第１５卷第１期 ２０１３年２月 衡水学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＨｅｎｇｓｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＶＯＩ．Ｉ５．Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２０１３ 关于多元多项式的因式分解 姜文英 （衡水学院数学与计算机科学学院，河北衡水０５３０００） 摘要：多元多项式的因式分解是代数学的一项基本内容，是数学科学中既重要又极为困难的问题之一．利用带余除法、 二次型法和导数法三种方法解决因式分解问题，可以使多元多项式的因式分解变的更加简单明了． 关键词：多元多项式；因式分解；带余除法 中图分类号：Ｏ１５１．２１ 文献标ｉ９，￣ｉ５－－Ａ 文章编号：１６７３－２０６５（２０１３）０１．０００５．０２ 多兀多项式是一兀多项式的推广，是多项式理论研究的重要对象．它不但与高次方程的讨论有关，而且 在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到．多元多项式的因式分解是代数学的一项基本内容，也是数 学研究的重要内容之～，又是一个在数学科学中既重要又极为困难的问题，还是符号计算和计算机自动推理中 的最基本算法之一． １ 带余除法分解因式 定义川￣ｆ（ｘｉ，ｘ２ ．，Ｘｎ）与ｇ（ ， ：，．．．，Ｘｎ一 ） Ｆ［ｘｌ， ：，．．．，ｘｎ】中的任意２个多项式，则存在唯一的一对多项 式９（ ，Ｘ２，．．．，Ｘｎ）与 （ ，Ｘ２，．．．，Ｘｎ一 ），使得 ／（ ，Ｘ２，…， ）＝Ｘｎ—ｇ（ ，Ｘ２，…，Ｘｎ一 ））ｇ（ ，ｘ２，…，Ｘｎ）＋ｒ（ｘ１，Ｘ２，…， 一 ） （ ，Ｘ２，．．．，Ｘｎ一。）与ｑ（ｘｌ，Ｘ２，．．．， ）分别叫做Ｘｎ－ｇ（Ｘｘ，Ｘ２，．．．，Ｘｎ一 ）除ｆ（ｘｌ，ｘ２，．．．，Ｘｎ）所得的余式和商式． 定理１ ’ 厂（ ，ｘ２，…，Ｘｎ ｇ（ ，ｘ２，．．．，ｘｎ一 ））＝０的充分必要条件是／（ ，Ｘ２，．．．， ）能被 －ｇ（ｘｌ，ｘ２，．．．，Ｘｎ一 ）整除． 例１ 把多项式 。＋ 。＋Ｚ。一３ｘｙｚ写成２个多项式的乘积． 解令ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ１＝ ＋Ｙ ＋ｚ ～３ｘｙｚ， ｆ（－ｙ－ｚ，Ｙ，ｚ）＝（一ｙ－ｚ） ＋ ＋ｚ 一３（一 —ｚ） ＝０． 由定理１知 ＋Ｙ＋ｚ整除／（ ，Ｙ，ｚ），视ｘ为未知量，Ｙ、ｚ为已知量，用一元多项式里的带余除法，以 ＋（ ）除 －（３ｙｚ）ｘ＋（ｙ ＋ｚ ），有 （３ｙｚ）ｘ＋（ｙ ＋ｚ １＝ （ ＋Ｙ＋ｚ）ｌ 一（ ＋ｚ） ＋（ 一ｙｚ＋ｚ ）ｌ＝ （ｘ＋ｙ＋ｚ）《 ２＋ ２＋ｚ２一ｘｙ—ｙｚ一 ）． ２ 二次型法分解因式 定理２ 一个实二次型ｇ（ ， ，．．．， ）可分解为２个实系数 元一次齐次多项式的乘积的充要条件是，或 者ｑ的秩等于１，或者ｑ的秩等于２且符号差等于０． 例２在实数域上分解因式： 厂（ ，Ｙ，ｚ）＝～３ｘｙ＋１８ｘｚ一６ｘ一２ｙ ＋１７ｙｚ一５ｙ一３０ｚ ＋１６ｚ一２． 解令ｑ（ｘ，Ｙ，ｚ，ｔ１＝一３ｘｙ＋１８ｘｚ一６ ｆ一２ｚ ＋１７ｙｚ一５ｙｔ一３０ｚ ＋１６ｚｔ一２ｔ ， 则ｆ（ｘ， ，ｚ）可分解为２个一次多项式的乘积的充要条件是ｑ（ｘ，Ｙ，ｚ，ｔ）可分解为２个一次多项式的乘积，而 收稿日期：２０１２－０９．２９ 作者简介：姜文英（１９７５一），女，河北故城人，衡水学院数学与计算机科学学院副教授，理学硕士 ６ 衡水学院学报投稿平台：ｈｔｔｐ：／／ｈｓｓｚ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ 第１５卷 ３／２ ９ １７／２ ２ １７／２ ３０ ８ 的 矩 阵 为 ５／２ ＝ 经变量替换一 ０ ９ 『，蚕］：ｆ，３ ４：１—７１７ ／３４ ｔｌ／ｌ ０ ０ ０ （１／８）（３ｙ，＋４ ）（３ 一４ｘ１）＝（３ｘ＋２ 一５ｚ＋１）（一Ｙ＋６ｚ一２）． ｑ（ｘ，Ｙ，ｚ，ｔ）＝一２ ＋（９／８）ｙ ＝（（１／８）（（３ ） 一（４ｘ１） ）＝ 所以ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ１ （３ｘ＋２ｙ一５ｚ＋１３ Ｉ 一一 ０● ）（一ｙ＋６ｚ一２）． ３导数法分解因式 一３、／８； ２ ● ●．