元胞自动机仿真技术

Ｖｏ１．１５　ＮＯ．４　华东冶金学院学报　第１５卷第４期　Ｏｃｔｏｂｅｒ　１　９９８　Ｊ．ｏｆ　Ｅａｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｍｅｔａｌｌｕｒｇｙ　１９９８年１０月　一，　元胞自动机仿真技术　咝（华东冶金学院）　余　亮　陈大宏　　（哈　大学）　摘要元胞自动机仿真技术（ＣＡＳＴ）开创了探索复杂性的新途径，在材料　生物　物理等领域有广泛的应用前景．　是发达国家激烈竞争的重大前沿学科领域．本文综述了ＣＡＳＴ的产生与发展过程，概括了仿真模型的构成要素．评　述了ＣＡＳＴ的典型应用实例．着重指出了ＣＡＳＴ￣对材料进行原子级微观辅助设计的强有力工具．最后，　探讨了ＣＡＳＴ的特点：它抓住了简单性与复杂性这一对主要矛盾，从而触及并体现了其它有关矛盾．诸如局部与整　ｎ　Ｓｉｍ　（　）　［Ｈ　）　ｊｓ　．　，　．　ｒｙ　．　、．　ｊ　ｓｃａ．　１　元胞自动机的产生及发展　５０年代初，计算机创始人、著名数学家．　１＿曾希望通过特定的程序在计算机上实现　类似于生物体发育中细胞的自我复制，为了避免当时电子管计算机技术的限制，他提出了一个简单　的模式，把一个长方形平面划分成若干个网格，每一个格点表示一个细胞或系统的基元，它们的状　态赋值为或１，在网格中用空格或实格来表示，在事先设定的规则下，细胞或基元的演化就用网　格中的空格与实格的变动来描述．这样的模型就是元胞自动机（　，　）．在ｖ　逝世之后长达十多年的时间里，这一开刨性的工作几乎完全停止．１　年剑桥大学的Ｊ．　收稿日期：ｊ　—ｊ２—２６第一作者男，ｊ　年生，副教授　国家白然科学基金资助项目．　‘　维普资讯 http://www.cqvip.com

第４期　何宜柱等：元胞自动机仿真技术　Ｈ．Ｃｏｎｗａｙ［２］编制了一个名为　生命”的游戏程序，井由Ｍ　Ｏａｒｄｎｅｒ通过《科学美国人》的数学游戏　专栏介绍到全世界．该游戏由几条简单法则的组成，细胞的产生　成活或死亡都由局部的细胞密度　所决定．结果细胞或基元在网络中能够产生无法预测的延伸、变形和停止等复杂的模式．　８０年代初以来，物理学家、计算机科学家对元胞自动机模型兴趣大增．Ｓ．Ｗｏｌｆｒａｍ　０系统地研　究了最简单的一维元胞自动机．他把元胞自动机分为４类，第一类的发展导致稳定和均匀的状态，　例如所有的元胞都取０或１．第２类则产生一些简单的结构，或者是稳定的，或者是周期的．第三类　则产生一种无规则的模式．第４类产生的结构在时间与空间上都是极其复杂的．它们分别对应于人　们已经熟悉的不动点、周期行为　自组织现象和混沌状态．Ｓ．Ｗｏｌｆｒａｍ猜想一维元胞自动机也许是　被明确定义的具有复杂的白组织行为的系统中最简单的一种．在自然界里、许多连续动态系统具有　这种能力：从随机的初始状态出发可以走向一种高度有序的结构（雪化就是其中一例）．这种发展过　程可以用吸引子来解释，而Ｓ．Ｗｏｌｆｒａｍ所发现的四种元胞自动机类型中已经明白无误地表现出从　简单吸引子　极限环到奇怪吸引子的各种复杂形式．　１９８６年Ｕ．Ｆｒｉｓｈ等人在Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．上发表了《代替Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｃｋｓ方程的格子气自动机》　文、这种计算机比常规的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｃｋｓ（Ｎ—ｓ）方程数值解法快得多．