yy(x)，L的起点对应A(x1,y1),终点对应B(x2,y2),P(x,y),Q(x,y)在L上连○

续，则LP(x,y)dxQ(x,y)dyx2x1P(x,y(x))Q(x,y(x))y(x)dx。

'3L:xx(y)，○L的起点对应A(x1,y1),终点对应B(x2,y2),P(x,y),Q(x,y)在L上连续，则LP(x,y)dxQ(x,y)dyy2y1P(x(y),y)x(y)Q(x(y),y)dy.。

'注 ①第二类曲线积分的向量形式LF(x,y)dr表示其物理背景,变力沿曲线所作的功更为明显;但在数学教材中更多采用其数量形式：LP(x,y)dxQ(x,y)dy，对这两种形式都要了解,会相互转换。

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②前面在计算黎曼积分时能利用对称性来简化运算,但在第二类曲线积分中由于涉及积分域的定向问题,因此不能直接用对称性,一般地,应在化为定积分后再考虑对称性来简化这积分的计算。 ③当L是直线AB, 若有

ABx轴时，则ABP(x,y)dx0; Q(x,y)dy0;

ABy轴时，则(2) 可采用格林公式

AB格林公式：设闭区域D由分段光滑的闭曲线L围成，Px,y，Qx,y在D上具有一阶连续偏导数，则(DQP)dxdyLPdxQdy,其中L是D的取正向的边界曲线。 xy格林公式揭示了平面区域上的重积分和沿该区域边界的第二类型曲线积分之间的关系。因此，它可以看作牛顿――莱布尼兹公式在二维空间的推广。

使用格林公式时，应注意以下两点：

1L应是闭曲线，否则要设法补成闭曲线，再应用格林公式，然后减去所补曲线段○

上的曲线积分。

2Q,P应在D上连续，否则要再间断点处用“挖洞”的方法加以处理。 ○

xy2 两类曲线积分的关系

LP(x,y)dxQ(x,y)dyLP(x,y)cosQ(x,y)cosds。

其中：cos的方向一致。

dxdy,cos是有向曲弧线L的切线方向的方向余弦，切线向量与Ldsds3 曲线积分与路径无关的条件

设P(x,y),Q(x,y)在单连通平面区域D上有一阶连续偏导数，则下面四个命题是等价的：

（1）LP(x,y)dxQ(x,y)dy与路径L无关，其中L为D内任意一条闭曲线；

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（2）

QP,(x,y)D； xy（3）LP(x,y)dxQ(x,y)dy0,L为D内任意闭曲线；

（4）在D内存在单值函数u(x,y),使得du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy，故有

u(x,y)(x,y)(x0,y0)yP(x,y)dxQ(x,y)dyxx0xx0P(x,y0)dxyy0Q(x,y)dy

y0Q(x0,y)dyP(x,y)dx即u(x,y)作为P(x,y)dxQ(x,y)dy的原函数。

1判定在单连通域D内曲线积分与路径无关的充要条件中，最易验证的是：注 ○

QP,(x,y)D；若验证出曲线积分与路径无关，可通过改变积分路径来简化曲线积分xy的计算,这是一种很有用的技巧。

2当QP时，P(x,y)dxQ(x,y)dy0为全微分方程，其通解为u(x,y)C. ○

xy4 实际应用

（1）可用于计算闭曲线L围成的面积：A12Lxdyydx.

（2） 质点受力F(x,y)P(x,y)iQ(x,y)j作用，沿平面曲线L从A移动到B所做的功为：

WLP(x,y)dxQ(x,y)dy

注意：推广到空间曲线L,设FP(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k,则

WLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz.

二．典型例题 例1 计算I=(xy)dx(xy)dy222L，其中是圆周的正向。 xya22Lxyxacost解 用参数方程表示圆周，即L：(ot2),

yasintdxasintdt,dyacostdt

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2a(costsint)(asint)a(costsint)acostdt(1)dt2

oa2cos2ta2sin2tI=20例2 求曲线积分(x2y2)dx(x2y)dy，其中L是曲线yx上从点(1,1)到点(2,2)L的一段。

解 考虑A(1,1)，O(0,0)，B(2,2)，题中曲线L即折线段AOB，而直线AO的方程为

yx(1x0),直线OB的方程为yx(1x2)。

原式=(x2y2)dx(x2y)dy(x2y2)dx(x2y)dy

AOOB =2xdx(xx)(dx)2x2dx(x2x)dx

1002220 =(xx)dx(3x2x)dx102241 6例3 计算I(yz)dx(zx)dy(xy)dz，其中为椭圆x2y21,xz1，若从

x轴的正向看去，的方向是顺时针方向。

解 为空间曲线，其参数方程为：xcost,ysint,z1cost,由的方向知t由2变到0，于是I[sint1cost)(sint)(1costcost)cost(costsint)sint]dt

20 =(2sintcost)dt4

20xa(tsint)ydxxdy例4 计算I，式中L是曲线(a0)上以t0到t2的

Lx2y2ya(1cost)一段。 解 P(x,y)yx ,Q(x,y)x2y2x2y2QPy2x2当x所考虑区域不含原点时，由知，此曲线积分在该区域内与路径xyx2y2无关，因为L是A(a,0)为起点以B(a,0)为终点的摆线，直接把L代入曲线积分化为定积分计算非常复杂，故改变积分路径L为过A(a,0)，B(a,0)的上半弧AB：

x2y2(a)2其参数方程为：

xacost l:（t从到0）

yasint第十章 曲线积分与曲面积分第 8 页 共 37 页

0asint(asint)0ydxxdy(acost)2I22[]dtdt

Lxy2xy2(a)2(a)2注 对积分与路径无关的曲线积分，一般用折线代替原积分曲线，但是由于本题的被积函数的分母含有x2y2，用圆弧代替使x2y2为常数计算起来更为简单。 例5 计算I(exsinyy)dx(excosy1)dy,AB是由A(0,a)到B(a， 0)的直线段。AB解法1 直接法：AB的方程：yax,x由0变化到a，所以 (exsinyy)dx(excosy1)dy

AB1 (exsin(ax)(ax))(excos(ax)1)(1)dxaa2sina

02a解法2 利用Green公式，补上直线段BO,OA，

于是ABABBOOABOOAABOABOOA

1其中ABOAexcosyexcosy1dxdya2.

