2014-2015学年重庆市巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题 1．在，﹣1，0，这四个数中，属于无理数的是（ ）
A．
B．﹣1 C．0
D．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知AB∥CD，若∠E=15°，∠C=55°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．40° C．35° D．45° 4．下列说法中，正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
5．如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（
A．20° B．30° C．35° D．40° 6．比较2，，
的大小，正确的是（ ） A．
B．2
C．2
D．
＜2
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）
7．如果的解也是2x+3y=6的解，那么k的值是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．BE交AC于点F，△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点E，如图，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论；
①BG=EG；②△HEF≌△CBF；③∠AEB+∠ACE=90°；④BG﹣CH=GH；⑤∠AEC+∠ABE=90° 其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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二、填空题 11．
的算术平方根是 ．
12．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，∠B=45°，∠E=30°，BC∥DE，则∠EFB的度数为 ．
13．AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线， ∠C=70°，如图，且∠B=50°，则∠EAD= ．
14．已知鞋子的“码”与“厘米”之间的对应关系如表所示： 码 厘米 34 22 35 22.5 36 23 37 23.5 38 24 设鞋子的“码”为x（码），“厘米”为y（厘米），则y与x之间的函数关系式是 ． 15．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是 个． 16．已知关于x，y的二元一次方程组17．若5﹣
的小数部分为a，若2+
的解互为相反数，则k的值是 ．
的小数部分为b，则a+b= ．
18．一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过 分钟，容器中的水恰好放完．
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19．已知实数m满足+=，则m= ．
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2m和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
三、解答题 21．计算： （1）
（2）（20
22．解方程组： （1）
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）．
（2）．
23．已知：如图，∠B=∠D，∠DAB=∠EAC，AB=AD．求证：BC=DE．
24．端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）这次龙舟赛的全程是 米， 队先到达终点； （2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
25．列方程组解应用题：某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，用14200元恰好购进100件，已知甲种款型T恤进价为130元/件，且甲种款型的每件进价比乙种款型每件进价少30元． （1）求甲、乙两种款型的T恤各购进多少件？
（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款全部售完，乙款剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤商店共获得多少元？
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26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点B作BC的垂线交∠ACB的角平分线于点D，CD与AB边交于点E，过D作DF⊥AB于点F．
（1）若△BDE是边长为2的等边三角形，求AE的长； （2）求证：AE=BF．
27．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．
（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF； ①求证：点F是AD的中点；
②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．
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2014-2015学年重庆市巴蜀中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题 1．在，﹣1，0，A．
这四个数中，属于无理数的是（ ）
D．
B．﹣1 C．0
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，是有理数； ﹣1和0是整数，是有理数； 是无理数． 故选D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项错误． 故选A．
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【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．如图，已知AB∥CD，若∠E=15°，∠C=55°，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．40° C．35° D．45°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠1=∠C=55°，
∴∠A=∠1﹣∠E=55°﹣15°=40°． 故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
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【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义分析各个选项，找到正确选项即可．
【解答】解：A、“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性，故错误；
B、“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛一枚硬币正面朝上与反面朝上的机会是一样的，故错误；
C、“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；
D、在同一年出生的367名学生，而一年中至多有366天，因而至少有两人的生日是同一天． 故选：D．
【点评】本题解决的关键是理解概率只是反映事件发生机会的大小．
5．如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．
【分析】由已知条件，根据线段垂直平分线的性质得到线段及角相等，再利用直角三角形两锐角互余得到∠B=（180°﹣∠ADB）÷2答案可得． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD=DB ∴∠B=∠DAB
