2019-2020学年北京市陈经纶中学高一上学期期中数学试题(解析版)

一、单选题

1．已知全集UR，能正确表示集合Mxx1和Nx0x2关系的Venn图是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】判断两集合的包含关系，可得出正确选项. 【详解】

Q集合Mxx1，Nx0x2，MN，但

MNx0x1.

因此，能正确表示集合M、N关系的Venn图为A选项. 故选：A. 【点睛】

本题考查利用韦恩图表示集合，关键就是要判断出集合的包含关系，考查推理能力，属于基础题.

2．命题“xR，x20”的否定是（ ） A．xR，x20 C．xR，x20 【答案】B

【解析】由全称命题的否定可得出原命题的否定. 【详解】

由全称命题的否定可知，命题“xR，x20”的否定是“xR，x20”.

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B．xR，x20 D．xR，x20

故选：B. 【点睛】

本题考查全称命题否定的改写，熟悉全称命题的否定是判断的关键，属于基础题. 3．函数fxA．0,1 【答案】B

【解析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数x的不等式组，解出即可得出函数yfx的定义域. 【详解】 由题意可得xlg1x的定义域为（ ）

B．0,1

C．0,1

D．0,1

x0，解得0x1，因此，函数fxxlg1x的定义域为

1x00,1.

故选：B. 【点睛】

本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.

4．下列函数中，在1,1上单调递增的是（ ） A．ylnx 【答案】D

【解析】求出各选项中函数的定义域，并判断各选项中函数在1,1上的单调性，可得出正确选项. 【详解】

对于A选项，函数ylnx的定义域为0,，不合乎题意； 对于B选项，函数yB．y1 xC．yex D．yx3

1的定义域为xx0，不合乎题意； xx对于C选项，函数ye在1,1上为减函数；

对于D选项，函数yx在1,1上为增函数.

3故选：D. 【点睛】

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本题考查函数单调性的判断，在判断时，还应求出函数的定义域，考查推理能力，属于基础题.

5．已知a、b、cR，ab，则下列不等式正确的是（ ） A．acbc 【答案】B

【解析】利用不等式的基本性质、特殊值法对各选项中不等式的正误进行判断. 【详解】

对于A选项，当c0且ab，由不等式的性质可得acbc，A选项中的不等式不正确；

对于B选项，当ab时，ab0，又Qc20，由不等式的性质可得abc0，

2B．abc0

2C．

11 abD．a2b2

B选项中的不等式正确；

对于C选项，取a1，b1，则

11

，C选项中的不等式不正确； ab

对于D选项，取a1，b2，则a2b2，D选项中的不等式不正确. 故选：B. 【点睛】

本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质、比较法、函数单调性以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.

6．若a1，b2，c2，则（ ）

231323333A．cab 【答案】C

B．cba

C．acb

D．bac

22c【解析】利用指数函数y的单调性可得出b、的大小关系，利用幂函数yx33x在区间0,上的单调性可得出a、c的大小关系，从而可得出a、b、c的大小关系. 【详解】 指数函数y232为减函数，所以，22，即

bc， 3332323x1323幂函数yx在区间0,上为增函数，所以，12，即ac.

33第 3 页 共 15 页

因此，acb. 故选：C. 【点睛】

本题考查指数幂大小的比较，考查了指数函数与幂函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

7．设a,bR且ab0，则ab1是aA．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】D

【解析】由题意看命题“ab＞1”与“a＞”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断． 【详解】

若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“a＞”， 若“a＞”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“， 故“ab＞1”是“a＞”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【点睛】

本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．

1的（ ） bB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要

1b1b1b1bx38．函数y＝x的图象大致是( )

31A． B．

C．

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D．

【答案】C

【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；

13取x＝－1，y＝1＝＞0，故再排除B；

123x3→0且大于0，故排除D，选当x→＋∞时，3－1远远大于x的值且都为正，故x31x

3

C.