2DBO:y0,dy0,BO0.

aOA:x0,dx0,OA(cosy1)dysinaa

01所以ABABOABOOAa2asina

2注 ①在计算第二类曲线积分时，即使非封闭路经的曲线，要设法补上某些曲线，

使其能应用Green公式的闭路经，然后再减去补上这些线段上的线积分，当然补上的曲线段上的线积分本身应易于计算，且使补上后的闭区域上的二重积分也要易于计算。 ②应用Green公式时，还应注意D和L是正向联系的，若是反向联系的，应先改成正向联系加负号，然后再用Green公式。 例6 证明积分Lxxxx2x(sincos)dx2cosdy，当L不经过y0时，积分与路径无关，

yyyyy若曲线L的起点和终点分别为A(,1)及B(,2)，试计算积分的值。

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xxxx2x证明 P(sincos),Q2cosyyyyy

Px2xxxQ3sin22cos(y0). yyyyyx所以积分与路径无关

AB2xxxx2x2(sincos)dx2cosdy(sincos)dx2cosdy例

1yyyyyyyyyy7 设平面力场F2xy22xy,2yx，试求质点沿任一平面封闭曲线L的正向运动一周时，22xyx2a2力场所做的功W，若L为椭圆

解 WLFdsy2b21时，计算W之值。

2xy2yxdxdy.

x2y2x2y22xy2yxPy2x24xyQ记P2,Q2,,(x,y)(0,0)

xy2xy2y(x2y2)2x（1）若闭曲线L不包含原点O(0,0)，则由格林公式有W(DQP)dxdy0. xy（2）若闭曲线L包含原点O(0,0)，则沿L所做的功等于沿任何一条包含O(0,0)点在内的简单闭曲线l所做的功，故取l:xWcost,ysint,(0t2).

222xy2yxdxdy(2costsint)dt(2sintcost)costdtdt2 222200xyxyx2y21因此质点沿椭圆2运动一周时，力场F所做的功为2. 2ab例8

(x2y)dxydy是否为某个函数u(x,y)的全微分？若是求u(x,y)。

(xy)2解 Px2yyP2yQ,Q, 223yx(xy)(xy)(xy)QP，连续且相等，此时它是某个函数u(x,y)的全微分。 xy第十章 曲线积分与曲面积分第 10 页 共 37 页

当xy0时，

解法1 当xy0时

(x,y)PQ(x2y)dxydy=，所以积分u(x,y)=与路径无关， 2xy(xy)xdxy(x2y)dxydyyu(x,y)1x0(xy)2dy(1,0)(xy)2

xyxx[lnx][lnxy]lnxy1xy0xy为一个原函数，或 u(x,y)=lnxyxc xy 解法2 duuu(x2y)dxydydxdy xx(xy)2u(x,y)x2y(xy)yydxdxlnxy(y). 22(xy)(xy)xy从而

u1xy(y)(y) 22yxy(xy)(xy)yu,Q 2(xy)y而Q故'(y)0,(y)c 所以u(x,y)lnxyyc（c为任意常数）。 xy例9 在变力Fyzizxjxyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

x2y2z21F上第一卦限的点，问当取何值时力所做的功最大？(x,y,z)x,y,z111111222abc并求出W的最大值

解 直线段OM：xx1t,yy1t,zz1t,(0t1) WOMyzdxzxdyxydz3x1y1z1t2dtx1y1z1

02221xyz下面求W=x1y1z1在条件1212121 (x10,y10,z10,)下的最大值

abcxyz令F(x1,y1,z1)x1y1z1(1121212).

abc第十章 曲线积分与曲面积分第 11 页 共 37 页

222

由

FFF0,0,0, 得 x1y1z1a3,y1a3,z1a3 x1

由问题的实际意义知：Wmax3abc 9L例10 证明PdxQdyRdzp2Q2R2ds，并由此估计zdxxdyydz，其

L中L为球面x2y2z2a2与平面xyzo交线的正向。

证 记F(P,Q,R),er是定向曲线L的单位切向量，则 PdxQdyRdz=LL(Fer)ds

LL于是

PdxQdyRdz=LL(Fer)dsFerdsFds

=p2Q2R2ds 由此得zdxxdyydzLLz2x2y2ds,

x2y2z2a2由于L：x2y2z2dsads2a2

LLxyz0即zdxxdyydz的上界为2a。

L2例11 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)0,f(0)1且

[xy(xy)f(x)y]dx[f(x)x2y]0

为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解。

解 记P(x,y)xy(xy)f(x)y,Q(x,y)f(x)x2y，由题设知

pQx22xyf(x)f(x)2xy ， yx即f(x)f(x)x2，解此常系数二阶非齐次方程，易得通解为 f(x)C1cosxC2sinxx22 由初始条件f(0)o,f(0)1C12,C21可得：

