一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(提高) - 副本

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：

． ，当

时，

.

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当 ③当

时，原方程有两个相等的实数根时，原方程没有实数根.

；

3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程 ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出

的值；

的步骤：

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

要点诠释：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.

b2b24ac)（2）一元二次方程axbxc0 (a0)，用配方法将其变形为：(x 2a4a22bb24ac ①当b4ac0时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 2a2

② 当b24ac0时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x1,2③ 当b24ac0时，右端是负数．因此，方程没有实根.

b 2a

要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】

类型一、公式法解一元二次方程

1．解关于x的方程(mn)x(4m2n)xn5m0． 【答案与解析】

(1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为(4m2m)xm5m0． ∵ m≠0，解得x＝1． (2)当m+n≠0时，

∵ amn，b4m2n，cn5m，

∴ b4ac(4m2n)4(mn)(n5m)36m0，

22222n4m36m22n4m|6m|∴ x， 2(mn)2(mn)∴ x11，x2n5m． mn【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．

举一反三：

【高清ID号：388515

关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】 【变式】解关于x的方程x2mx2mx23x(m1)； 【答案】原方程可化为(1m)x2(m3)x20, ∵a1m,bm3,c2,

∴ b24ac(m3)28(1m)(m1)2≥0，

3m(m1)23m(m1) ∴ x,

2(1m)2(1m) ∴ x12,x21. 1m2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m； 【答案与解析】

方程整理为m4m21m4m54m0， ∴ m2m130，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13， ∴ b24ac(2)241(13)56，

222bb24ac(2)562214∴ m114， 22a21∴ m1114，m2114．

【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.

举一反三：

【高清ID号：388515

关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】 【变式】用公式法解下列方程： 【答案】∵a1,b3m,c2m,

∴b4ac(3m)412mm≥0

22222

3mm23mm ∴x 22 ∴x12m,x2m.

类型二、因式分解法解一元二次方程

3．解方程：(x+1)-2(x+1)(2-x)+(2-x)＝0 【答案与解析】

设x+1＝m，2-x＝n，则原方程可变形为： m2mnn0．

∴ (m-n)＝0，∴ m＝n，即x+1＝2-x．

∴ x1x22

2

2

221． 2【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1

看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解． 举一反三：

【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．

【答案】 将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解． 即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0． ∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0． ∴ x1＝-2 x2＝3．

4．如果(x2y2)(x2y22)3，请你求出x2y2的值． 【答案与解析】

设x2y2z，∴ z(z-2)＝3．

整理得：z2z30，∴ (z-3)(z+1)＝0． ∴ z1＝3，z2＝-1．

∵ zx2y20，∴ z＝-1(不合题意，舍去) ∴ z＝3．

即x2y2的值为3．

【总结升华】如果把x2y2视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式

分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算xy，但实际上如果把

222x2y2看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设zx2y2再求z值，从而求出x2y2的值实际就是换元思想的运用．

易错提示:忽视xy0，而得xy3或xy1．

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