有人甚至声称它可以代替　部分常规的风洞试验，更有人猜测将来可以在计算机上按微观粒子计算宏观物理量　另外，由于　元胞自动机的运算每次不涉及全局的状态，专家们正在考虑按照这种思想设计新一代的计算机，采　用大规模并行结构（ｍａｓｓｉｖｅｌｙ　ｐａｒａｌｌｅｌ　ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ），最终目的是以较小的代价达到超级计算机的　能力．美国的Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ　Ｐｏｓｔ在１９８５年１１月１９日头版对这一工作作了介绍、　我们正在试图用元胞自动机方法对金属的再结晶过程进行模拟．研究中，关于每一个元胞的计算　仅仅需要知道其紧邻的元胞的状态，所以不需要进行大量的计算，这就允许在元胞自动机模拟中考　虑数量极大的元胞，从而在整个元胞自动机的范围内可以体现出宏观上的金属性能，并因此在微观　粒子的相对简单性和宏观物理过程的相对复杂性之间建立起很好的联系．从这个意义上来说我们　达到的已经不仅仅是普通意义上的学科交叉（如利用地学中发展的数学方法来处理化工生产的过　程），而是使分属于微观和宏观的两门金属科学得到了充分的融合．　现在，元胞自动机无论在关于本身的正规语言等方面还是在各方面的应用上都取得了极大的发　展，而且还与人工神经网络融合形成了元胞神经网络（ｃｅｌｌｕｌａｒ　ｎｅｕｒａｌ　ｎｅｔｗｏｒｋｓ）．这一最新的交叉　学科，被认为是开创了基础科学研究与探索复杂’眭的新途径，成为当前迅速发展的重大前沿科学，　是发达国家激烈竞争的领域．　２　元胞自动机的基本特征　２．１　元胞自动机模型建立的步骤　（１）元胞的划分．对于模拟雪花的生长来说，平面上的六角形点阵合适的．但在大多数情况下　我们更喜欢交叉直线构成的点阵，它由同样的正方形构成．它可以很容易的推广到三维或更高的维　数上去，当然在更高的维数上，我们难以直观地去把握它的图形．好在大多数惊人的发现都发生在　甚至更加简单的一维元胞自动机中．无论元胞自动机的空间维数是多少，它的基本特征应该是：元　胞或基元仅处于离散的格点上．当考虑一维情况时，我们可以把整个表示元胞自动机的状态表示成　形如（……ａ一　ａ０ａＩ－＿）的序列方式，其中ａｉ表示对应格点的状态，下标ｉ表示格点的编号．显然当元胞　自动机的元胞数目和编排不同时，序列的长度和编号方式也是不同的。　维普资讯 http://www.cqvip.com

３ｌＯ　华东冶金学院学报　ｌ９９８年　（２）邻域的定义．在一个给定的元胞点阵中，必须规定每个元胞在计算自己的下一个状态时所　考察的邻域．在一维情况下，可　记为如下形式：ｎ：“＝　：　…．口　ｄ　…ｎ　ｒｌ其中，是一个和ｉ　和ｔ都无关的映射，我们称ｒ为邻域半径，称，为元胞自动机的演化规则．当ｒ取值不同时，便意味　着邻域的不同范围　显然，当，取值非常大时，可　覆盖整个元胞自动机的区域，不过这并不是一般　所考虑的情况，因为这时，元胞的简单性将不再存在，元胞自动机的意义也将随之减弱．在平面正方　网格下，有两种邻域最受注意．Ｖ．Ｎｅｕｍａｎｎ限定每个元胞只注意它四个最邻近的元胞，即上、下左、　右四个邻居．它们被称为ＶＮｅｕｍａｎｎ邻居．ＥＭｏｏｒｅ邻域除了包含元胞的四个邻居外，还包括另　外四个对角的次邻近元胞．显然，通常我们考虑的邻域是局部的和各向同性的．前者保证了运算的　实现，后者则与我们通常的观察一致．　（３）元胞可能出现的状态数目．ＶＮｅｕｍａｎｎ发现了一个自我复制模式，它们元胞具有２９种可　能的状态，但是大多数元胞自动机要简单得多．