第十章 曲线积分与曲面积分第 12 页 共 37 页

f(x)2cosxsinxx22

把f(x)代入得全微分方程为

[xy22cosxsinx)2y]dx(2sinxcosx2xx2y)dy0

上式左端全微分的原函数

u(x,y)(x,y)(0,0)P(x,y)dxQ(x,y)dy0(2sinxcosx2xx2y)dy0y

=2ysinxycosx2xy122xy 2于是得全微分方程的通解为

1 x2y22xy2ysinxycosxC

2第三节 对面积的曲面积分（第一类型曲面积分）

一、主要内容

1．对面积的曲面积分f(x,y,z)ds化为二重积分进行计算

把f(x,y,z)ds化为二重积分进行计算要掌握三个要素：①二重积分的积分区域是在某一坐标面上的投影，向哪一个坐标面投影取决于的方程；②再由的方程写

出曲面面积元素的表达式ds；③把的方程代入被积函数f(x,y,z),使之化为二元或二元以下的函数，具体方法：

（1）设:zz(x,y),(x,y)Dxy,Dxy是在xoy面上的投影区域，则

22(x,y)zy(x,y)dxdy f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1zxDxy（2）设:xx(y,z),(y,z)Dyz,Dxy是在yoz面上的投影区域，则

f(x,y,z)dsDyz22f[x(y,z),y,z]1zy(y,z)zz(y,z)dydz

（3）设:yy(x,z),(x,z)Dxz,Dxz是在zox面上的投影区域，则

第十章 曲线积分与曲面积分第 13 页 共 37 页

f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,z)]Dzx221yz(x,z)yx(x,z)dxdz

1对面积的曲面积分与曲面的方向选择无关，即f(x,y,z)ds=注：○f(x,y,z)ds

2将曲面积分化为二重积分时，○究竟将积分曲面向哪一个坐标面投影，取决于的方程，如：x2y2a2介于z0,zh(0)之间的柱面，则就不能向xoy面投影，因为：x2y2a2不能表示为zz(x,y)的形式，但因为：x2y2a2可以表达为xa2y2或ya2x2，所以可以将向yoz面或xoz面投影。 3利用对称性简化计算 ○

设曲面=12其中1,2关于平面x0（y0或z0）对称，如果

（i）被积函数f(x,y,z)相应地关于变量x（y或z）是偶函数，则 f(x,y,z)ds2f(x,y,z)ds

1 （ii）被积函数f(x,y,z)相应地关于变量x（y或z）是奇函数，则

f(x,y,z)ds=0

例如为x2y2z2a2，它关于平面z0对称，f(x,y,z)x2yz关于z是奇函数，故x2yzds0 4利用曲面的“轮换对称性”简化第一类曲面积分计算 ○

若具有轮换对称性，指的方程f(x,y,z)0满足

f(x,y,z)f(z,y,x)f(y,z,x)

如xyz10,x2y2z2a2(x0,y0,z0)都具有轮换对称性 若具有转换对称性，则上的第一类型曲面积分具有轮换不变性，即

第十章 曲线积分与曲面积分第 14 页 共 37 页

f(x,y,z)ds=f(z,y,x)ds=f(y,z,x)ds

例如，求xds,:xyz1(x0,y0,z0)。  因为具有轮换对称性，有xdsydszds

11133故 xds(xyz)dsds

333262 实际应用

z2z2ds1()()dxdy即为二重积分中的曲面面积的⑴当f(x,y,z)1时，Dxyxy计算公式。

⑵质量M=(x,y,z)ds,其中(x,y,z)为曲面的密度。

⑶重心x1M11x(x,y,z)ds,yy(x,y,z)ds,zz(x,y,z)ds。 MM⑷转动惯量Ix(y2z2)(x,y,z)ds Iy(x2z2)(x,y,z)ds

Iz22222(xy)(x,y,z)dsI(xyz)(x,y,z)ds o例1 设曲面为半球面x2y2z21,x0试求I=(xyz)ds.

解法1 记曲面在xoy面上的投影为Dxy，则Dxy为半圆：x2y21,x0，在xoy面上部分的方程为z1x2y2，以下部分的方程为z1x2y2，对z1x2y2都有1(z2z1)()2.

22xy1xy于是IDxy22(xy1xy)11xy22dxdy+

第十章 曲线积分与曲面积分第 15 页 共 37 页

Dxy22(xy1xy)11xy22dxdy

2(xy)Dxy11xy22dxdy，令xrcos,yrsin，则

r21r2I2dr012rcosrsin1r22rd410dr

zx为半圆：x2y21,x0，解法2 记曲面在zox面上的投影为Dzx，则D在zox面右侧部分的方程为y1z2x2，左侧部分的方程为y1z2x2，对y1z2x2都有1(22(x1zx)z)y2y21)().

22zx1zx122IDzx1zxdzdx(x1z2x2z)Dzx11zx22dzdx解法3 记曲面在yoz面上的投影为Dyz，则Dyz为圆：y2z21，的方程为x1y2z2，且1(x2x1)()2.，

22yz1yz于是IDyz22(1yzyz)11yzr1r22dydz令yrcos,zrsin

则Idr(1r2rcosrsin00122d.

解法4 由的对称性，即关于z0,y0对称，因此zds0,yds0,

 Ixdsydszdsxds

22取：x1y2z2,ds1xyxzdydzdydz1yz22,

向yoz面的投影区域为Dyz:y2z21，

dydz xds1y2z2dydz.

221yzDyz第十章 曲线积分与曲面积分第 16 页 共 37 页

注 由以上四种解法可以看出，解法4利用了对称性，使问题得到了简化，同时解法3比解法1，解法2简单，这是因为解法1，2必须将曲面分成两部分才能用对面积的曲面积分的计算公式，而解法3则不然，对应于Dyz内每一点(y,z)，曲面上只有一点(x,y,z)满足x1y2z2。

例2 设曲面为空间立体x2y2z1的边界，计算I=(x2y2)ds.

解 将曲面分两部分1,2其中：1是锥面zx2y2上0z1的部分，2是平面z1上x2y21的部分。1和2在xoy面上的投影都是区域D：

x2y21。

1：zx2y2， 1(z2z2)()2,xy

2:z1,1(z2z2)()1xy

I(x2y2)ds(x2y2)ds2(x2y2)dxdy(x2y2)dxdy

12DD=(21)dr2rdr002121. 2zz,，从xy注意：这里曲面是由两个曲面1,2合并而成的，因此应分别求出

而得到相应的表达式1(z2z2)()。 xy例3 设有一个半径为a的物质球面，其上任一点处的面密度等于该点到此球的一条直径的距离的平方，求此球的质量。

解 (x,y)x2y2,:x2y2z2a2,M(x,y)ds(x2y2)ds.