9．已知fx是定义在R上的偶函数，且在区间,0上单调递增.若实数a满足

f2a1f2，则a的取值范围是（ ）

B．,UA．13, 2213,

22C．0,2 【答案】A

D．,0U2,

【解析】由偶函数的性质可知，函数yfx在0,上为减函数，再利用偶函数的性质将所求不等式化为f2的单调性得出a1【详解】

由于函数yfx是定义在R上的偶函数，且在区间,0上单调递增， 所以，函数yfx在区间0,上为减函数， 由f2可得出2f2，

a1a1利用指数函数y22，x1，解出即可. 2a1f2得f2f2，所以2a1a122，a12，

121111313aa1a即，解得，因此，实数的取值范围是,.

222222故选：A. 【点睛】

本题考查利用偶函数的性质和单调性解函数不等式，同时也涉及了指数函数单调性的应

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用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

10．因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次.由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下 面3个折线图中，所有可以反映这种物资每份价格（单位：万元）的变化情况的是（ ）

A．①② 【答案】B

B．①③ C．②③ D．③

【解析】设公司每月1日用于购买某种物资的金额为a万元，分别求出三种图形下5月1日该公司将此物资全部卖出所得金额，与4a进行大小比较得出答案. 【详解】

设公司每月1日用于购买某种物资的金额为a万元. 图①中四次购买的物资为aa62aaa，5月1日一次卖出物资得到1.250.75151.256215.5aa4a，公司盈利，故①正确； 153aaa49a，5月1日一次卖出物资得到1.250.751.2515图②中四次购买的物资为a14949aa4a，公司亏损，故②错误； 1515aa62aaa，5月1日一次卖出物资得到1.250.7515图③中四次购买的物资为16262aa4a，公司盈利，故③正确. 1515故选：B. 【点睛】

本题考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.

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二、填空题

11．计算273log4log9__________.

32【答案】

113 3【解析】利用指数的运算法则和对数的换底公式可计算出所求代数式的值. 【详解】 原式3133113log322log232314log32log234.

33故答案为：【点睛】

13. 3本题考查指数幂和对数的计算，涉及指数幂的运算律和对数换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

12．若fxax是过点2,的幂函数，则ab__________.

b14

【答案】1

【解析】由函数yfx为幂函数得出a1，再将点2,的坐标代入函数yfx的解析式可得出b的值，从而计算出ab的值. 【详解】

由于函数fxax是幂函数，则a1，fxx，

bb

14

由已知条件得f22b1，b2，因此，ab1. 4故答案为：1. 【点睛】

本题考查利用幂函数的解析式和函数值求参数，同时也考查了指数幂的运算，考查运算求解能力，属于基础题.

13．已知log2xlog2y1，则xy的最小值为_____________. 【答案】22

【解析】【详解】试题分析：由log2xlog2y1可得log2(xy)1,xy2.又

xy2xy22.当且仅当xy2时取等号.

【考点】1.对数的知识.2.基本不等式.

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14．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________． 【答案】3

【解析】由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2， f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.

15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y（万元）与机器运转时间x（年数，xN*）的关系为yx18x25，则当每台

2机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元． 【答案】5 8

25y25x x18【解析】18 8．

xxx当且仅当x5时，等号成立，y8， xmax即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元/年．

2x,x3 16．已知函数f(x)f(x1),x3（1）f(2log23)的值为_________；

（2）当x0时，方程f(x)xa有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是__________.

【答案】6 1,7

【解析】（1）计算出32log234，可得出f2log23f1log23，再利用指数幂的运算法则和对数恒等式可求出f2log23的值；

（2）作出函数yfx在区间0,上的图象，利用数形结合思想求出当直线

yxa与函数yfx在区间0,上的图象有且只有一个交点时实数a的取

值范围. 【详解】

（1）Qlog22log23log24，即1log232，32log234.

x2,x3Qfx，

fx1,x3第 8 页 共 15 页

f2log23f1log2321log2322log23236；

（2）作出函数yfx在区间0,上的图象如下图所示：

当直线yxa过点0,1时，a1；当直线yxa过点3,4时，a7. 由图象可知，当1a7时，直线yxa与函数yfx在区间0,上的图象有且只有一个交点；

当a7时，直线yxa与函数yfx在区间0,上的图象至少有两个交点.