∵∠C=90°，∠CAD=20°
∴∠B=（180°﹣∠C﹣∠CAD）÷2=35° 故选C
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解． 6．比较2，
，
的大小，正确的是（ ）
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A． B．2 C．2 D． ＜2
【考点】实数大小比较． 【分析】首先根据2=2，
，
，可得2
；然后根据
，可得
，据此判断出
的大小关系即可．
，
【解答】解：∵2=∴2∵∴∴
， ＜
． ；
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出2和的大小关系． 7．如果
的解也是2x+3y=6的解，那么k的值是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解．
【分析】求出方程组的解x=7k，y=﹣2k，代入2x+3y=6得出关于k的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：①+②得：2x=14k， x=7k，
①﹣②得：2y=﹣4k， y=﹣2k，
把x=7k和y=﹣2k代入2x+3y=6得：14k﹣6k=6， k=， 故选A．
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，
【点评】本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是得出关于k的方程．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可． 【解答】解：当点P由点A向点D运动，即0≤x≤4时，y的值为0； 当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大； 当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；
当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小． 故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
9．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
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A． B． C． D．
【考点】概率公式；轴对称图形．
【分析】由随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况， ∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5=． 故选C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．
10．BE交AC于点F，△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点E，如图，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论；
①BG=EG；②△HEF≌△CBF；③∠AEB+∠ACE=90°；④BG﹣CH=GH；⑤∠AEC+∠ABE=90° 其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】①根据角平分线定义得出∠ABE=∠CBE，根据平行线性质得出∠CBE=∠BEG，从而得出∠ABE=∠BEG，由等腰三角形的判定定理即可得到结论；
②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；
③由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．
④根据∠AEC=180﹣x﹣z，于是得到∠AEC=180﹣（y+90°），推出y+∠AEC=90°，即可得到结论；
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⑤由BG=GE，CH=EH，于是得到BG﹣CH=GE﹣EH=GH．即可得到结论．
【解答】解：①∵BE平分∠ABC，π
∴∠ABE=∠CBE， ∵GE∥BC， ∴∠CBE=∠GEB， ∴∠ABE=∠GEB， ∴BG=GE，故①正确． 同理CH=HE．
②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．
③过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图， ∵BE平分∠ABC， ∴EM=ED， ∵CE平分∠ACD， ∴EN=ED， ∴EN=EM， ∴AE平分∠CAM，
设∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图， 则∠BAC=180°﹣2z，∠ACB=180﹣2x， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x=180°， ∴x+z=y+90°， ∵z=y+∠AEB， ∴x+y+∠AEB=y+90°， ∴x+∠AEB=90°，
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即∠ACE+∠AEB=90°，故③正确． ④∵∠AEC=180﹣x﹣z， ∴∠AEC=180﹣（y+90°）， ∴y+∠AEC=90°， 即∠ABE+∠AEC=90°， 故④正确．
⑤∵BG=GE，CH=EH， ∴BG﹣CH=GE﹣EH=GH． 故⑤正确．
综上，①③④⑤正确，共4个． 故选D．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，难度中等．判断出AE是∠BAC外角平分线是关键，事实上，点E就是△ABC的旁心．
二、填空题包 11．
的算术平方根是 2 ．
【考点】算术平方根． 【专题】计算题．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出【解答】解：∵∴
=4，
=2．
的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
的算术平方根是
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算
12．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，∠B=45°，∠E=30°，BC∥DE，则∠EFB的度数为 75° ．
=4．
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【考点】平行线的性质．
【分析】由平行线的性质得出内错角相等∠BCF=∠E=30°，再由三角形的外角性质得出∠EFB=∠B+∠BCF，即可得出结果． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴∠BCF=∠E=30°，
∴∠EFB=∠B+∠BCF=45°+30°=75°， 故答案为75°．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B=50°，∠C=70°，则∠EAD= 10° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后根据∠EAD=∠BAE﹣∠BAD代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°， ∵AE是△ABC的高线，
∴∠BAE=90°﹣∠B=90°﹣50°=40°， ∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°． 故答案为：10°．
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【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．
14．已知鞋子的“码”与“厘米”之间的对应关系如表所示： 码 厘米 34 22 35 22.5 36 23 37 23.5 38 24 设鞋子的“码”为x（码），“厘米”为y（厘米），则y与x之间的函数关系式是 y=0.5x+5 ． 【考点】根据实际问题列一次函数关系式．
