第２７卷 第１期 Ｖｏ１．２７ Ｎｏ．１ 重庆理工大学学报（自然科学） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２０ｌ３年１月 Ｊａｎ．２０１３ ｄ０ｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－８４２５（Ｚ）．２０１３．Ｏ１．０１８ 不同凸交易成本函数下的风险偏好 投资组合模型 韦增欣，韦 鑫，周智超 （广西大学数学与信息科学学院，南宁５３０００４） 摘 要：在原有的含投资者风险偏好参数的投资组合模型的基础上，加入交易成本函数， 使模型更具现实意义。交易成本函数的类型有两大类：凸交易成本函数和凹交易成本函数。将 各种凸交易成本函数运用于含投资者风险偏好参数的投资组合模型中，运用优化的方法求解新 模型。采用拉格朗日乘子法和增广拉格朗日乘子法进行求解，并对模型进行了实例检验。 关键词：风险偏好；投资组合模型；凸交易成本函数；拉格朗日乘子法；增广拉格朗日乘 子法 中图分类号：０２３；Ｆ２２４．９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—８４２５（２０１３）０１－００８８—０７ Ｔｈｅ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ Ｒｉｓｋ Ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ ａｎｄ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ Ｋｉｎｄｓ ｏｆ Ｃｏｎｖｅｘ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ Ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＷＥＩ Ｚｅｎｇ—ｘｉｎ，ＷＥＩ Ｘｉｎ，ＺＨＯＵ Ｚｈｉ—ｃｈａｏ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｎｉｎｇ ５３０００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｒｅ ａｄｄｅｄ ｔｏ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｉｔ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｍｏｒｅ ｒｅａｌｉｓｔｉｃ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｍａｉｎ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｃｏｎｖｅｘ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｃａｖｅ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｏｎｌｙ ａｄｄ ｃｏｎｖｅｘ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｗｅ ｕｓｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ａｎ ａｕｇｍｅｎｔｅｄ Ｌａ－ ｇｒａｎｇｉａｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｏｓｅ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｇｉｖｅ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ；ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ；ｃｏｎｖｅｘ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｍｕｈｉｐｌｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄｓ；ａｕｇｍｅｎｔｅｄ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｍｕｈｉｐｌｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄｓ 收稿Ｅｔ期：２０１２—１０—２４ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１１６１００３） 作者简介：韦增欣（１９６２一），男，广西武鸣人，教授，主要从事优化与管理及金融市场投资理论与技术分析研究。 韦增欣，等：不同凸交易成本函数下的风险偏好投资组合模型 美国学者哈理·马柯威茨凭借其在金融经济 学方面的卓越贡献，获得了１９９０年的诺贝尔经济 ８９ 可避免的。文献［３］介绍了几类交易成本函数。 本文将其中的几类交易成本函数与模型（１）结合， 给出了在这几类交易成本函数下的投资组合优化 模型。运用拉格朗日乘子法和非光滑增广拉格朗 学奖。在他１９５２年发表的《证券组合选择》 中， 分别用期望收益和收益率方差表示预期收益水平 和风险，同时给出以下投资组合优化模型： ａｉｎ ｒ＝ 日乘子法对模型求解，最后给出实例分析。 ｍａｘＥ（Ｒ）＝ｕ １各类交易成本函数下的投资组合优化 ｆ 一或ｆ 模型 【 ≥０ｉ∈Ｎ ｔｗ ≥０ｉ∈Ｎ 其中投资者在 种证券上的投资比例为 ＝（Ｗ ， ， 交易成本函数的类型有很多种，例如凹交易 成本函数和凸交易成本函数，其中：凹交易成本 ）Ｔ，且满足∑ ＝１Ｔ１Ｖ＝１。第ｉ种证券的收 函数包括一次不可微的凹交易成本函数、一次可 ｌ＝ｌ 益率为 ，收益率向量ｒ＝（ｒ ，ｒ２，ｒ３，…， ） 。期望收 微的凹交易成本函数和分段二次凹交易成本函 益率向量“＝Ｅ（ｒ）＝（“ ， ， ，，…， ）Ｔｏ收益率向 数；凸交易成本函数则包括线性交易成本函数、Ｖ 型交易成本函数、分段线性交易成本函数、一次可 量ｒ的方差一协方差阵∑＝（ ） 。证券组合的 微的凸交易成本函数和一次不可微的凸交易成本 收益率为 ＝∑Ｗｉ ，Ｅ（ ）＝Ｅ（∑ＷｉＦｉ）＝ 函数。本文讨论了在凸交易成本函数的情况下， ：１ ０ １ 含风险偏好参数的投资组合的优化方法。 ∑ＷｉＥ（ｒ ）＝ｕ 证券组合的风险，即收益率方差 １．１ 具有线性交易成本函数的情况 ‘：Ｉ 若第 种证券的交易成本是交易金额的ｑｉ倍， 为 ＝Ｄ（ ）＝∑∑Ｗｉ ＝ ∑ＩＶｏ 则交易成本可用函数Ｑ （Ｗ ）＝ｑｉｗ （ｇ ＞０）表示，如 在哈理·马柯威茨构建的投资组合模型中，并 图１所示。那么总交易成本函数是Ｑ（ ）＝ 没有体现出投资者的风险偏好程度。文献［２］在 对哈理·马柯威茨的投资组合模型分析之后，给 ∑Ｑ ｌ ｌ （ ）＝∑ｑｌ ｉｗ 。若令ｑ＝（ｇ ，ｑ ，…，ｇ ） ， 出了一个含风险偏好参数的投资组合模型，具体 则Ｑ（ＩＶ）＝ｑ 。 