比如，在研究金属的相变时，由于我们只关心相应的　元胞属于哪一相，显然只要取两种状态０和ｌ来分别代表两种不同的相即可．而有的时候，元胞的　状态也可　比较多一些，比如在研究金属在结晶过程中，我们可　为各种晶粒取向分别标以不同的　状态号，此时我们显然会有一个较大的元胞状态范围．在数学公式里，元胞的状态数就是ａｉ可能的　取值数，或叫做它的域．　（４）元胞状态转变规则．自动机世界之所　多种多样的根源在于，根据一个元胞邻域的当前状　态来确定浚元胞的未来状态的可能规则是非常多的　归根结底我们所已经考察的数目是微不足道　的．根据具体的实际需要，来决定一个合适的演化规则是一件极富创造性的工作．我们在建立关于　金属再结晶的元胞自动机演化规则时，充分利用了物理学中最基本的能量原理，使得演化规则具有　明显的物理意义，从而得出的结果也与物理现象吻合得极好．　２．２　元胞自动机的基本特征１３～ｑ　（１）离散性．元胞自动机是高度离散的．不仅仅空间离散、时间离散，而且在函数值，即元胞的　状态值也是离散的（甚至是０和ｌ构成的逻辑量），这一特性极大地简化了计算和处理的过程，然而　在总体上仍然很好的表现了宏观的物理过程．比之一般的计算过程看上去计算精度似乎要低一些，　但是由于两个原因这个计算的精度不仅没有降低反而更加提高了．一个原因是：微观的自然界本来　就是基于统计力学规律的，我们微观上的准确实际上应该是统计意义上的准确，这与宏观上的准确　是不全一致的．另一个原因在于在离散的元胞自动机的计算中，不存在常规计算中的截断误差，　或者说在无数次的迭代过程中是没有误差积累的．这一点，在常规的所谓精确到双精度数或更高的　计算方法中是完全无法做到的．因此我们可以对一个动力学体系进行长期的模拟从而发现其中的　规律．　元胞自动机的这些特性使得它具有不同于一般计算机离散数值方法的特点．元胞自动机是直　接从物理系统中建立起来离散模型的，不同于一般计算机离散数值方法来自于连续微分方程的离　散化．　（２）动力学演化的同步性．通常我们是在通用计算机上对整个元胞自动机的元胞逐个进行模　拟计算的．当我们考虑它的具体计算过程时，我们还可以发现，元胞自动机的计算由于具有空问和　时问上的一致性，而且更由于这些计算的局限性，如果采用一种许多计算机组成具有元胞点阵结构　的计算网络，那就要好得多．构造这样的机器决不仅仅是一种幻想：网格中的每一台计算机都非常简单，　因此许多计算机可以装在一块半导体芯片上．只有相邻的计算机才需要通讯这一事实也可以大大　维普资讯 http://www.cqvip.com

第４期　何宜柱等：元胞自动机仿真技术　３ｌ１　减低装置的复杂性．　（３）相互作用的局部性．元胞自动机的规则是局部的，而动力学行为则是全局的．在我们对金　属再结晶过程的模拟过程中，具体的晶粒演化过程也是局部的，即仅同周围的元胞有关系．　正是元胞自动机具有利用简单的、局部规则的和离散的方法描述复杂的、全局的、连续系统的　能力，使得它不仅在自己的研究领域而且在科学研究的方法学上对许多相关领域产生巨大影响．　３　元胞自动机应用举例　Ｓ＿Ｗｏｌｆｒａｍ￣他的文章中最早提出用元胞自动机模拟湍流形成过程的思想．Ｕ　Ｆｅｉｓｈ在他的启发　下，采用统计物理中的格子气模型提出了格子气自动机，它可以用来代替Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｃｋｓ方程作流体　的数值计算．　以二维流动为例．先把流动区域划分成许多相同的方格，格子每边长要比通常的差分格式中的　步长小得多．每一格点上有０到４个粒子　每个粒子（质量相同）以单位速度（每步走一格）沿四　个方向之一移动，并且同一格点不允许同时有相同的两粒子．