解法1 za2x2y2,Dxy:x2y2a2;

M2(xy)Dxy22adxdya2x2y2220da0ar3a2r2dr84a 3第十章 曲线积分与曲面积分第 17 页 共 37 页

解法2 由对称性M(y2z2)ds(z2x2)ds.

所以 3M2(x2y2z2)ds,M22284222(xyz)dsadsa 3332222例4 设半径为R的球面的球心在定球面xyza(a0)上，问R为何

值时, 球面在定球面内部的那部分面积最大?

解 先利用第一类曲面积分求出球面在定球内那部分面积S(R).

不妨设的球心在z轴的正半轴上 ,则的方程为x2y2(za)2R2，

x2y2(za)2R2,由 消z，得两球面交线在x0y面上的投影曲线为圆： 2222xyza,2R2(4a2R2)2xy, 4a2z0,记此圆围成的投影区域为Dxy，球面在定球面内的部分的方程是:

zaR2x2y2,(x,y)Dxy,

22dS1zxzydxdyRdxdyRxyR4a2R22a0222,

S(R)dSDxyRdxdyR2x2y2R20ddR22

RR24a2R22222R(R)2a2Ra03R240Ra,R0(舍去)， 令S(R)4Ra36R4,S(a)40, a34由此可知,Ra时, 球面在定球内那部分面积最大。

3又S(R)4第四节 对坐标的曲面积分（第二类型曲面积分）

一 主要内容

第十章 曲线积分与曲面积分第 18 页 共 37 页

1 对坐标的曲面积分PdydzQdzdxRdxdy计算方法

（1） 化为二重积分进行计算（分面投影法）

设曲线面的方程为zz(x,y),Dxy表示曲面在xOy面上投影的区域，z(x,y)在Dxy上具有连续的一阶偏导数，R(x,y,z)在上连续，则有

R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy,

Dxy其中正负号的选择是：对应于的哪一侧的法线与z轴的正向的夹角为锐角时取正号, 为钝角时取负号，即若z轴的正向指向上，也就是当表示曲面的上侧时取正号，表示下侧时取负号。 类似地，有：

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz,

Dyz其中正负号的选择是：对应于的哪一侧的法线与x轴的正向的夹角为锐角时取正号, 为钝角时取负号，也就是当表示曲面的前侧时取正号，表示后侧时取负号。

Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx,

Dzx其中正负号的选择是：对应于的哪一侧的法线与y轴的正向的夹角为锐角时取正号, 为钝角时取负号，也就是当表示曲面的右侧时取正号，表示左侧时取负号。 注 ①利用上述直接法计算曲面积分时，需分割曲面,分割的原则是使在每一个部分曲面上，曲面的方程确定及其正法线方向相应的坐标轴均交锐角或交钝角。 ②第一类和第二类曲面积分虽然都是化成二重积分计算，但是在二重积分的积分域

D的选取的方法截然不同，第一类曲面积分是由方程选择将向哪个坐标面投影，从

而得区域D；而第二类曲面积分是根据被积表达式中坐标来选择将向哪个坐标面投影从而确定区域D。

③和第二类曲线积分一样，第二类曲面积分在计算中不能直接用对称性简化，只有化为二重积分后再考虑对称性。

④当为垂直于xoy面的柱面时，R(x,y,z)dxdy0；

第十章 曲线积分与曲面积分第 19 页 共 37 页

当为垂直于yoz面的柱面时，P(x,y,z)dydz0；

当为垂直于zox面的柱面时，Q(x,y,z)dzdx0。

（2）合一投影法：把dydz,dzdx,dxdy统一成一个坐标，然后只需要一次投影。

：zz(x,y),n(zx,zy,1),en(cos,cos,cos), dydzzxdxdy,dzdxzydxdy

从而

(Fen)dSPdydzQdzdxRdxdy

P[x,y,z(x,y)](zx)Q[x,y,z(x,y)](zy)R[x,y,z(x,y)]dxdy

P[x,y,z(x,y)](zx)Q[x,y,z(x,y)](zy)R[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy同理

PdydzQdzdxRdxdy[PQ(xy)R(xz)]dydz

Dyz[P(yx)QR(yz)]dxdzDxz（3）利用高斯公式（对坐标的曲面积分与三重积分的关系）

设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在内具有一阶连续偏导数，则有

PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy, xyz其中是的整个边界曲面的外侧.

注 ①运用高斯公式时,应注意是区域的边界曲面外侧,若是封闭的内侧曲面, 应注意三重积分前加负号；②要考查P,Q,R在内具有一阶连续偏导数，否则不能用高斯公式；③当积分曲面不封闭时, 也类似于格林公式,可对作封闭化处理。 2 两类曲面积分的关系

PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds,

第十章 曲线积分与曲面积分第 20 页 共 37 页

其中cos,cos,cos是有向曲面上的点(x,y,z)处的法向量的方向余弦。 3 斯托克斯公式(空间曲线积分与曲面积分的关系)

设是分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向和的正侧满足右手规则，函数P,Q,R在包含曲面的空间区域内具有一阶连续偏导数，则

PdxQdyRdz(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdy. yzzxxycosxdydzdzdxdxdycosycosz=xyzdS

PQRPQR其中n(cos,cos,cos)为有向曲面的单位法向量。

斯托克斯公式是格林公式在空间的推广，它将定向曲面上的曲面积分与曲面的定向边界线的线积分联系起来。

4 散度、旋度

设向量场F(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k

PQR则散度divF， xyzijkRQpRQP)i()j()k 旋度rotFxyz(yzzxxyPQR注 ①divF(M)表示不可压缩流体的流速场F在点M处的源头强度，一个散度处处为零