形式为 ｗ ｎａ （１一Ａ１）Ｔ 一Ａｌ ∑ＩＶ，０≤Ａ１≤１ Ｑ，（ｗ ）＝ｑ Ｗ ｊ【． 一 （１） 伽 ≥０， ∈Ⅳ＋ 模型中Ａ 是投资者风险偏好参数。当Ａ ＝１时， ／ 与投资收益相比，投资者更注重组合的风险大小； 图１ 交易成本函数 当Ａ ＝０时，意味着投资者勇于追逐收益而不重 具有线性交易成本函数的含风险偏好参数的 １ 、 视风险。因此，Ａ＝ 投资组合模型为 Ａ１ 越大，投资者越偏好 风险。 ｍ ａｘ（１一Ａ１）ＵＴ 一Ａ１ ∑ 一ｇ ，０≤Ａ１≤１ 显然，模型（１）没有考虑交易成本。在现实的 投资过程中，交易成本包括印花税和佣金等，是不 ｛ １ ＴＩＶ ＝ 重庆理工大学学报 ｍ ａｘ［（１一Ａ－）Ｍ—ｇ］ 一Ａ ∑ ，０≤Ａ。≤１ ｛ １Ｔｗ＝。Ⅳ＋ 在此情况下，可以用拉格朗Ｆｔ乘子法求解模 型（２），则它的拉格朗日方程为 Ｌ ＝［（１一Ａ ）“一ｑ］ Ｗ— Ａ ∑ ＋ 。（１—１ Ｔ ） 对其一阶求导得 （１ ）ｕ－ｑ－２Ａ。∑ １＝０（３） １—１ ：ｏ （４） 由式（３）可得 二 兰二 二 ： ２Ａ。∑ １∑～［（１一Ａ ）Ｍ—ｇ— 。１】 （５） 将式（５）代人式（４），有 １一ｌ １∑～［（１一Ａ１） —ｇ一 １］＝０ｊ ｌ一１ ＝————————＝＿堕 ＝■ｊ——————一 ㈤ ０ １ １ 再将式（６）代入式（５），有 ｛（１－Ａ１）ｕ－ｑ一型 ） １．２具有Ｖ型交易成本函数的情况 若第ｉ种证券无论买入或是卖出的交易成本 都是交易金额的ｑ 倍，Ｗ？表示投资者的初始资产 ｉ的比例，那么每支证券的交易成本函数均可以表 示为Ｑ （Ｗ ）＝ｑ ｌＷ 一Ｗ？Ｉ（ｑ ＞０），则总交易成本 函数就可以表示成Ｑ（ ）＝∑ｑ ｌ Ｗ —Ｗ？ｌ。 如果Ｗ ＝０（ｉ＝１，…，ｎ），那么总交易成本函 数可以表示成Ｑ（ ）＝∑ｑ ｌ Ｗ ｌ，如图２所示。 具有Ｖ型交易成本的含风险偏好参数的投资组合 模型为 ｍａｘ （１一Ａ ）／／ＴＷ—Ａ ｌｅＴ∑Ｗ一 ∑ｑ Ｉ Ｗ ｌ，０≤Ａ ≤１ Ｅ＝ｌ ｒ１ Ｗ：１ ｛Ｌ ≥０（７） ｉ∈Ｎ 因为在中国的股票市场中，卖空是受到严格 的，而且允许用于卖空的证券品种很少，因此 本文不允许卖空。那么，在具有Ｖ型交易成本函 数的情况下，模型（７）与模型（２）一致，有相同的 最优解。 ｗ Ｑ （ｗ ）＝ｑ， ， ＼ ／ 图２总交易成本函数 １．３具有分段线性凸交易成本的情况 第ｉ种证券的交易成本函数是与该种资产投 资比例有关的线性凸函数，且为分段函数，即 Ｑ （ ）：ＩＬｑｑ２ｌｉｉＷｗ 一（ｑ２ｉ， —ｑ１ ） ， ≤ ≤＜Ｗ ≤１ 该函数如图３所示。 Ｑ．（ｗ，） ０ 图３ 为线性凸函数的第ｉ种证券的交易成本函数 由图３可知，当０≤ ≤ 时，每单位的交易成 本为ｑ 当 ＜１１） ≤１时，每单位交易成本变为 ｑ： ，则具有分段线性凸交易成本函数含风险偏好 参数的投资组合模型为 （ 一Ａ ）“ 一ａ，ｗＴ∑ 一∑Ｑ （ ｔ） ｉ＝１ 韦增欣，等：不同凸交易成本函数下的风险偏好投资组合模型 ９１ ｌ一１ ：０ （１１） ２ （８） 由式（１Ｏ）得： ０ 注意到Ｑ 可以先取Ｑ （Ｗ ） ≤ （Ｗ ）为分段函数，≥ Ａ 二 兰二 二 ： ＝ ０ 的第１段函数即ｑｌｉｗ 代入计算，此时模型（８）与模 型（２）一致，用拉格朗日乘子法可以得到相同的 ２Ａ。∑ ≤ ∈ 解。若得到的所有决策变量Ｗ 都在区间［０，ｗ］内， Ⅳ １∑ ［（１一Ａ１） 一Ｈｎ ｚ１ １（１２） 则停止计算，此时得到的就是模型（８）的最优解。 