高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

高中数学竞赛专题讲座---平面几何

选讲(共3页)

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平面几何选讲 反演变换

基础知识 一. 定义

1. 设O是平面上的一个定点，k是一个非零常数．如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于O的点A与其对应点A之间，恒有（1）A',O,A三点共线；（2）OA'OAk，则这个变换称为平面的一个反演变换，记做I(O,k)．其中，定点O称为反演中心，常数k称为反演幂，点A称为点A的反点．

2. 在反演变换I(O,k)下，如果平面的图形F变为图形F，则称图形F是图形F关于反演变换

''''I(O,k)的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．

3. 设两条曲线u、v相交于点A，l、m分别是曲线u、v在点A处的切线（如果存在），则l与m的交角称为曲线u、v在点A处的交角；如果两切线重合，则曲线u、v在点A处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交．

二. 定理

定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．

定理2. 在反演变换I(O,k)下，设A、B两点（均不同于反演中心O）的反点分别为A、B，则有

''A'B'=

A'B'kAB．

OAOB定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变．

定理4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．

定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆． 定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反．

定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切．

定理8. 如果两直线平行，则其反形（两圆或一圆一直线）相切于反演中心． A典型例题

一. 证明点共线

LEF例1. ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，

设L、M、N分别是EF、FD、DE的中点．求证：ABC的外心、 I内心与LMN的外心三点共线． MN证明：如图，设ABC的内心为I，内切圆半径为r．以内心I C为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换I(I,r)，则A、B、C的

2BD2

反点分别为L、M、N，因而ABC的反形是LMN的外接圆．故ABC的外心、内心和LMN的外心三点共线．

AO4二. 证明线共点 D例2. 四边形ABCD内接于O，对角线AC与BD相交于P，设ABP、BCP、CDP、DAP的P外心分别为O1、O2、O3、O4．求证：OP、O1O3、O2O4三直线共点． O1O3O证明：作反演变换I(P,PCPA)，则A、C互为反点，B、

D互为反点，O不变，直线PO1不变，ABP的外接圆的反形

是直线CD．由于直线PO1与ABP的外接圆正交，因而PO1与CD

CO2B正交，即有PO1CD．又OO3CD，所以PO1//O3O；同理PO3//O1O，所以四边形PO1OO3为平行四边形，从而O1O3过PO的中点；同理O2O4也过PO的中点．故OP、O1O3、O2O4三线共点． 三. 证明点共圆

例3. 设半圆的直径为AB，圆心为O，一直线与半圆交于C、D两点，且与直线AB交于M．再设AOC与DOB的外接圆的第二个交点为N．求证：ONMN．

证明：以O为反演中心作反演变换I(O,r2)，其中，r为半圆的半径，则半圆上的每一点都不变，

(AOC)与(DOB)的反形分别为直线AC、BD．且设M、N的反点分别为M'、N'，则N'为直

线AC与BD的交点，M在直径AB上，直线MN的反形为OMN的外接圆，直线CD的反形为

'''CDO的外接圆．而ONNMON'是OM'N'外接圆的直径M'N'OM'．于是问题转化为

证明MNOM．因为ADBN，BCAN，O是AB的中点，所以过O、C、D三点的圆是

'''''N'AB的九点圆，而M'在九点圆上，又在边AB上（不同于O点），故M'N'AB，因此

N'ONMN．

CNAOD CDBM

AOM'B四. 证明一些几何（不）等式

例4. 设六个圆都在一定圆内，每一个圆都与定圆外切，并且与相邻的两个小圆外切，若六个小圆与大圆的切点依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6．证明：A1A2A3A4A5A6A2A3A4A5A6A1

3

证明：如图以A6为反演中心作反演变换I(A6,1)，则O与O6的反形为两条平行线，其余5个圆

的反形皆是与两条平行线中一条相切的圆；且反形中第一个圆与第五个圆均与两平行线相切，而其余三

'''''圆均与相邻的两圆相切．设A、、、、的反点分别为、、、、AAAAAAAAA1234524135，则其反形中'''''的五个圆与两平行线中的一条（即O的反形）依次切于A1、A2、A3、A4、A5；再设这五个圆的半径

依次为r1、r2、r3、r4、r5，则由勾股定理可得A1A2''(r1r2)2(r1r2)22r1r2，同理''''''''''''A3A4A2A3A4A5．但A2A32r2r3，A3'A42r3r4，A4A52r4r5．显然r1r5，于是A1'A2'A1'A2A3A4A2A3A4A5A1A2''''''，A3A4，A2A3，A4A5．所以

A6A1A6A2A6A3A6A4A6A2A6A3A6A4A6A5A1A2A3A4A2A3A4A5

A6A1A6A2A6A3A6A4A6A2A6A3A6A4A6A5A3A4A2A3A4A5故A1A2A3A4A5A6A2A3A4A5A6A1．

A6A3A6A4A6A2A6A3A6A4A6A5

A3O3A2O2OO1A1O5O6A6A5O4A4r1A1'r2'A2r3'A3r4'A4r5'A5练习：

1. （2002土耳其数学奥林匹克）两圆外切于点A，且内切于另一

于点B、C，另D是小圆内公切

线割的弦的中点，证明：当B、C、D不共线时，A是BCD的内切圆圆心．

2. （第30届IMO预选题）双心四边形是指既有内切圆又有外接圆的四边形．证明双心四边形的两个圆心与对角线的交点共线．

3. （1997全国高中数学联赛）已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，圆O1与圆O2分别于圆O内切于S、T．求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线．

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