的向量场称为无源场。

高斯公式亦可写作divFdVaFdS

高斯公式的物理含义：单位时间内中所产生流体的总质量等于流体通过的边界流向外侧的总质量。

②一个旋度处处为零向量的向量场称为无旋场。 斯托克斯公式也可记为

rotFdSFdr(Fer)dS

第十章 曲线积分与曲面积分第 21 页 共 37 页

5 实际应用

（1）设向量场F(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k则向量场F通过有向曲面向着指定侧的通量（或流量）为Fnds，这里n是上点(x,y,z)处的单位法向量。

（2）向量场F(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k沿着有向闭曲线的环流量为

PdxQdyRdz。

（3）计算体积

VdV1xdydzydzdxzdxdy 3外二 典型例题

例1 设是平面xza含在圆柱面x2y2a2内的哪一部分的下侧，下面两个积分的求法是否正确？

（1）(xz)dSadSa(的面积)2a

（2）(xz)dxdyadxdya(的面积)2a

解 （1）的求法是正确的，取什么侧对第一类曲面积分的结果无影响。

 （2）的求法是错误的，因为第二个积分中的dxdy是有向曲面元素dS在xoy面上的投影，因此dxdy的面积，正确的求法是：

:xza，由于被积函数xz在上取值，故xza，又由于取下侧，二重

积分前取负号，且坐标为dxdy，因此把应向xoy面投影，Dxyx2y2a2，故

(xz)dxdyadxdyadxdya(DDxyxy的面积)a3

例2 下面两种计算方法是否正确，为什么？ （1）为球面x2y2z2R2的外侧

I1x3dydzy3dzdxz3dxdy43(xyz)dv3Rdv3RR34R5322222

第十章 曲线积分与曲面积分第 22 页 共 37 页

（2）记rx2y2z2，是球面x2y2z2a2的外侧

I2xyzdydzdzdxdxdyr3r3r3[xyz(3)(3)(3)]dVxryrzr

r23x2r23y2r23z23r23r2()dV()dV05555rrrr解 （1）的做法不正确,因为在内x2y2z2R2，所以不能将x2y2z2用R2代替，正确做法是

I13(x2y2z2)dv320ddr2r2sindr00R12R5 5（2）的求法也不正确,因为P,Q,R在球心即原点处无定义,从而Px,Qy,Rz在球体内不满足连续的条件,故不能直接用高斯公式,应改为

由于:x2y2z2a2，所以 r3(x2y2z2)3a3

I2xyzdydzdzdxdxdy333aaa1xdydzydzdxzdxdy3a1343(111)dVa43a3a3

x2y2z2例3 求曲面积分zdxdy，其中为椭圆2221的外侧。

abc解法1 直接计算

将曲面分成两个曲面 ：

x2y2x2y21:zc122 2:zc122

ababx2y2曲面1与曲面2在x0y平面上的投影是同一个椭圆D:221，所以

ab第十章 曲线积分与曲面积分第 23 页 共 37 页

x2y2x2y2zdxdyzdxdyzdxdyc122dxdy(c)122dxdyabab12DD2cD

x2y2122dxdyab20令xarcos,ybrsin，则原式2abc解法2 利用高斯公式

4zdxdydvabc 34dr1r2drabc

031例4 计算Ixdydzydzdxzdxdy，其中是由点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)构成的三角

形，法线方向是由原点指向方向。

解法1 直接计算平面的方程是xyz1，有

zdxdyDxy(1xy)dxdydx011x0(1xy)dy1， 6同理ydzdx1111，xdydz，所以I3

6266解法2 利用高斯公式，补三个坐标平面1：x0,2:y0,3:z0，则

12(3PQR1)dv3dv， xyz223又xdydzydzdxzdxdy0，同理0，0，

1所以 Ixdydzydzdxzdxdy1。 2注意：由以上两例可以看出，在计算第二类型曲面积分时，对不封闭的曲面积分，尽量补充部分曲面，转化为封闭曲面，利用高斯公式，再减去补上的那部分曲面的积分值。 例5 计算曲面积分Ixydydzyzdzdxzxdxdy，其中是曲面z4x2y2(z0)上

1侧。

解 用1表示圆盘{x2y24下侧，由于xydydzyzdzdxzxdxdy0，因此

1第十章 曲线积分与曲面积分第 24 页 共 37 页

I1xydydzyzdzdxzxdxdy(yzx)dv40zdzDzdxdy,(Dz:x2y24z)

=(4z)zdz0432。 3例6 计算曲面积分Ixdydzy2dzdxz3dxdy，其中为球面x2y2z22Rz的外侧。

解 Ixdydzy2dzdxz3dxdy(12y3z2)dV,dvR3,2ydV0,（利用对称性），

43zdVd02220d2RCOS08r4cos2sindrR5，所以

5424IR3R5。

35例7 计算曲面积分(2xz)dydzzdxdy，其中为有向曲面zx2y2(0z1),

其中法向量与z轴正向夹角为锐角。

解 把第二类曲面积分化为二重积分计算可采用分面投影法和合一投影法，此题若采用分面投影法应把向yoz和xoy各投影一次，比较复杂，因此只用合一投影法求解，由于

''z'y,1),而Dxy:x2y21 :zx2y2,zx2x,z'y2y，且取上侧，因此n(zx'(2xz)dydzzdxdy[(2xz)(zdxdy x)z]22222[4x2x(xy)xy]dxdy  Dxy Dxy22222(xy4x)dxdy2x(xy)dxdy Dxy d(242cos2)d0

0021 （由对称性x(x2y2)dxdy0)。 2Dxy例8 计算曲面积分Ix(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy，其中是由曲线

zy1,(1y3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角小于 x0,第十章 曲线积分与曲面积分第 25 页 共 37 页

。 2解 由解析几何知识，是顶点在(0,1,0)，以y轴为旋转轴的旋转抛物面：yx2z21,这里不是封闭的曲面，直接化为二重积分计算很复杂，为了能用上高斯公式，补上平面片1：y3,(x2z22),其法向量与y轴正向相同，从而1构成封闭的曲面的外侧，记1围成区域为，由高斯公式，得