若出现某个或某些决策变量Ｗ 不在区间［０， ］内 时，则取出不符合条件并且取值最大的变量，改变 其交易成本函数，即用第２段函数ｑ２ｉＷ 一（ｑ： — ｑ ） 替换，其余的决策变量的交易成本函数不变。 然后可以继续用拉格朗日乘子法得出一组解。若 不是所有变量都满足各自的区间要求，则重复之 前的过程。具体算法如下： １）令Ｑ （Ｗ ）＝ｑ Ｗ ，得到解 ＝ ｛（Ｉ－￣Ｉ）Ｕ－ｑ－ ２）若Ｗ （ １，…，ｎ）在区间［０，Ｗ 内，则停止 计算。 ３）否则提出所有不在各自交易成本函数的 区间内的决策变量构成集合，，假设第 支证券满 足 ＝ｍａｘ｛ｗ １ ｗ ∈，｝。 ４）令 （ ）＝ｑ２ｊｗｊ一（ｇ 一ｑｌｊ） ，模型变为 ｍａｘ（１一Ａ ）ＵＴＷ—Ａ ∑Ｗ一∑Ｑｉ ｗ ）一 ［ｇ 一（ｑ 一ｑｌｊ）ｗ］，０≤Ａ１≤１ １ Ｔｗ巩５）构建拉格朗日方程： ￡：＝（１一Ａ。） 一Ａ ∑ 一∑Ｑｉ ｗ ）一 ［９ 一（ｇ 一ｑｌｊ）ｗｌ＋ ２（１—１ Ｔ ） 对其求一阶导数： 将式（１２）代入式（１１），有 ｌ ∑～［（１ ）“一 １］＝０ 一２＝—————————＝＿堕 ＝■ｊ———————一 ｊ （１３） １ １ 再将式（１３）代入式ｆ１２）．有 １∑ １）Ⅱ －一 ｌ ∑ ［（１一 一以 卜２Ａ ｌ ∑ １ ６）若此时的每个决策变量Ｗ 都在各自的交 易成本函数的区间内，则停止计算；否则转步骤 ３）。 １．４具有一次可微的交易成本函数的情况 若第ｉ种证券的交易成本函数是与投资比例 Ｗ 有关的一次可微凸函数Ｑ （Ｗｉ），如图４所示， 那么总交易成本函数Ｑ（Ｗ）＝ＺＱ （Ｗ ）。 Ｑ．（ｗ ） ０ 图４为一次可微凸函数的第ｉ种证券的交易成本函数 具有一次可微凸交易成本函数的含风险偏好 参数的投资组合模型为 ｍ ａｘ（ 一Ａ ） 一Ａ ∑ 一 Ｑ （ ）， ０≤Ａｌ≤１ ＪＬ－ ＝ （１～ｌ４）斗Ｊ ｗ ≥０， ∈Ⅳ 注意到模型（１４）中的目标函数中的Ｑ （Ｗ ） ９２ 重庆理工大学学报 是隐函数，但是由于兵一次司微，根据泰勒公式， 它的一阶近似可以表示为Ｑ （ ）≈Ｑ。（音）＋ Ｑ （ ）（ 一 ）＝Ｃｉ（ ），接下来用Ｃｉ（ ）代 替模型ＩＶ中的Ｑ （Ｗ ），则模型（１４）转变为 击∑ ［（１－￣１）Ｕ－０一 １．５具有一次不可微的交易成本的情况 】 若第ｉ种证券的交易成本函数是与投资比例 Ｗ 有关的一次不可微凸函数Ｑ （Ｗ。），如图５所示， ｍａｘ（１一Ａ ）ＵＴ 一Ａ ∑ 一 那么总交易成本函数Ｑ（ ）＝∑Ｑ （ ）。 耋［Ｑ （ ）＋Ｑ （ ）（ 一 ）］， ０≤Ａ ≤１ ｛ １ Ｔｇ／ ＝ 于是模型简化为 ｍａｘ（１一Ａ ）／／Ｔ１Ｖ—Ａ ∑ 一 一Ｏ／， ０≤Ａｌ≤１ ＩＩ￣Ｖ／一 （１５） Ｌ ≥０，ｉ∈Ｎ 其中： ＝Ｑ （ ）； ＝（Ｑ （ ），Ｑ： （ ），…， Ｑ （ ）） ； ＝ 毫Ｑ （ ）一 Ｑ （ ））。 该模型与之前的模型一样可以用拉格朗日乘 子法进行求解，它的拉格朗日乘子方程为 Ｌ ＝（１一Ａ ）Ｍ 一Ａ ∑ 一 ＯＬ＋ ３（１—１ ） 对其求一阶导数得 ＯＬ３（１一Ａ。）“一２Ａ ∑ 一 一 ３１（１６） ＯＬ３１—１ ：０ （１７） 由式（１６）可得： １∑一［（卜人 ）Ｍ一日一 ３１］（１８） 将式（１８）代入式（１７），有 １一ｌ １∑～［（１一Ａ１）Ｍ一 一 ３１】＝０ｊ ／ｘ３＝ —１ ＝＿＝■ —————一。 １ １， 最后将式（１９）代人式（１８）可得 图５ 一次不可微凸函数的第ｉ种证券的交易成本函数 具有一次可微凸交易成本的含风险偏好参数 的投资组合模型为 ｍａｘ（１一Ａ。） 