综上所述，实数a的取值范围是1,7. 故答案为：6；1,7. 【点睛】

本题考查分段函数值的计算，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数的交点个数问题，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.

三、解答题

17．已知函数fxx. 2x1（1）写出fx的定义域，并证明fx是奇函数； （2）判断fx在区间1,1上的单调性，并用定义证明.

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【答案】（1）定义域为xx1，证明见解析；（2）减函数，证明见解析. 【解析】（1）由分式的分母不为零可求出函数yfx的定义域，然后利用奇偶性的定义证明出函数yfx为奇函数；

（2）任取1x1x21，作差fx1fx2，通分并因式分解，然后判断

fx1fx2的符号，可证明出函数yfx在区间1,1上为减函数.

【详解】 （1）Qfxx，x210，解得x1， 2x1所以，函数yfx的定义域为xx1，关于原点对称，

Qfxxx12xxfxfx，因此，函数为奇函数； 2x21x1（2）任取x1、x21,1，且x1x2，即1x1x21， 则

22x1x21x2x121x1x2x12x1x1x2x1x2fx1fx22222x11x21x11x21x121x221x1x2x2x1x2x1x2121x21x1x21x2x1

x11x11x21x21，

Q1x1x21，x2x10，1x1x21，则x1x210，且x110，

x110，x210，x210，fx1fx20，即fx1fx2，

因此，函数fx【点睛】

本题考查函数定义域的求解，同时也考查了利用定义证明函数的奇偶性与单调性，考查推理能力，属于中等题.

18．已知集合A为函数ylgx6x8的定义域，集合

x在区间1,1上为减函数. 2x12Bxx24ax3a20.

（1）当a2时，求ðBA；

（2）若ABA，求实数a的值；

（3）设集合CBIN（N为自然数集），若C中有且只有三个元素，请直接写出所

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有的集合C.

【答案】（1）x4x6；（2）0；（3）2,3,4、3,4,5.

【解析】（1）利用对数的真数大于零可解出集合A，将a2代入集合B，并求出集合

B，然后利用补集的定义求出集合ðBA；

（2）由ABA，得出BA，然后分a0、a0和a0三种情况讨论，结合

BA得出关于实数a的不等式组，解出即可；

（3）根据题意可写出符合条件的集合C. 【详解】

（1）解不等式x26x80，即x26x80，解得2x4，则

Ax2x4.

当a2时，Bxx8x120x2x6，因此，ðBAx4x6； （2）QAUBA，BA.

当a0时，Bxx0A，合乎题意；

当a0时，则Bxx4ax3a0x3axa，集合B中的数都是负数，则BA；

当a0时，则Bxx4ax3a0xax3a， 由BA，得222222a2，此时a.

3a4综上所述，a0；

（3）由题意可知，符合条件的集合C有：2,3,4、3,4,5. 【点睛】

本题考查补集的运算，利用集合的包含关系求参数，涉及对数函数定义域的求解，在求参数时，要注意对参数的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题. 19．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。 （1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？

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【答案】（1）fx11xx0，gxxx0；（2）债券类产品投资1682万元时，收益最大，为3万元

【解析】（1）由题意，得到fxk1x，gxk2x，代入求得k1,k2的值，即可得到函数的解析式；

（2）设债券类产品投资x万元，可得股票类产品投资20x万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】

（1）设投资债券类产品的收益fx与投资额x的函数关系式为fxk1xx0， 投资股票类产品的收益gx与投资额x的函数关系式为gxk2xx0， 可知f1k10.125，g1k20.5， 所以fx11xx0，gxxx0. 82（2）设债券类产品投资x万元，则股票类产品投资20x万元， 总的理财收益yfxg20x令tx120x0x20. 8220x，则x20t2，0t25，

20t21112故ytt24t20t23，

8288所以，当t2时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元. 【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 20．已知fxa2x（a0且a1）在区间1,2上的最大值与最小值之和为a21，

gxx2abxab，其中bR.

