喀兴林高等量子力学习题EX4.表象理论

EX4.表象理论

练习4 .1 在任何表象中，与厄米算符H对应的矩阵（符对应的矩阵（

UijHij

）称为厄米矩阵，与幺正算

）称为幺正矩阵。证明它们分别满足下列关系：

HjiHij

UkkiUkjUikUkjijk

（做题：陈捷狮，审查人：刘强。）

解：（1）

HjijHiHjiiHjiHjHij

（2） 利用完全性关系可得：

UkjkUiUkikkkUjUkikkUkjUikkUjijkiUkjUkkUikUjk

证毕!

ˆ的矩阵形式为 练习4.2 在某表象中，算符A111）0（1）（22ˆA02011（1）0（1）22

ˆ的本征值及相应的本征矢量； （1） 求Aˆ的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失。 （2） 用A111）0（1）（aa22bb02011cc（1）0（1）22解：（1）本征值方程为

（1120）120（101212）0（2））0（1（1）则久期方程为：

解得：1=2=2，3=2

当1=2=2时本征函数为：

a10bK0K121c10

1即此时本征函数分别为：220022102 ,

223022 当时3=2本征函数为：

因为1*20，1*30，2*30

ˆ的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失为，所以用A12，3。

#

练习4.3 在三维空间中，K表象的基是1，2，3。有一算符A，在此表象中的矩

70A0230阵为

305

（1）求A的本征矢量在K表象中的形式及相应的本征值；

（2）取A的本征矢量1，2，3为L表象（即A表象）的基，求表象变换的幺正矩阵U和U ;

1（3）验证所求矩阵的幺正性；

（4）用U与U 计算算符A在L表象中的矩阵。

1（作题人：胡项英 校对人：韩丽芳）

解：（1）设A在K表象中的本征矢量为

c1c2c3 ，相应的本征矢量为 ，则：

7002303c1c10c2c2c5c33

有解则：

7030200305

所以得：2,4,8

所以：当12时，代入本征值方程且根据c1c2c31 则：

222c1c30,c21 所以：

0110

同理：当24时，则：

1220313c1,c20,c32 22 所以：

当38时，则：

331c1,c20,c322 所以：

32012

（2）根据幺正矩阵Uii则A在K表象中矢量按列排列即为U， 0U10所以：12032312U012 0123210003212 111(3)将U,U的值代入得：UUUU1

所以：U为幺正矩阵

(l)1(k)（4）根据AUAU，分别代入U,U则：

1A(l)200040008（算符在自身表象下，为对角矩阵，对角元为本正直）

#

ˆexp(iHˆ)ˆ为厄米算符，S练习4.4 H （侯书进）

ˆ证明：(1)S是幺正算符；

ˆexp(itrHˆ)detS (2)

ˆ为厄米算符，则Hˆ*Hˆ 证明：（1） Hˆ*Sˆ1exp(iHˆ)S所以

ˆ*Sˆ1Sˆ*Sˆ*Iˆ即S

ˆ则S是幺正算符

ˆˆˆ的函数，则Sˆ可以同时对角化。在Hˆ表象中，Hˆ表现为对角矩阵，(2)因为S是H与Hˆ的本征值，则 对角矩阵元HnnHn为HˆHHtrHnnnnn

ˆ 而S的本征值exp（iHn）

即SnSnnexp（iHn）

ˆˆ)detS（iHn）exp(itrHBnnexp（iHn)expnnn则

#

练习4.5 （吴汉成 完成，董延旭 核对）

在三维空间中，有矩阵A和B：

5A52

55212B12210 ，

112220

（1） 证明A和B均为厄米矩阵，而且[A，B]=0；

（2） 分别求A和B的本征值与本征矢量；

（3） 求A和B两算符的（归一化的）共同本征矢量集；

（4） 求能使A和B都对角化的幺正变换矩阵U；

（5） 用U将A和B对角化。

~A解： （1）证明：由题意得A的转置矩阵：

5~A52

5522210

显然又得A的共轭矩阵：

~5~*(A)52

~~(A)*与A比较，得：(A)*A

5522210

~*A(A)，AA，显然A为厄米矩阵， 又同理可证B为厄米矩阵。

5AB52又

552212110211222220102221021021024

1BA12112252502552222210102221021021024

 AB— BA= 0

 A,BABBA0，故得证。

A1AA2A3；B的本征值为b,本征矢量（2）设A的本征值为a，本征矢量为：B1BB2B3。 为:

则必有本征方程：AAaA

即：

552 5522A1A12A2aA210A3A3

5a52A155a2A202210aA3 ————[1]

久期方程：

5a5255a20

2210a

解之得： a10 a28 a312

当aa10,代入[1]式得：

552A521 5210A202A3

整理得：

5A15A22A30 5A15A22A30

2A12A210A30 联解得： A1A2,A30

即得： 归一化条件： 即： 即得 ： 解之得：   A的本征矢量： 同理可得：

A1A1AA2

A1A30 AA1

*A1A*A101A11

0

*A1A1*A1A11

A122

A2A122

2A122AA2A320。



1A121AA22A32aa82 2 当A的本征值时，A本征值矢量：

A1AA2A3aa312 当A的本征值时，A本征值矢量：121222

至于求B本征值和本征矢量的方法步骤，与求A的本征值和本征矢量的方法步骤是一样的，因此同理可求得B的本征值分别是： b12 b22 b32

而且相应本征值b的本征矢量分别为：

2B122BB22B30bb2 1 1）本征值时，

2B122BB22B30bb2 22）本征值时A，

B1BB2B3bb32 3）本征值时，121222

123 ，则必有本征方程： (3) 设A和B的共同本征矢量

Aa,Bb 显然也有方程： ABAbbAba 设ba,则AB

2AB2102又

221021021024；并代入AB式

22102得： 221021021110222433



221022210210211022043 ————————————[2]

所以得久期方程：

221022210210210204

解之得： 10,216,324 当10时，代入[2]式得：

22102 2210210211022043

整理得： 212210230

212210230 10211022430 联解得： 12,30

所以得：

112103

由归一化条件：1，得：



*11*10100

解之得：

122



2122

(1)所以,当本征值10时，的本征矢量：

21222230

同理可得：

(2) 当本征值216时，的本征矢量：

121222

(3) 当本征值324时，的本征矢量：

121222

综上所述得A和B的（归一化）共同本征矢量集：(1)(2)(3)，

(1)

2112222(2)(3)11222202 2 2

（4） 设能使A和Ｂ都对角化的幺正变换矩阵为U，则必有

1'1'1 UU，AUAUUAU，BUBUUBU

 ABUAUUBUUAU''UBUUAUUBU

又 UU1，并代入上式

 ABUABU''U(AB)UU(AB)U1AB

'此关系式说明了：能使A和B都对角化的幺正变换矩阵，与能使（AB）对角化的幺正变换的矩阵，都是相同的，两者都是U。另一方面，由（3）的结果可得能AB对角化的幺正矩阵为：

U(3)(2)(1)

12122212122222220 ——————[3]

1（5）由于U是幺正矩阵，所以UU，并联系[3]式得

U1 所以对角化：

UU12122212122222220

'1AUAU12122212122222525220552221012122212122222220

 1212221212222262626204442000

1200080000，其对角元为A的本征值，与（2）小题的结果完全一致. B'U1BU1212221212222212122011222012122212122222220

12122212122222121220112220

200020002，其对角元为B的本征值，与（2）小题的结果完全一致。 #

练习 4.6 在一个9维空间中有二矩阵A和B；

6......4.2....2.2..2.4.....,A..2.4.2.......4.2.....2.2....2.4......62101B01012

式中空格及圆点均代表零。

（1）分别求A和B的本征值与本征矢量（不必归一化，取最简单形式），若本征值是m重简并的，写出其本征子空间的m个代表矢量；

（2）写出A和B的共同本征矢量完全集（共有9个矢量）。

（做题人:宁宏新 校对人:胡项英）

解：１．设Ａ的本征值为λ，则det0,即

60000000040000000020000000040000det000040000000040000000020000000040000000022000240206242400402652300202000204123456;6782;90