一Ａ。 ∑ 一Ｑ（ ） ０≤Ａ１≤１ ｆ【 一 （２ｏ） ≥０．ｉ∈Ｎ 目标函数中的Ｑ（ ）是一次不可微凸函数， 即该函数被认为是非光滑的。文献［４］介绍了有 关非光滑目标函数的优化方法，称为非光滑的增 广拉格朗日乘子法。该算法求解的约束问题为 ａｒｉｎ ｌ厂（ ）＋Ｐ（ ） Ｓ．ｔ． ｇ （ ）≤０，ｉ＝１，…，ｍ， ｈ （ ）＝０，ｉ＝１，…，ｐ， ∈Ｘ 其中：函数ｌ厂（ ）、ｇ （ ）（ｉ＝１，…，ｍ）、ｈ （ ）（ｉ＝ １，…，Ｐ）都是连续可微的；Ｐ（ ）是非光滑的凸函 数； ∈Ｒ 是闭凸集。本文将运用该种算法求解 模型（２０）。首先将模型（２０）化为标准形式： Ⅱ ｎ［Ａ ∑ 一（１一Ａ ）ｕ ］＋Ｑ（ ） ０≤Ａ ≤１ ｆ （ ）＝ 一 （２１） 【ｇ （ ）＝一Ｗ ≤０，ｉ＝１，２，…，ｎ 其中令ｇ＝（一 ，一Ｗ：，…，一 ），厂（ ）＝ 韦增欣，等：不同凸交易成本函数下的风险偏好投资组合模型 ９３ Ａ ∑ 一（１一Ａ ） Ｌ１＝Ｏ．０４５ｗｌ一０．０８７ｗ２—５０ｗ 一７５ｗ；＋ 算法： １００ｗ１ ２＋ Ｉ（１一ｚｃ，１一加２） １）取正的递增序列｛ ｝。给定Ａ。∈ ， １ ∈Ｒ，Ｐ。＞０Ｏｗ１ ０．０４５—１００ｗ１＋１００ｗ２一 １＝０ ７－＞０， ＞１。选择任意的初始可行解 和常量 ≥ｍａｘ｛／（ｖ／）， 。（ｖ／￣，Ａ。，／ｘ。）｝。置 １ ＝Ｏ．０８７—１５０ｗ２＋１００ｗ１一 １＝０ Ｏｗ２ ０。其中： （ＩＦ，Ａ，／ｘ）＝Ｐ（ ）＋Ｑ（ ）， ｌ一 一 ：０ Ｐ（ ）＝ｆ（ｖ／）＋ （Ｉｌ［Ａ＋Ｐｇ（ｉｖ）］ 【Ｉ 一 ｃ １ ’将以上方程联立，可得： ＝０．５５５ ６， ： Ｉ ｌ）＋ （ ）＋ ｌ ｌ（ ）ｌｌ 。 ０．４４４ ４。 ２）取近似解 ，求解子问题： ２）具有分段线性凸交易成本的情况： ｍｉｎＬｐ￣（ ，入 ， ） Ｑ （ ）：５０·０３ －， ０≤ ｌ≤０·５ ｒｄｉｓｋ（一 Ｐ（ ），ａＱ（ ）＋Ｎ（ ））≤占 ｔＯ．Ｏ５ｗｌ一０．０ｌ，０．５≤Ｗｌ≤１ 【 （ ，Ａ ， ）≤ Ｑ （ｗ２）：』０·０ ３ ｚ， ０≤ ｚ≤０·５ 其中Ⅳ（ ）是 处的标准正切圆锥。 ｔＯ．０３ｗ２—０．０１３ ５，０．５≤ ２≤１ ３）通过以下等式更新拉格朗日乘子：Ａ¨ ＝ 由步骤１）可知： ＝０．５５５ ６＞０．５， ２＝ ［Ａ ＋ｐ ｇ（ ）］ ； ＝ ＋ｐ （ ）。 ０．４４４ ４，因此，证券１的交易成本函数应该为 ４）令Ｐ“ ＝ｍａｘ｛ｃｒｐ ，ｌ ｌＡ ｌ ｌ， Ｑ （ ）＝０．０５ｗ 一０．０１，０．５≤ ≤１，那么拉格朗 ｌ ｌ¨Ｉ』 ｝。 日方程为： ５）置．ｊ｝＝ ＋１，转步骤２）。 Ｌ２＝０．０２５ｗ１—０．０８７ｗ２—５０ｗ 一７５ｗ；＋ 通过该算法可以解出模型（２０）的最优解，得 １００ｗ１ ２＋０．０１＋ ２（１一 １一Ｗ２） 到具有一次不可微交易成本情况下的最优投资 ＯＬ２＿０．Ｏ２５—１００ １＋ｌ００ ２一 ２：０ 策略。 Ｏｗ ＯＬ２＿：０．０８７—１５０ ２＋１００ ｌ一 ２：０ ２案例分析 Ｏｗ， ＯＬｚ：１一Ｗ１ 一 Ｗ２ ：０ 假设投资者选择２种证券进行组合投资，计 ２ 算时所需要的数据如表１所示。 将以上方程联立，可得： ＝０．５５５ ４， ＝ ０．４４４ ６。 表１案例计算所需数据 ３）具有一次可微的交易成本的情况： Ｑ１（ １）＝０．０３ｗ ＋０．０３ｗ１，Ｑ２（加２）＝０．０１３ｗ；＋ ０．０１３ｗ 。Ｑ （叫 ）和Ｑ：（ ：）的一阶近似为：． ＣＩ（ ）＝Ｑ （ ）＋Ｑ。 （ ）（ 一 ）＝ ０．０６ｗ１—０．００７ ５ 下面计算各种交易成本函数下的最优投资策 略，其中投资者风险偏好参数Ａ 为０．５。 Ｃ２（ ：）＝Ｑ：（丢）＋Ｑ。 （丢）（ 一 １）＝ １）具有线性交易成本的情况：Ｑ （ 。）＝ ０．０２６ｗ２—０．００３ ２５ ０．０３ｗ ，Ｑ （Ｗ：）＝０．０１３ｗ 。其拉格朗日方程为： 则目标函数为 ９４ 重庆理工大学学报 模型中不仅体现了投资者的风险偏好，也体现了 各种类型的凸交易成本函数。主要运用拉格朗日 乘子法和增广的非光滑拉格朗日乘子法求解。今 后将进一步研究在允许卖空和不同类型的凹交易 ｆ＝０．０７５ｗ】＋０．１ｗ２—５０ｗ 一７５ｗ ＋ １００ｗ１Ｗ２一（０．０６ｗ１—０．００７５）一 （０．０２ ６ｗ２—０．００３２ ５）＝０．０１５ｗｌ＋ ０．０７４ｗ２—５０ｗ 一７５ｗ；＋１００ｗｌ ２—０．１０７ ５ 其拉格朗日方程为： 成本情况下的证券组合模型。 Ｌ３：０．０１５ｗｌ＋０．０７４ｗ２—５０ｗ 一７５ｗ ＋ １００ｗ１Ｗ２—０．１０７ ５＋ ３（１一Ｗ１一Ｗ２） 参考文献： 生：００ｌ５一ｌ００ ＋ｌ００ 一 ，：０ Ｏｗ ［１］Ｍａｒｋｏｉｗｔｚ Ｈ＿Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ． 生：００７４一ｌ５０ １９５２（４）：７７—９１． ＋１００彬 一 ３：０ Ｏｗ， ［２］ Ｙｕｓｅｎ Ｘｉａ，Ｂａｏｄｉｎｇ Ｌｉｕ．Ａ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｐｏｒｆｔｏｌｉｏ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｄ 机２ ＝１一Ｗｌ—Ｗ２＝０ ｗｉｔｈ ０ｒｄｅｒ ｏｆ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｒｅｔｕｍ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｏｐｅｒａ— ｔｉｏｎｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，２００ｏ（２７）：４０９—４２２． 将以上方程联立，可得：Ｗ ：０．５５５ ４，Ｗ ： ［３］ 张鹏．可计算的投资组合模型与优化方法研究［Ｄ］． ０．４４４ ６。 武汉：华中科技大学，２００６． 该案例中只选择了２种证券构建投资组合， ［４］Ｚｈａｏｓｏｎｇ Ｌｕ，Ｙｏｎｇ ｚｈａｎｇ．Ａｎ ａｕｇｍｅｎｔｅｄ Ｌ，￣ｇｒａｎｇｉａｎ ａｐ— 若选择２种以上的证券构建投资组合，过程与之 ｐｒｏａｃｈ ｏｆｒ ｓｐａｒｓｅ ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ— 类似。 ｅｍａｔｉｃｓ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ：Ｓｅｔ Ａ，２００８（５）：２５９～２７４． ［５］ 刘红忠．投资学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３． ３结束语 ［６］ 薛毅．最优化原理与方法［Ｍ］．北京：北京工业大学出 版社．２００８． 本文在含风险参数的投资组合模型的基础 （责任编辑刘舸） 上，考虑了投资过程中不可避免的交易成本。