设在时刻ｔ有两个粒子相距两格，方　向相对而行，于是在时刻ｔ＋１发生对撞，对撞后两粒子仍在中间格点，运动方向改为沿另外两个方　向．如果有３个或４个粒子在同一时刻相遇于某一点，则不考虑以上的碰撞规则．规则确定后可以　使它运行．运行的过程有些类似于下棋，只不过下棋时每次只能移动一格棋子，但在元胞自动机里　面每次必须移动所有的棋子．自动机运算过程中作空间上和时间上的统计平均，即得出宏观的力学　量，如动量、能量密度等的分布．这里计算精度只取决统计平均的精度，因为所有中间计算都是Ｂｏｏｌｅ　型的，没有任何舍人误差．　表面上看起来，格子气自动机的运行机理类似于气体分子运动论，但它所考虑的并非真实的气　体，而是一种数学模型，即Ｂ０ｏｌｅ分子．在上述运算规则中只依赖一些基本的物理定律：质量守恒、　能量守恒和动量守恒．在不同的文献中，格子的几何分布是不同的，运行规则也各有不同．但可以　证明这些模型在极限情况下可以收敛到Ｎ—Ｓ方程．这里需要指出的是，元胞自动机方法并不是源　于Ｎ－Ｓ方程的一种近似数值计算方法，而是绕开连续介质模型直接用统计法求解力学量的新方　法，它是Ｎ—Ｓ方程的一种替代．　在金属学研究中，人们已经按照不同的假设建立了许多解析模型，依据这些模型对金属物理过　程的模拟也已经有很长的历史了．最初人们在这些模拟中，仍然走的是类似于解流体力学方程的道路，　即根据解析公式进行数值离散，再在离散网格上进行方程的模拟．尽管金属学家们也取得了许多成　果，但是这背后的计算工作量是十分巨大的，因此所取得的成果也不够令人满意．十分有趣的一点是　在金属学领域里，人人都在谈论原子、位错、晶粒这些必须离散地考虑的对象，但在模拟时却又需　要借助于作为这个离散世界近似的连续方程再次进行离散化的处理，为什么不直接利用基本的物　理学和金属学概念进行直接的离散化处理呢？显然这里的原因需要追溯到还没有计算机的年代，　那时人们可以借助连续的方程或公式来以一种相对简单的方式来对数量巨大的微观金属世界进行比　较准确的描述．后来之所以有利用连续方程来进行离散化处理和计算也不过是因为已经存在一些　现成的公式可以利用．看到这一点以后，我们采取了直接从物理冶金概念出发建立离散的关于金属　学的元胞自动机模型．把空间分割成一系列相同的正方元胞，每个元胞取值为一个正整数几何集合　集合中的每一个数代表一种晶粒取向，或简单地代表一种相，许多相同取向的晶粒聚在一起则　代表一个晶粒，或者不同相的元胞分别属于不同的区域代表相变过程中不同的相，我们建立了依据　维普资讯 http://www.cqvip.com

３ｌ２　华东冶金学院学报　１９９８正　物理冶金原理（主要是能量原理）的局部规则来完成我们的元胞自动机．这里我们强调　局部　的规　则，是为了区别以往连续性方程中的全局性影响．表面上看，我们的规则似乎有些过于简单（简单到　仅仅依赖于极其基本的几条物理冶金原理），简直不足以表现前人用无数复杂公式所表达的无比丰　富的金属物理现象，然而，研究表明Ｆ～　，元胞自动机可以模拟晶粒长大（包括正常晶粒长大．异常晶　粒长大．焊接热影响区晶粒长大）．再结晶（静态再结晶．动态再结晶）及金属凝固等一系列组织转变　过程，是辅助材料设计的有力工具．　４　元胞自动机中的简单与复杂的辨证关系　很长一段历史时期内，自然科学走的一条把复杂问题充分简化的道路．比如把物质分解为分子、　原子、离子和电子，核子等；自然界中的多种多样的力归结为四种基本作用力．弱电统一理论又把基　本作用力减少至三种；固体材料物理性质的研究菏化为电子结构的能带理论和原子振动的晶格动　力学．