I(8y14y4y)dVx(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy

1dV2(1y2)dzdx(1:y3,dy0)2 dydxdz2(132)dzdx1Dy3

(y1)dy1613x2z22dzdx34例9 计算I[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdy其中

f(x,y,z)为连续函数，为平面xyz1在第四象限部分的上侧。

解 由于f没有具体给出，故要计算积分必须设法消去被积分函数中的f，下面用合一投影法和化为第一类曲面积分两种方法计算。

解法1 ：z1xy,zx1,zy1，且取上侧，投影Dxy是三角形区域，故

{[f(x,y,z)x](zx)[2f(x,y,z)y](zy)[f(x,y,z)z]}dxdy[(fz)(2fy)fz]dxdyxyzdxdy

Dxydxdy12解法2 ：z1xy，由于取上侧，故

n(zx,zy,1)(1,1,1),en13(1,1,1),dydzdS3,dzdxdS3,dxdydS3，故

原式=[(fx)(2fy)(fz)]dS3

第十章 曲线积分与曲面积分第 26 页 共 37 页

1111 (xyz)dSdS3dxdydxdy2333DxyDxyx2y2z2a2例10 计算ydxzdyxdz,是圆周，从oz轴正方向看去取逆时

xyz0针方向(a0).

解 设Py,Qz,Rx,由斯托克斯公式有：

ydxzdyxdzdydzdzdxdxdy3dxdy311ds3a23a233

例11 设A{yz,zx,xy}，计算向量场A关于曲线的环流量，其中

x2y2a2,:xx(a0,h0)从z轴正向看去取顺时针方向。

1,ah解 取为平面

xz1上以为边界的椭圆的上侧，则由托斯克斯公式，环流量I为 ahIAdrrotAdSdydzdzdxdxdy

xyzyzzxxy 2dydzdzdxdxdy

hhx,zx,zy0,由合一投影法： aah dydzzxdxdydxdy,dzdxzydxdy0,故

a由于:zhhhhI2(1)dxdy2(1)dxdy2(1)a22a(ah).

aaaDxy例12 设对于半空间x0内任意光滑的定向封闭曲面S都有

2xxf(x)dydzxyf(x)dzdxezdxdy0，其中函数f(x)在(0,)内具有连续的一阶导数，Sf(x)1,求f(x). 且limx0解 由题设x0内任意光滑的定向封闭曲面S上的积分都为0，从而由高斯公式，S围

第十章 曲线积分与曲面积分第 27 页 共 37 页

成的闭区域内的三重积分

[xf'(x)f(x)xf(x)e2x]dV0

由的任意性，及xf'(x)f(x)xf(x)e2x的连续性有

xf'(x)f(x)xf(x)e2x0(x0)

11即 f'(x)(1)f(x)e2x(x0).

xx解此一阶线性非齐次微分方程得：

f(x)e(1x)dxe2x(x1)dx[edxc] x1exe2xxexxdxc](ec). [xxexxe2xcex2xx2xxf(x)lim(ece)0(ecex,x0) lim1并由limx0x0x0xexx即 1c0c1,故f(x)(e1).

x练 习 题 十

一．选择题

1.设L是从A(1,0)到B(1,2)的线段，则曲线积分(xy)ds( ).

LA. 2 B. 22 C. 2 D. 0

2.设L为下半圆周x2+y2= R2(y0)，将曲线积分I(x2y)ds,化为定积分的正确结

L果是( ).

A. R2(cost2sint)dt B.R2(cost2sint)dt

00C. R(sint2cost)dt D. R2(sint2cost)dt

220323.设OM是从O0,0到点M1,1的直线段，则与曲线积分（ ）.

OMex2y2ds不

第十章 曲线积分与曲面积分第 28 页 共 37 页

A.e012x2dx B.

10e2y2dy C.

20edr D.

r10er2dr

4. L是圆域D：x2+y22x的正向边界，则(x3y)dx(xy3)dy等于（ ）.

L3A.-2 B. 0 C. D.2

215.设L是由点A沿曲线2y=x2到点B2,2的弧段，则曲线积分（1,）22xx2dx2dy之值等Lyy于（ ）

A.-3 B. 0 C.

3 D.3 26.设AEB是由点A1,0沿上半圆y1x2经点E(1,0)到点B(1,0圆弧，则曲线积分

IAEBy3ds（ ）.

A.0 B.2BEy3ds C. 2EBy3ds D.2EAy3ds

7.设L是以A1,0,B(3,2)及C(3,0)为顶点的三角形域的边界沿ABCA方向，则

(3xy)dx(x2y)dy 等于（ ）.

LA.-8 B.0 C.8 D.20

8.设L是点u0,0沿折线y1x1到点A(2,0)的折线段，则曲线积分Iydxxdy 等

L于（ ）.

A.0 B.-1 C.2 D.-2

9.设L是圆周x2y2a2(a0)负向一侧，则曲线积分(x3x2y)dx(xy2y3)dy 的值为

L（ ）. A. -

42a B.a4 C. a4 D.a3

3210.IR2x2y2dS ，其中:zR2x2y2，则I为（ ） A. B.2R2 C.R3 D.1

11.设f(x,y,z)具有连续的而不为零的二阶偏导数，rxiyjzk，则有（ ）.

A．gradf(x,y,z)与r都是无源场 B.gradf(x,y,z)是无旋场，r是无源场

第十章 曲线积分与曲面积分第 29 页 共 37 页

C. gradf(x,y,z)是无源场，r是无旋场 D. gradf(x,y,z)与r都是无旋场 333divF12.已知Fxiyjzk，则在点(1,0,1)的散度为（ ）. A.6 B.0 C.6 D.32 二．填空题

1．设平面曲线L为下半圆周y1x2，则曲线积分(x2y2)ds= .