在 （上接第７５页） ｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｉｍｅ￣ａｔｅｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｎａｎｏｓｃａｌｅ Ｅｒａ：［Ｓ．ｎ．］， ［６］ 高士咏，段书凯，王丽丹．忆阻细胞神经网络及图像去 ２０１０：１—６． 噪和边缘提取中的应用［Ｊ］．西南大学学报，２０１ｌ，３３ Ｓｔｒｕｋｏｖ Ｄ Ｂ，Ｓｎｉｄｅｒ Ｇ Ｓ，Ｓｔｅｗａｒｔ Ｄ Ｒ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅ ｍｉｓｓｉｎｇ （１１）：６３—７０． ｍｅｍｒｉｓｔｏｒ ｆｏｕｎｄ［Ｊ］．Ｎａｔｕｒｅ，２００８，４５３（７１９１）：８０—８３． ［７ １ Ａｆｉｉｆ Ａ，Ａｙａｔｏｌｌａｈｉ Ａ，Ｒａｉｓｓｉ Ｆ．Ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｉｏｌｏｇｉ— Ｓｎｉｄｅｒ Ｇ Ｓ．Ｓｐｉｋｅ－ｔｉｍｉｎｇ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｌｅａｒｎｉｎｇ ｉｎ ｍｅｍｒｉｓ— ｃａｌｌｙ ｐｌａｕｓｉｂｌｅ ｓｐｉｋｉｎｇ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ ｍｏｄｅｌｓ ＯＮ ｔｈｅ ｔｉｖｅ ｎａｎｏｄｅｖｉｃｅｓ［Ｃ］／／ＩＥＥＥ／ＡＣＭ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏ— ｍｅｍｒｉｓｔｏｒ ｃｒｏｓｓｂａｒ．ｂａｓｅｄ ＣＭＯＳ／ｎａｎｏ ｃｉｒｃｕｉｔｓ『Ｊ １．ＩＥＥＥ ｓｌｕｍ ｏｎ Ｎａｎｏｓｃａｌｅ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓ．ＵＳＡ：［Ｓ．Ｉ１．］，２００８：８５ Ｔｒａｎｓ，２００９，３４：５６３—５６６． ９２． ［８］ ＩＴＣＨ Ｍ，ＣＨＵＡ Ｌ Ｏ．Ｍｅｍｒｉｓｔｏｒ ｃｅｌｌｕｌａｒ ａｕｔｏｍａｔａ ａｎｄ Ａｆｉｆｉ Ａ，Ａｙａｔｏｌｌａｈｉ Ａ，Ｒａｉｓｓｉ Ｆ．ＳＴＤＰ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ ｕ— ｍｅｍｒｉｓｔｏｒ ｄｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅ ｃｅｌｌｕｌｒａ ｎｅｕｒｌａ ｎｅｔｗｏｒｋ８『Ｊ］．Ｉｎ— ｓｉｎｇ ｍｅｍｒｉｓｔｉｖｅ ｎａｎｏｄｅｖｉｃｅ ｉｎ ＣＭＯＳ—Ｎａｎｏ ｎｅｕｒｏｍｏｒｐｈｉｃ ｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ，２０ａｌ９，１９ ｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｅｐｒｅｓｓ，２００９，６（３）：１４８—１５３． （１１）：３６０５—３６５６． ［９］Ｃｈａｂｉ Ｄ，Ｋｌｅｉｎ Ｊ Ｏ．Ｈｉｇｈｔ ｆａｕｌｔ ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｉｎ ｎｅｕｒｌａ ｃｒｏｓｓ— （责任编辑陈松） ｂａｒ［Ｃ］／／Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｔｅｅｈ— ｍ