【分析】设鞋长用x表示，鞋码用y表示，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：设鞋子的“码”为x（码），“厘米”为y（厘米），则y与x之间的函数关系式是：y=kx+b，∴解得：
， ，
∴y与x之间的函数关系式是：y=0.5x+5． 故答案为：y=0.5x+5．
【点评】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数解决鞋的长度与鞋码之间的关系是解题关键．
15．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发现其中投到红色、黑色球的频率稳定在5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是 16 个． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】计算题．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．
【解答】解：白色球的个数是：20×（1﹣5%﹣15%）=20×80%=16， 故答案为：16，
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
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16．已知关于x，y的二元一次方程组【考点】二元一次方程组的解．
的解互为相反数，则k的值是 ﹣1 ．
【分析】将方程组用k表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于k的方程，即可求出k的值．
【解答】解：解方程组
得：
，
因为关于x，y的二元一次方程组可得：2k+3﹣2﹣k=0， 解得：k=﹣1． 故答案为：﹣1．
的解互为相反数，
【点评】此题考查方程组的解，关键是用k表示出x，y的值． 17．若5﹣
的小数部分为a，若2+
的小数部分为b，则a+b= 1 ．
【考点】估算无理数的大小． 【分析】先估算出
的大小，再求出a、b的值即可．
【解答】解：∵4＜6＜9， ∴2＜
＜3， ＜3， ﹣2=3﹣﹣2． +
﹣2=1．
．
∴2＜5﹣∴a=5﹣同理，b=∴a+b=3﹣
故答案是：1．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的小数部分即可解决问题．
18．一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过 8 分钟，容器中的水恰好放完．
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【考点】函数的图象；一次函数的应用．
【分析】由0﹣4分钟的函数图象可知进水管的速度，根据4﹣12分钟的函数图象求出水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．
【解答】解：进水管的速度为：20÷4=5（升/分），
出水管的速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升/分）， ∴关停进水管后，出水经过的时间为：30÷3.75=8分钟． 故答案为：8．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
19．已知实数m满足
+
=
，则m= 7 ．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式的性质和化简解答即可． 【解答】解：因为实数m满足可得：m﹣2+可得：m﹣3=4， 解得：m=7， 故答案为：7
【点评】此题考查二次根式问题，关键是根据二次根式的性质和化简分析．
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2m和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过
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+=，
=m，
M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为 或7或8 ．
【考点】全等三角形的判定． 【专题】动点型．
【分析】易证∠MEC=∠CFN，∠MCE=∠CNF．只需MC=NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①， 此时有AM=2t，BN=3t，AC=8，BC=15． 当MC=NC即8﹣2t=15﹣3t， 解得t=7，不合题意舍去；
②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②， 若MC=NC，则点M与点N重合，即2t﹣8=15﹣3t， 解得t=
；
时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，
③当5≤t＜
当MC=NC即2t﹣8=3t﹣15， 解得t=7； ④当
≤t＜
时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，
当MC=NC即2t﹣8=8， 解得t=8； 综上所述：当t等于角形全等． 故答案为：
或7或8．
或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三
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【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题． 三、解答题 21．计算： （1）（2）（20
）
．
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算． 【解答】解：（1）原式=2
﹣3+6﹣10
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=﹣5；
﹣16
﹣6
）÷2
（2）原式=（60=38=19．
÷2
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．解方程组： （1）
（2）．
【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）
，
把①代入②得：10y﹣42+3y=23，即y=5， 把y=5代入①得：x=2， 则方程组的解为
；
（2）方程组整理得：①+②得：7x=14，即x=2， 把x=2代入②得：y=﹣1， 则方程组的解为
．
，
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【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．已知：如图，∠B=∠D，∠DAB=∠EAC，AB=AD．求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】因为∠DAB=∠EAC，从图上可以看出∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，又因为，∠B=∠D，AB=AD，所以很容易证明△DAE≌△BAC，从而得出结论． 【解答】证明：∵∠DAB=∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE， 即∠DAE=∠BAC， 在△DAE和△BAC中∴△DAE≌△BAC（ASA） ∴BC=DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定定理，根据ASA可证明三角形全等，从而可得出结论．
24．端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题： （1）这次龙舟赛的全程是 1000 米， 乙 队先到达终点； （2）求乙与甲相遇时乙的速度；
（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？
，