当123456时，有

000000006

00000000000200200000004020000020000020202000002020002040000020200000000

00000010200000000010001000001010000000000000000000000

000002000000000000000000得 由

00001010000000011100000100042001003701000527k0k2k0k068k1023450001044001077000010880000199

（k1k5为不同时为零的权）

本征值为６时，其是５重简并的，代表矢量为

100000100000100010006666;16020;32;40;500000101000000100当6782时，有

400000000020200000000020000020200000002020200000002020000020000000002020000000004 100000000010100000000010000000000000001000100000001010000000000000000000000000001

0001

0得 由

10000100420103710050k0k068k10230014401770001880000 9（k1k3为不同时为零的权）

本征值为２时为三重简并，代表矢量为

00010001010033;13020;30;001010001000

当90时，有

6000000004020000002020000204000000204020000004020000202000000204000000000得 000000006100000000000100000001010000010000000000010100000000010000000000000001000000000001

100200351570k060k1400771800900

由

0010101代表矢量为

00 设Ｂ的本征值为δ，则det0,即

200000010000000000000100det0000000000010000000000000000001230;451;671;82;92

当1230时

0000000000000001000000000002

200000000010000000000000000000100000000000000000001000000000000000000010000000002 000000001

1000000000得 由

01000000000000000000010000000000000000000100000000000000000001010000000021003300055k1k060k102300004007710000800009

（k1k3为不同时为零的权）

当1230时,为三重简并,代表矢量为:

当451时,有

00000010000300331;21;300;00001000000

300000000020000000001000000000200000000010000000000000000000100000000000000000001 100000000010000000001000000000100000000010000000000000000000100000000000000000001

0得 由

1000000200300050k066k102001407001088000 9(k1k2不同时为零)

000000002;1202001001000451为二重简并,代表矢量为

当671时,有

1000000000000000001000000000000000001000000002000000001000000002000000000得 k1k2不同时为零)

00000000100000000000000000100000000000000000100000000100000000100000000100000000102021003000015060k10k204400700080009000300000000

1由

(

001000002;12021000000671为二重简并,代表矢量为当82时

000001000020000100000000000000000000000010001000000000000000000由

0得 00

00000000000000000000200000300000200000300000400000000000000000000000010000001000000100000010000001

1

111002030050k060k0004700001000000不简并,代表矢量为

00 当92时

4000000008900003000200030000000000000000000000000000200010002000000

000000000000000001

100000000100000000100000000100000000100000000100000000100000000100000000000000000

由

0得 100200300500k060k0400700809091

0000000不简并,代表矢量为

01 (3)求A,B的共同本正矢量完全集:对于A,λ=6本征值是5重简并的,则

i6j620ijij000000200000000000020''02设为,detb0b1b22;b3b42;b50

当b1b22时有

00000000000000002000000400000000400取C11,0,0,0,0或C20，1，0，0，0 100100J010;J12000000000

当b3b42时有

000C1C1000CC00'bC022C30100C00014由

C50 1400001000040000100002000000000000000000000000取C30,0,0,1,0或C40，0，0，0，1

0000000J30;J4100001001

当b50时

2000000020001010000000000020000000002000取C50,0,1,0,0

0C100C00'bC02C300CC404由

C5C5 00C1000C000'bC02C310C3C0401由

C50

0010J520100

200ijij000B'''010

i3j3λ=2是三重简并的

detB'''bE0b12;b21;b30

000000020010010012b2 当1时

0101J600C1C10'''0bC0C20取C1,0,0C002 由 则

100100000000001001b1 2当时C1'''bC00C2C2取C0,1,0由C30200100000010当b30时010000 C10'''bC0C20取C0,0,1由C3C3λ=0时A与B有相同的本征态,即

0010J0701则

000000J0810则

10

001010100A与B的共同本征矢量完全集为J1,J,J23,J,J45,J,J67,J,J89J9