、＼ ＼、●●●●● ●●● ，／ 定理 关于多项式Ｆ（ ，Ｘ２，．．．， ），对于某个 （ｉ＝１，２，．．．， ），若Ｆ’ （Ｘ１，Ｘ２，．．．，Ｘｎ）与 ＼、●●● ●，●●● ●／ ｙ Ｚ ｆ 则Ｆ（ｘｌ，Ｘ２ ．， ）可以因式分解，且至少有因式 Ｆ（ｘｌ，Ｘ２，．．．，Ｘｉ ０，Ｘｉ …， ）有公因式， （ ，ｘ２，…， 一 ，０， ＋ ，．．．，ｘ）． 侈０ ３分解因式：（ｘ＋ ） （－ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｚ＋ 一 ）＋（ — ） （ ＋ ＋ｚ）（ ＋ —ｚ）． 解把 、Ｙ看成给定数域Ｐ中的数，原多项式即是关于ｚ的多项式，可以化为： ｆ（ｚ）：（ ＋ ） （一 ＋ ＋ｚ）（ｚ＋ —ｙ）十（ — ） （ ＋ ＋ｚ）（ 十 —ｚ） 厂’（ｚ）＝（ 一．ｙ＋ｚ）（ ＋ ） ＋（一 ＋ ＋ｚ）（ ＋ ） ＋（ ～ ） （ ＋ —ｚ）一（ — ）。（ ＋ ＋ｚ）＝ （ ＋ ） （ｘ－ｙ＋ｚ－ｘ＋ｙ＋ｚ）＋（ — ） （ｘ＋ｙ—ｚ— ～Ｙ—ｚ） （ ＋ ） ２ｚ＋（ｘ— ） （一２ｚ）＝２ｚ（ ＋２ｘｙ＋ｙ 一 ＋２ｘｙ－ｙ ）＝８ ． 厂（０）＝（ ＋ ） （一 ＋ ）（ — ）＋（ — ） （ ＋ ）（ ＋ ）＝（ ＋ ）（ — ） （一 —ｙ＋ｘ＋ｙ）＝０． 厂’Ｚ）与ｆ（Ｏ）有公因式，故可以导数法分解ｆ（ｚ）． ／（ｚ）＝ ’（ｚ ＝２８ｘｙｚｄｚ＝４ｘｙｚ ． 因此（ ＋ ） （一 ＋ ＋ｚ）（ｚ＋ — ）＋（ — ） （ ＋ ＋ｚ）（ ＋ —ｚ）＝４ｘｙｚ ． 参考文献： 【１］刘功琴．多元多项式的因式分解［Ｊ］＿川北教育学院学报，１９９８，８（４）：６７－７０． ［２］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数【Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２００３：２３３． 【３】贾庆兰．多元多项式的因式分解【Ｊ】．沧州师范专科学校学报，２００４，２０（２）：４１－４３． ｏｎ ｔｈｅ Ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ＪＩＡＮＧ Ｗｅｎ—ｙｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｎｇｓｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎｇｓｈｕｉ，Ｈｅｂｅｉ ０５３０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｓ ａｎ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａ，ａｎｄ ｉｓ ｂｏｔｈ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｎｄ ｅｘ— ｔｒｅｍｅｌｙ ｄｉｆｉｃｕｌｆｔ ｉｓｓｕｅ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｃｉｅｎｃｅ．Ｔｈｅ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ，ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｏｒｍ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ；ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ （责任编校：李建明 英文校对：李玉玲）