L2．设L是圆周x2y21的顺时针方向，I1x2ds,I2y8ds，则I1与I2的大小关系

LL是 .

3.L是由yx2及y1所围成的区域D的正向边界，则= .

x2x22y21的顺时针方向，则4．设f(x,y)在y1上具有连续的二阶偏导数，L 是

44L(xyx2y3)dx(x2x4y2)dy

[3yfLx(x,y)]dxfy(x,y)dy的值等于 . L5．对于平面上任意光滑曲线L，则(x2y)dx(xsiny)dy= . 6．设是柱面x2y2a2在0zh之间的部分，则x2dS= .

7．设是球面x2y2z2a2，则曲面积分(x2y2z2)dS .

8． cos,cos,cos是光滑曲面的外法向量的方向余弦，设函数u(x,y,z)在所围区域V内具有二阶连续偏导数，则由高斯公式化曲面积分为重积分时，有

(uuucoscoscos)dS . xyz9．设是由光滑闭曲面所围成的空间闭区域，其体积记为V，则沿外侧的积分：

(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dydz . 10．设是球面x2y2z2a2的内侧，则曲面积分(x2y2z2)dydz .

11．设是球面x2y2z24z，V是由所围空间闭区域，函数uu(x,y,z)在V上有二阶连续偏导数，且u2ux22uy22uz21,而u是函数u在上各点沿外法线方向的方向n第十章 曲线积分与曲面积分第 30 页 共 37 页

导数，则积分udS . n2212．设是zxy与z1围成立体的表面外侧，用曲面积分表示向量A(x,y,z)穿过

指定侧的流量为 . 13．设函数f(x,y,z)在区域G内有二阶连续偏导数，则div(gradf(x,y,z)) . 14. 是柱面x2y24介于1z3之间部分，它的法向量指定 oz轴，则

xy2z2dxdy .

三．计算题

1．计算(xsinx2y2)ds，其中 L为圆周x2y21.

L2．计算(xy2)ds，其中L：x2y21.

L3．计算xds，其中L：xy1.

L1323234．求心形线a(1cos)的长度.

5．计算曲面积分(2x2yz)dS，其中是平面2x2yz20被三个坐标平面所

截下的第一象限部分.

6．计算xzdS，其中是柱面x2y21介于z0及 z1之间部分.

7．求均匀的物质球面x2y2z2a2在第一卦限部分的重心.

8．设空间力场，其中任一点处力的大小与此点到xoy坐标面的距离成反比，方向指向原点，若一质点在此力场中沿螺旋线xacost,yasint,zbt以t0的点运动到对应于t2的点，求在此运动过程中场力所做的功，(a0,b0).

9．计算ex[(1cosy)dx(ysiny)dy]，其中L为区域：0x,0ysinx的正向边界.

L10.计算xdxydy，其中L:2x23y21沿顺时方向一周. 22Lxy11．试选择a,b使得(ay22xy)dx(bx22xy)dy是某一个函数u(x,y)的全微分，并求出

u(x,y).

第十章 曲线积分与曲面积分第 31 页 共 37 页

12.计算ABCDdxdyxy，ABCDA是以点A(1,0),B(0,1),C(1,0)及D(0,1)为顶点的正方形.

2213．计算xy111dydzdzdxdxdy，其中是椭球面22xyzabz21的外侧. c214．设是由z= 2x2y2与z0所围成的立体表面外侧，试计算积分

(y2x)dydz(z2y)dzdx(x2z)dxdy.

15．计算曲面积分(2xz)dydzzdxdy，其中为有向曲面zx2y2(0z1),其法向量

与z轴正方向夹角为锐角. 16．计算Idydzdzdxdxdyxyzxzx3yz3xy2,其中是锥面： z2x2y2在xoy面上部分取上侧.

四．证明题

1.证明：sin(x2y2)dxcos(xy)dy 2L,其中L为光滑曲线L的长度.

L2.证明：对于xoy平面上的任意简单闭曲线L及常向量Ia,b有cos(I^t)ds0,式中tL是曲线L的单位切线向量. 3.证明积分xxxx2x(sincos)dx2cosdy，当LLyyyyy不经过y0时，积分与路径无关，若曲

线L的起点和终点分别为A(,1)及B(,2),试计算积分的值.

4.设L是光滑的正向简单闭曲线，n是L的单位外法线向量，u(x,y)是有二阶连续偏导数

u的二元函数，求证：dsLn2u2u(22)dxdy，其中D为L所围区域. xy5．证明：4R2(dR)2[(xx0)2(yy0)2(zz0)2]ds4R2(dR)2 ，其中是

球面：(xa)2(yb)2(zc)2R2，而(x0a)2(y0b)2(z0c)2d2R2(dR0). 6.证明(xyz3a)dS108a5(a0),其中是球面x2y2z22ax2ay2az2a20.

3V为7.设空间闭区域是由曲面zax2y2与平面z0所围成，为表面外侧，

体积，证明：x2yz2dydzxy2z2dxdzz(1xyz)dxdyV(a0).

第十章 曲线积分与曲面积分第 32 页 共 37 页

练 习 题 十 解 答

一． 选择题

1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.A 10.C 11.D [注 因为 rot(gradf)O,rotrO] 12.A 二．填空题

1． 2. I1I2 3.0 4. 6 5. 0 6. a3h 7. 4a4 8. 322u2u2u(222)dV 9. 3V 10. 0 11. 

3xyz22212.2f2f2zxdydzydzdxzdxdy 13. 222xyz 14. 0

三．计算题

1．解 (xsinx2y2)ds2[xsinx2(1x2)]C11dx1x22111x2dx.

2．解 记L1:y1x2， 则 原式=2(xy2)ds2[x(1x2)]L111dx1x2.

3xcost3．解 取参数方程L， 3ysint原式420costx(t)y(t)dt4202220cost3costsintdt420203costd(cost)4[cost]24.

