1.下列函数:①y=3x2(x∈N+);②y=5x(x∈N+);③y=3x+1(x∈N+);④y=3×2x(x∈N+),其中正整数指数函数的个数为() A.0B.1C.2D.3
【解析】由正整数指数函数的定义知,只有②中的函数是正整数指数函数. 【答案】B
2.函数f(x)=(14)x,x∈N+,则f(2)等于() A.2B.8 C.16D.116
【解析】∵f(x)=(14x)x∈N+, ∴f(2)=(14)2=116. 【答案】D
3.(2013•阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4),则它的解析式为() A.y=(-2)xB.y=2x C.y=(12)xD.y=(-12)x 【解析】设y=ax(a>0且a≠1), 由4=a2得a=2. 【答案】B
4.正整数指数函数f(x)=(a+1)x是N+上的减函数,则a的取值范围
是()
A.aC.0【解析】∵函数f(x)=(a+1)x是正整数指数函数,且f(x)为减函数,
∴0∴-1【答案】B
5.由于生产电脑的成本不断降低,若每年电脑价格降低13,设现在的电脑价格为8100元,则3年后的价格可降为() A.2400元B.2700元 C.3000元D.3600元 【解析】1年后价格为
8100×(1-13)=8100×23=00(元), 2年后价格为
00×(1-13)=00×23=3600(元), 3年后价格为
3600×(1-13)=3600×23=2400(元). 【答案】A 二、填空题
6.已知正整数指数函数y=(m2+m+1)(15)x(x∈N+),则m=______. 【解析】由题意得m2+m+1=1, 解得m=0或m=-1, 所以m的值是0或-1. 【答案】0或-1
7.比较下列数值的大小: (1)(2)3________(2)5; (2)(23)2________(23)4.
【解析】由正整数指数函数的单调性知, (2)3(23)4. 【答案】(1)
8.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨,由此预测,该区下一年的垃圾量为________吨,2020年的垃圾量为________吨.
【解析】由题意知,下一年的垃圾量为a×(1+b),从2012年到2020年共经过了8年,故2020年的垃圾量为a×(1+b)8. 【答案】a×(1+b)a×(1+b)8 三、解答题
9.已知正整数指数函数f(x)=(3m2-7m+3)mx,x∈N+是减函数,求实数m的值.
【解】由题意,得3m2-7m+3=1,解得m=13或m=2,又f(x)是减函数,则010.已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27), (1)求函数f(x)的解析式; (2)求f(5);
(3)函数f(x)有最值吗?若有,试求出;若无,说明原因.
【解】(1)设正整数指数函数为f(x)=ax(a>0,a≠1,x∈N+),因为函数
f(x)的图像经过点(3,27),所以f(3)=27,即a3=27,解得a=3,所以函数f(x)的解析式为f(x)=3x(x∈N+). (2)f(5)=35=243.
(3)∵f(x)的定义域为N+,且在定义域上单调递增, ∴f(x)有最小值,最小值是f(1)=3;f(x)无最大值.
11.某种细菌每隔两小时一次(每一个细菌成两个,所需时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t). (1)写出函数y=f(t)的定义域和值域;
(2)在坐标系中画出y=f(t)(0≤t(3)写出研究进行到n小时(n≥0,n∈Z)时,细菌的总个数(用关于n的式子表示).
【解】(1)y=f(t)的定义域为{t|t≥0},值域为{y|y=2m,m∈N+)}; (2)0≤ty=2,0≤t图像如图所示. (3)n为偶数且n≥0时,y=2n2+1; n为奇数且n≥0时,y=2n-12+1.
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