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【考点】函数的图象．
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得比赛的路程，根据函数图象的横坐标，可得比赛的结果；（2）根据乙加速后行驶的路程除以加速后的时间，可得答案；
（3）分类讨论，乙加速前，乙加速后，根据甲的路程减去乙的路程，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）由纵坐标看出，这次龙舟赛的全程是1000米， 由横坐标看出，乙队先到达终点， 故答案为：1000，乙；
（2）由图象看出，相遇是在乙加速后，加速后的路程是1000﹣400=600米，加速后的时间时3.8﹣2.2=1.6分钟，
乙与甲相遇时乙的速度600÷1.6=375米/分钟； （3）①乙加速前，设行驶x秒时，甲乙相距100米，
x﹣解得x=2；
②乙加速后，设行驶x秒时，甲乙相距100米， ∵∴
解得x=0.4，
∴行驶了2.2+00.4=2.6，
答：在乙队与甲相遇之前，他们行驶2或2.6分钟时相距100米．
【点评】本题考查了函数图象，分类讨论是解题关键，乙加速前的速度，乙加速后的速度，注意相遇时的速度是加速后的速度．
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x=100．
×2.2=550，
x﹣
x=550﹣400﹣100．
25．列方程组解应用题：某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，用14200元恰好购进100件，已知甲种款型T恤进价为130元/件，且甲种款型的每件进价比乙种款型每件进价少30元． （1）求甲、乙两种款型的T恤各购进多少件？
（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款全部售完，乙款剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤商店共获得多少元？ 【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）可设甲种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进y件，根据用14200元恰好购进100件，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程组即可求解； （2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．【解答】解：（1）设甲种款型的T恤衫购进x件，则乙种款型的T恤衫购进y件，由题意得
解得
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件． （2）130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2） =4680+1920﹣640 =5960（元）．
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点B作BC的垂线交∠ACB的角平分线于点D，CD与AB边交于点E，过D作DF⊥AB于点F．
（1）若△BDE是边长为2的等边三角形，求AE的长； （2）求证：AE=BF．
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【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由BD⊥BC，得到∠DBC=90°，由于△BDE是边长为2的等边三角形，于是得到∠DBA=∠BDE=60°，求得∠ABC=∠DCB=30°，得到CD=2BD=4，根据直角三角形的性质即可得到结果；
（2）根据已知条件证得△BDF≌△ACE，即可得到AE=BF． 【解答】解：（1）∵BD⊥BC， ∴∠DBC=90°，
∵△BDE是边长为2的等边三角形， ∴∠DBA=∠BDE=60°， ∴∠ABC=∠DCB=30°， ∴CD=2BD=4，
∴CE=2，∵∠A=90°∠AEC=∠DEB=60°， ∴∠ACE=30°， ∴AE=CE=1；
（2）在△BDF与△ACE中，
，
∴△BDF≌△ACE， ∴AE=BF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
27．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．
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（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF； ①求证：点F是AD的中点；
②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】探究型．
【分析】（1）①如图1，由AF=CF得到∠1=∠2，则利用等角的余角相等可得∠3=∠ADC，然后根据等腰三角形的判定定理得FD=FC，易得AF=FD；
②先利用等腰直角三角形的性质得CA=CB，CD=CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD=BE， ∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，则BE=2CF，再证明∠CBE+∠3=90°，于是可判断CF⊥BE；DG，（2）延长CF到G使FG=CF，连结AG、如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG=CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC=180°﹣∠ACD，所以CD=CE=AG，再根据旋转的性质得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，得到
∠GAC=∠ECB，接着可证明△AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一样可证得CF⊥BE．
【解答】（1）①证明：如图1， ∵AF=CF， ∴∠1=∠2，
∵∠1+∠ADC=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠ADC， ∴FD=FC， ∴AF=FD，
即点F是AD的中点；
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②BE=2CF，BE⊥CF．理由如下： ∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE， 在△ADC和△BEC中
，
∴△ADC≌△BEC， ∴AD=BE，∠1=∠CBE， 而AD=2CF，∠1=∠2， ∴BE=2CF， 而∠2+∠3=90°， ∴∠CBE+∠3=90°， ∴CF⊥BE；
（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．理由如下： 延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2， ∵AF=DF，FG=FC，
∴四边形ACDG为平行四边形， ∴AG=CD，AG∥CD，
∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°﹣∠ACD， ∴CD=CE=AG，
∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°）， ∴∠BCD=α，
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°﹣∠ACD=180°﹣∠ACD， ∴∠GAC=∠ECB， 在△AGC和△CEB中
，
∴△AGC≌△CEB， ∴CG=BE，∠2=∠1， ∴BE=2CF，
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而∠2+∠BCF=90°， ∴∠BCF+∠1=90°， ∴CF⊥BE．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．
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