这些简化的趋势在今天已经被越来越多的科学家所认识．　然而，现代科学正在走相反的道路，从简单性出发来逐步理解自然界的复杂性甚至无比复杂的　生命现象　１１，显然，元胞自动机的异军突起，对研究动力系统等非线性问题的传统方法是个有力　的挑战，为探索复杂性提供了强有力的工具，　在把复杂问题充分简化的过程中无疑是需要付出代价的．当我们把物质分解得越细时，要了解　物质的整体性质就需要了解大量物质基元的总休特性，当我们需要了解更多的性质需要描述更复　杂的金属物理过程时，我们就不得不演化出形式繁杂的数学方程．　抛开具体的物质基元，从总体上来描述物理世界的运动规律时，我们都知道我们在进行一种简　化．而我们往往忽视了，抛开已经过于复杂了的数学方程式，回到基于简单的物理学原理的微元运　动定律也是一种对物理过程研究方法的简化．在运用元胞自动机进行研究的过程中，我们抛开了已　经复杂得求解的解析方程式，而采用了基于物理学原理的新的演化规则，便得问题的本质得以充分　地暴露并从而得到了满意的结果．　在运用连续方程研究金属物理世界的整体现象时，现象越丰富多彩．方程相应地也表现得复杂．　然而在元胞自动机模型中．金属物理世界的复杂与简单并不简单地与演化规则的简单与复杂成对　应关系．这里需要指出的是，以往用人脑难以跟踪的数量巨大的金属微元的演化过程．我们可以借　助计算机的力量轻易地解决．因此，元胞自动机方法在演化规则的简单性以及元胞自动机方法在保　持模型的简单性的前提下揭示物理世界的复杂性的能力尤其令人感到兴奋．　元胞自动机方法表明，基本定律的简单性并不意味着只能得到平凡的结果；相反，基本定律在　多个基元的系统上进行长时间的作用将表现出极端的复杂性并给出有趣的结构和事件．所以自然　界中呈现的丰富多彩的事物和现象并不表示基本定理应该是复杂的，而只在于简单定律的多次重　复使用，造成在物质的不同层次上出现不同的性质；元胞自动机方法另外还揭示的一点是：不仅仅　简单的解析方程式是简单性的表现，作用于相同的数量巨大的基元上的简单的演化规则也是简单　性的表现．后者在揭示物理世界复杂性的研究过程中所具有的能力同样是巨大的．　元胞自动机正是抓住了简单性与复杂性这一对主要矛盾，从而触及并体现了其它有关矛盾：局　部与整体，宏观与微观，线性与非线性，决定性与随机性，数学模型与物理实质，等等．　‘　维普资讯 http://www.cqvip.com

第４期　，　何宜拄等：元胞自动机仿真技术　ＪｌＬｂＩ．１＿－．１－．．｝　３１３　参考文献　１　Ｎｕｍａｎｎ　Ｊ　Ｖ．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｓｅｌｆ—ｒｅｐｒｏｄｕｃｉｎｇ　Ａｕｔｏｍａｔａ　Ｅｄｉｔｅｄ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｌｅｔｅｄ　ｂｙ　Ｂｕｒｋｓ　Ａ　Ｗ，Ｕｎｉｖ．ｏｆ　Ｉｌｌｉｎｏｉｓ　Ｐｒｅｓｓ，Ｃｈａｍｐａｉｇｎ，Ⅱ，１９６６　２　Ｇａｒｄｉｎｅｒ　Ｍ　Ｓｃｉｅｎｔ．Ａｍ．Ｉ９７０，２２３（４）：１２０　５）：１１８，（５）：１１４　３　Ｗｏｌｆｒａｍ　Ｓ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｃｅｌｌｕｌａｒ　Ａｕｔｏｍａｔａ，Ｃｏｍｍｏｎ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙ．Ｉ９８４，９６（１５）　４　Ｗｏｌｆｒａｍ　Ｓ．Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｃｅｇｕｌａｒ　Ａａｔｏｍａｔｆ￣．