（1）直接写出fx的解析式和单调性；

（2）若gx1bx对x1恒成立，求实数b的取值范围；

（3）设Dx0x2，若x1D，使得对x2D，都有fx1gx2，求实数

b的取值范围.

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【答案】（1）fx22x，减函数；（2）2,；（3）,6.

31【解析】（1）分0a1和a1两种情况讨论函数yfx在区间1,2上单调性，得出f1f2a1，可解出实数a的值，并判断出函数yfx的单调性；

2（2）由gx1bx，可得出x2bxb10对任意的实数x1恒成立，由参变量分离法得出bx1，求出x1的取值范围，即可得出实数b的取值范围； （3）由题意可得fxmaxgxmax，求出函数yfx在区间0,2上的最大值，然后分b与1的大小关系，求出函数ygx在区间0,2上最大值gxmax，然后解出不等式fxmaxgxmax即可得出实数b的取值范围. 【详解】

（1）当0a1时，函数fxa当a1时，函数fxa2x2x在区间1,2上为增函数；

在区间1,2上为减函数.

2由题意可得f1f2a1a1，即a2a20，

2xQa0且a1，解得a2，fx2，则函数yfx为减函数；

（2）由（1）可得gxx2bx2b，由gx1bx，即

2x22bx2b1bx，即x2bxb10，即x1x1b0对任意的

x1恒成立，即bx1.

Qx1，x12，b2，因此，实数b的取值范围是2,；

（3）Q函数fx22x在区间0,2上单调递减，则fxmaxf04.

由题意可得，fxmaxgxmax.

二次函数gxx2bx2b的图象开口向上，对称轴为直线xb.

2当b1时，且当x0,2时，gxmaxg223b，则33b4，解得b此时1，31b1； 3当b1时，且当x0,2时，gxmaxg0b2，则b24，解得b6，此时1b6.

第 13 页 共 15 页

1综上所述，实数b的取值范围是,6.

3【点睛】

本题考查利用指数型函数的最值求参数，同时也考查了二次不等式在某区间上恒成立，以及函数不等式与全称命题、特称命题的综合问题，转化为函数的最值求解是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.

21．设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：Aa1,a2,L,ai,L,an.其中

aii1,2,3,L,n称为数组A的“元”，i为ai的下标.如果数组S中的每个“元”都来自

数组A中不同下标的“元”则称S为A的子数组.定义两个数组Aa1,a2,L,an，

Bb1,b2,L,bn的关系数为CA,Ba1b1a2b2Lanbn.

B1,1,2,3，（1）若A,，设S是B的含有两个“元”的子数组，求CA,S的最大值及此时的数组S；

1122333222,,B0,a,b,c（2）若A，，且abc1，S为B的含有三333个“元”的子数组，求CA,S的最大值. 【答案】（1）2；（2）1.

【解析】（1）根据题中“元”的含义，可知当S1,3时，CA,S取得最大值为2；（2）对0是否为S中的“元”进行分类讨论：①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，以及B中a、b、c三个“元”的对称性，利用基本不等式计算

CA,S3ab的最大值；②当0不是S中的“元”时，只需计算33abc的最大值即可，最后综上即可得出CA,S的最大值. 3CA,S【详解】

（1）由题意，当S1,3时，CA,S取得最大值2；

（2）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，以及B中a、b、c三个“元”的对称性，

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只需计算CA,S2223ab的最大值，其中a2b2c21， 3由abab2ab2ab222a2b2c22，得2ab2. 当且仅当c=0，ab2时，ab达到最大值2. 2于是CA,S36ab； 333abc， 3②当0不是S中的“元”时，计算CA,S由于a2b2c21，所以

abca2b2c22ab2bc2ca3a2b2c23，

2当且仅当abc3时，等号成立，则abc取得最大值3. 3此时CA,S3abc1. 3综上所述，CA,S的最大值为1. 【点睛】

本题考查集合中的新定义，同时也考查了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要理解题中“元”的定义，同时要对一些“元”是否在集合内进行分类讨论，考查运算求解能力与化归与转化思想的应用，属于中等题.

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