线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
2、如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，
N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM． （1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
3、如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的点，AF=AD+FC，
平行四边形ABCD的面积为S，由A、E、F三点确定的圆的周长为t． （1）若△ABE的面积为30，直接写出S的值； （2）求证：AE平分∠DAF；
（3）若AE=BE，AB=4，AD=5，求t的值．
4、如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD
于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB=6，BC=10，求EF的长．
5、已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF
∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．
7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交
DO的延长线于点E，连接AE． （1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC=，求BC的长．
8、如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于
AE对称，AE与AF关于AG对称． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）若AB=2，求△AFD的面积．
9、如图，在
作等边
，连接
中，
，
.
，，为边的中点，以为边
（1）求证：；
（2）若，在边上找一点，使得最小，并求出这个最小值.
参考答案
1、证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF．
2、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB， ∴∠AFN=∠CEM， ∵FN=EM，AF=CE， ∴△AFN≌△CEM（SAS）． （2）解：∵△AFN≌△CEM， ∴∠NAF=∠ECM， ∵∠CMF=∠CEM+∠ECM， ∴107°=72°+∠ECM， ∴∠ECM=35°， ∴∠NAF=35°．
3、解：（1）如图，作EG⊥AB于点G，
则S△ABE=×AB×EG=30，则AB•EG=60，
∴平行四边形ABCD的面积为60； （2）延长AE交BC延长线于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠HCE，∠DAE=∠CHE， ∵E为CD的中点， ∴CE=ED， ∴△ADE≌△HCE， ∴AD=HC、AE=HE， ∴AD+FC=HC+FC，
由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH， ∴∠FAE=∠CHE， 又∵∠DAE=∠CHE， ∴∠DAE=∠FAE， ∴AE平分∠DAF； （3）连接EF， ∵AE=BE、AE=HE， ∴AE=BE=HE，
∴∠BAE=∠ABE，∠HBE=∠BHE， ∵∠DAE=∠CHE，
∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE，即∠DAB=∠CBA， 由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°， ∴∠CBA=90°，
∴AF2=AB2+BF2=16+（5﹣FC）2=（FC+CH）2=（FC+5）2，
解得：FC=，
∴AF=FC+CH=，
∵AE=HE、AF=FH，
∴FE⊥AH，
∴AF是△AEF的外接圆直径，
∴△AEF的外接圆的周长t=π．
4、证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=CE=BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
∴AC=，
∵，
∴AH=，
∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，∴CD=CE=5，
∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，
∴EF=AH=．
5证明：（1）∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴ED=CD，
∵EG=5， ∴CD=10， ∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD=10．
6、（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点， ∴ED是Rt△ABC的中位线， ∴ED∥FC．BC=2DE， 又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形； （2）∵四边形CDEF是平行四边形； ∴DC=EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AB=2DC，
∴四边形DCFE的周长=AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm， ∴BC=25﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52， 解得，AB=13cm.
7（1）∵点O是AC中点，
∴OA=OC， ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， 在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA）， ∴AD=CE， ∵CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形， 又∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD=AD，
∴四边形AECD是菱形；
（2）由（1）知，四边形AECD是菱形， ∴AC⊥ED，
在Rt△AOD中，tan∠DAO==tan∠BAC=，
设OD=3x，OA=4x，
则ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得：=24，
解得：x=1， ∴OD=3，
∵O，D分别是AC，AB的中点， ∴OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=6．
8（1）∵AB与AG关于AE对称，
∴AE⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴AE⊥AD，即∠DAE=90°，
∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线， ∴AF=EF=DF，
∵AE与AF关于AG对称， ∴AE=AF， 则AE=AF=EF， ∴△AEF是等边三角形； （2）记AG、EF交点为H，
∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称， ∴∠EAG=30°，AG⊥EF， ∵AB与AG关于AE对称，
∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°， ∵AB=2，
∴BE=1、DF=AF=AE=，
则EH=AE=、AH=，
∴S△ADF=×．
9（1）证明：在
中，，为边的中点，
∴，.
∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴
∴
（2）解：如图，作点关于直线点，连接交于点.
则点即为符合条件的点.
由作图可知：
，
∴
，
，.
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，
∴,
∴的最小值为.
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