02234. 解 SdsL()(())d2'2a(1cos)asind2a22220cos2d8a.

15．解 原式=212222d6613.

2D6．解 记1是前半柱面x1y2上介于z0及z1之间的部分，1 在yoz平面上

2的投影区域D为矩形域：0z1,1y1，在1上dSax2yxzdydz11y2dydz，因此

xdSdydz，由对称性

第十章 曲线积分与曲面积分第 33 页 共 37 页

原式=2xzds2zdydz2dyzdz2.

1D10117．解 由题意知：xyz,zzdSdS，

2 dS=1zxz2ydxdyaa2x2y2dxdyadxdy, z dS4a2dSa，

82 zdSa2x2y2Dxyaa2x2y2dxdya1a3, 4a2a2 z,xyz.

22k,F的方向与r同向，rx,y,z,因此 8．解 由题意知力F，满足Fzk0kr Frzzrzkrxyz222

W= ==Fdrzkxyz222(xdxydyzdz)

20kbta2b2t2ka2b2t(a2costsinta2costsintb2t)dt

20d(bt)kln(bta2b2t2)2 02=k[ln(2ba242b2)lna].

9.解 因为D:0x,0ysinx为单连通区域，由格林公式及

Qexsinyyex,原式=xPexsiny, y(yex)dxdy0dxsinx0(yex)dy1(1ex). 510．解 当(x,y)(0,0)时

P2xyQ，当C包含(0,0)时不能用格林公式，为此2y(xy2)2x取l:x2y22逆时针方向，则

clD(QP)dxy，所以 0d0（其中D为由C和l围成的区域）

D第十章 曲线积分与曲面积分第 34 页 共 37 页

xdxydycx2y2lxdxydy1222xylxdxydy12D10d1200.

11．解 记P(x,y)ay22xy,Q(x,y)bx22xy,若P(x,y)dxQ(x,y)dy是某个函数的全微分，则由

PQ2ay2x2bx2ya1,b1 yxu(x,y)(x,y)(0,0)PdxQdyx0P(x,0)dxQ(x,y)dy0dx(x000yxy22xy)dyx2yxy2.

12．解 曲线ABCDA上， xy1，因此

ABCDAdxdyxy1xABCDAdxdy格林公式xy10d0.

13．解 由于P,Q11,R,在椭球面围成的区域内不满足具有一阶连续偏导的条件，yz因此无法用高斯公式，

I11dydzxDyz1dydzyzb2c2dydz22Dyzdydza1yzb2c222

2＝aDyzy2122bcy2z2（其中Dyz:221） 2bcz作广义极坐标变换：ybcos,zbsin,则dydzbcdd,

I12a20d1bc0dd124bc4bca,同理 2aaI214abcdydz,I3yb214abcdxdy, zc2于是原积分I4abc(111). 222abc14.解 设所围立体为，由高斯公式 原积分=3dV3d0220d220dz620(22)d6

15.解 以1表示法向量指向正轴负方向的有向平面z1(x2y21),D为1在xoy平面上的投影区域，则

第十章 曲线积分与曲面积分第 35 页 共 37 页

(2xz)dydzzdxdy1(2xz)dydzzdxdy(2xz)dydzzdxdy

1 =(21)dVdxdy3dd2dzdxdy

100211D =-.

z2x2y216．解 由斯托克斯公式，L:逆时针方向， z0dydzdzdxdxdyxyzxzx3yz3xy23212IL(xz)dx(x3yz)dy3xy2dz

x2y24xdxx3dy＝＝＝格林公式x2y213x2dxdy320d203cos2d12.

四．证明题

1.证明：设n{cos,cos}有向曲线L的单位切向量，由两类积分间的关系.

Lsin(x2y2)dxcos(xy)dy{sin(x2y2),cos(xy)}ds{sin(xL2y2),cos(xy)}{cos,cos}ds

LLsin2(x2y2)cos2(xy)ds2ds2l.

2.证明，设单位切向量t{cos,cos}

L^cos(I,t)dsLItdsItacosbcosLab22dsadxbdyLab22

=

1ab22[1(b)(a)]dxya2b20d0.

Dxxxx2x3．证明 ：Psincos,Q2cos,

yyyyyPx2xxxQ 3sin22cos(y0)，所以积分与路径无关. yyyyxyBAPdxQdyd(sinycos)dyy221y2cosydy0212cosd()[sin]1.

yyy4.证明：

设t{cos,cos}是正向光滑曲线L的单位切向量，则

第十章 曲线积分与曲面积分第 36 页 共 37 页



n{cos(),sin()}{sin,cos}{cos,cos}

22uuuuu{,}ncos(cos)， nxyxyuuuuudscosdscosdsdydx， nxyxyu从而dsLnuudxdy=LyxDuu[()()]dxdy=xxyyD2u2u(22)dxdy. xy5．证明： 设 f(x,y,z)(xx0)2(yy0)2(zz0)2，则

(x,y,z)maxf(x,y,z)(dR)2,min(x,y,z)f(x,y,z)(dR)2,

所以，(dR)2dSf(x,y,z)dS(dR)2dS,而

（dR）dS4R(dR),(dR)dS4R22222(dR)2，

从而，4R2(dR)2[(xx0)2(yy0)2(zz0)2]dS4R2(dR)2。

6．证明：考虑xyz3a在约束条件x2y2z22ax2ay2az2a20下的极小值.

记L(x,y,z,)xyz3a(x2y2z22ax2ay2az2a2), 令

LLL0，可得xxyzyzaa3，

所以xyz3a(333)a3a

(xyz3a)3dS(3a)2dS27a34a2108a5.

7．证明：由高斯公式

I=(2xyz22xyz212xyz)dVdVxyzdV,

由于关于xoz 坐标面对称，又f(x,y,z)xyz 是上关于y的奇函数，故

xyzdV0，从而IdVV. .

第十章 曲线积分与曲面积分第 37 页 共 37 页