Ｗｏｒｌｄ　Ｓｃｉｅｕｔｉｆｉｃ．Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ，１９８６　ａ：Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．Ｐｈ　ｉ　Ｄ４５，１９９０　５　Ｇｕｔｏｗｉｔｚ　Ｈ．ｅｄ，ＣｅｌｌｕｌａｒＡｕｔｏｍａｔ６　Ｊａｃｋｓｏｎ　Ｅ，Ａ．Ｐｅｒｓｐｅ￣ｉｖｅ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｄｙｎａｍｉｃｓ　Ｖ　２，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖ．Ｐｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，１９９０　７　Ｈｅ　Ｙｉ　ｚｈｕ，Ｌｅｉ　Ｔｉｎｇｑｕａｎ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｒｅｃｒｙｓｔａｌｌｌｚａｔｉｏｎ　ｂｙ　Ｃｅｌｌｕｌａｒ　Ａｕｔｏｍａｔａ．Ｐｒｏｅｅｃｄｉｎｇｓ　ｏｆ　１０ｔｈ　ＩＦＨＴ，Ｌｏｎｄｏｎ，１９９６　８　Ｈｅｓｓｅｌｂａｒｔｈ　Ｈ　Ｗ，Ｇｏｂｅｌ　Ｉ　Ｒ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｒｅｃｒｙｓｔａｌｌｉｚａｔｉｏｎ　ｂｙ　Ｃｅｌｌｕｌａｒ　Ａｕｔｏｍａｔａ　Ａｃｔａ　Ｍｅｔａｌ１．Ｍａｔｅｒ　１９９１，３９（９）：２１３５～２１４３　９　Ｂｒｏ￣ａ　Ｓ　Ｇ　Ｒ　Ｓｐｉｔｔｌｅ　Ｊ　Ａ．Ｔｗ￣Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ　Ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｄｅｎｄｒｉｔｉｃ　Ｇｒａｉｕ　Ｓｔｒｕｃ－　ｔｕｎｅｓ　ｉｎ　Ｕｎｄｅｒｃｏｏｌｅｄ　Ｍｅｔａｌｓ．Ｍａｔｅｒｉａｌｓ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１９９４（１０）：７９３　１０　Ａｎｄｅｒｓｏｎ　Ｐ　Ｗ．Ｐｈｙｓ．Ｔｏｄａｙ，１９９１，４４（６）：９　１　１　Ｋａｄａｎｏｆｆ　Ｌ　Ｐ．Ｐｈｙｓ．Ｔｏｄａｙ，１９９１，４４（３）：９　（上接３０７页）　３　结　论　（１）测得１４５０℃，Ｆｅ—Ｃ系、Ｆｅ－Ｖ—ｃ系和Ｆｅ—Ｎｂ—ｃ系的热力学数据有：１ｎ谗＝一０．１３３　９，　８．８５５ｌ，《＝０．１４９　８；　＝－２．０９７　０，硭＝一５．７７３　７，　一０，０２４　７；　＝一４．２４１　７，　＝一ｌ１．６３７　４　：一０．０２５７．　（２）ｉ４５０℃，Ｆｅ—Ｖ—Ｃ和Ｆｅ－Ｎｂ—Ｃ系碳的溶解度计算式分别是：ｘｃ＝０．１９８０＋０．４１　５２·　ｖ　和ｘｃ＝０．１９６９＋０　８３５２‘　Ｎ　ｂ＿　（３）１４００～１６００℃范围，Ｆｅ—ｃ系１ｎ佬计算式为：　‘　１　ｌｎ￣ｃ＝一５．０８２　６＋８　４８０·—　参考文献　１　黄希枯．钢铁冶金原理（修订版），北京：冶金工业出版社，１９９０．５８，１８３　２魏寿昆．冶金过程热力学，上海：科学技术出版社，１９８０　１６，３８８　３　Ｃｈｉｐｍａｎ　Ｊ．Ｍｅｔ　Ｔｒａｍ，１９７０，（１）：２１６３　４上田阳．铁　钢．１９７５，（６１）：２６９２　５　陈二保，董元麓，郭上型．金属学报，１９９７，３３（４）