解析
一、平行四边形
1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H． （1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；
（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．
【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°． 【解析】
试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，
∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；
（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；
（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．
试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形， ∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°， 在△ADG和△CDG中
，
∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG=∠DCG； ②AG⊥BE．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°， 在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠ABE=∠DCF， ∵∠DAG=∠DCG， ∴∠DAG=∠ABE， ∵∠DAG+∠BAG=90°， ∴∠ABE+∠BAG=90°， ∴∠AHB=90°， ∴AG⊥BE；
（2）由（1）可知AG⊥BE．
如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．
∴∠MON=90°， 又∵OA⊥OB， ∴∠AON=∠BOM．
∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°， ∴∠OAN=∠OBM． 在△AON与△BOM中，
∴△AON≌△BOM（AAS）． ∴OM=ON，
∴矩形OMHN为正方形， ∴HO平分∠BHG．
（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．
与（1）同理，可以证明AG⊥BE．
过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N， 与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM， 可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG， ∴∠BHO=45°．
考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质
2．如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2. （1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数； （3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.
【答案】（1）y2或x22x30x3；（2）∠AEC=105°；（3）边BC的长为
117. 2【解析】
试题分析：（1）过A作AH⊥BC于H，得到四边形ADCH为矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出结论．
（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70°．
又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到结论．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 解△ABH即可得到结论．
②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论．
试题解析：解：（1）过A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形． 在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=x1，∴22y2x1， 则y2x22x30x3
（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∴∠AET=∠B=70°．
又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，∴∠AEC=70°＋35°=105°．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°， 则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2． ②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又ACBC2AB2x24，
ADCA则
ACCB1x42x24117x（舍负） x2117． 2易知∠ACE<90°，所以边BC的长为综上所述：边BC的长为2或117． 2
点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=【解析】 【分析】
（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论. 【详解】
解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，
15或12. 211AC=×60=30cm， 22∵CD=4t，AE=2t，
∴AB=
又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，
1CD=2t，∴DF=AE； 2（2）能，
∵DF∥AB，DF=AE，
∴DF=
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10， ∴当t=10时，AEFD是菱形；
（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况： ①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，
则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，
15， 2
则AE=2AD，即2t2(604t)，解得：t=12， 综上所述，当t=
15或12时，△DEF为直角三角形. 2
4．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC． （1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．
【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可； （2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明. 【详解】
(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB ， ∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵AD是边BC上的中线， ∴BD=DC， ∴AE=DC， 又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
(2) 证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线. ∴AD=CD
∵四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是菱形. 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.
5．如图①，四边形ABCD是知形，AB1,BC2，点E是线段BC上一动点(不与B,C重合)，点F是线段BA延长线上一动点，连接DE,EF,DF,EF交AD于点G.设BEx,AFy，已知y与x之间的函数关系如图②所示.
（1）求图②中y与x的函数表达式; （2）求证:DEDF;
（3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形?如果存在，求出x的值;如果不存在，说明理由
【答案】（1）y＝﹣2x+4（0＜x＜2）；（2）见解析；（3）存在，x＝【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式； （2）证明△CDE∽△ADF，得∠ADF＝∠CDE，可得结论； （3）分三种情况：
①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，
②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H， ③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，
5553或或． 422分别列方程计算可得结论． 【详解】 （1）设y＝kx+b，
由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4， 代入得：kb2k2，得，
b4b4∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）； （2）∵BE＝x，BC＝2 ∴CE＝2﹣x， ∴∴
CE2x1CD1,， AF42x2AD2CECD， AFAD∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠DAF＝90°， ∴△CDE∽△ADF， ∴∠ADF＝∠CDE，
∴∠ADF+∠EDG＝∠CDE+∠EDG＝90°， ∴DE⊥DF；
（3）假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形， ①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠DGE＝∠GEB， ∴∠DEG＝∠BEG， 在△DEF和△BEF中，
FDEBDEFBEF， EFEF∴△DEF≌△BEF（AAS）， ∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，
∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2， x＝
5； 4②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，
∵AD∥BC，EH∥CD， ∴四边形CDHE是平行四边形， ∴∠C＝90°，
∴四边形CDHE是矩形，
∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG， ∴HG＝DH＝2﹣x， ∴AG＝2x﹣2， ∵EH∥CD，DC∥AB， ∴EH∥AF， ∴△EHG∽△FAG， ∴∴
EHHG， AFAG12x， 42x2x25555（舍）， ,x222∴x1③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED， ∵AD∥BC， ∴∠GDE＝∠DEC， ∴∠GED＝∠DEC， ∵∠C＝∠EDF＝90°， ∴△CDE∽△DFE， ∴
CEDE， CDDF∵△CDE∽△ADF， ∴∴
DECD1， DFAD2CE1， CD213，x＝， 2255-53或或． 422∴2﹣x＝
综上，x＝【点睛】
本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
6．阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 ． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）． （3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
【答案】（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°. 【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论. （2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.
（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C. （2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD. ∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC， ∴分三种情况讨论：
若AD=CD，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°； 若AD=AC，如图 2，则AB=AC=BC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°； 若AC=DC，如图 3，则可求∠ABC=150°.
考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.
7．在VABC中，ADBC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF//BC，交
DE的延长线于点F，连接CF．
1如图1，求证：四边形ADCF是矩形；
2如图2，当ABAC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线
和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．
【答案】(1) 证明见解析；（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形
AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【解析】 【分析】
（1）由△AEF≌△CED，推出EF=DE，又AE=EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC=90°，即可推出四边形ADCF是矩形．
（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【详解】
1证明：∵
AF//BC，
∴AFEEDC， ∵E是AC中点， ∴AEEC， 在VAEF和VCED中，
AFECDEAEFCED， AEEC∴VAEFVCED， ∴EFDE，∵AEEC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵ADBC， ∴ADC90o， ∴四边形ADCF是矩形．
2∵线段DG、线段GE、线段DE都是VABC的中位线，又AF//BC，
∴AB//DE，DG//AC，EG//BC，
∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形． 【点睛】
考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.
8．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2【解析】
．
试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形， ∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形． （2）∵△AOE和△DOE是友好三角形， ∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3， ∵△AOB与△AOE是友好三角形， ∴S△AOB=S△AOE， ∵△AOE≌△FOB， ∴S△AOE=S△FOB， ∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12． 探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD=S△BCD． ∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的， ∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC， ∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形， ∴BC=A′D=2， 过B作BM⊥AC于M， ∵AB=4，∠BAC=30°， ∴BM=AB=2=BC， 即C和M重合， ∴∠ACB=90°， 由勾股定理得：AC=
，
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2②如图2，
=2
；
∵S△ACD=S△BCD． ∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的， ∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC， ∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形， ∴A′C=BD=2， 过C作CQ⊥A′D于Q， ∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°， ∴CQ=A′C=1，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2； 即△ABC的面积是2或2考点：四边形综合题．
．
9．(1)问题发现
如图1,点E. F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°，连接EF、则EF=BE+DF，试说明理由；
(2)类比引申
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E. F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF； (3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 试题解析：(1)理由是：如图1，
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90∘至△ADG，可使AB与AD重合，如图1， ∵∠ADC=∠B=90∘，
∴∠FDG=180∘，点F. D. G共线， 则∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90∘−45∘=45∘=∠EAF， 即∠EAF=∠FAG， 在△EAF和△GAF中， AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG， ∴△AFG≌△AFE(SAS)， ∴EF=FG=BE+DF；
(2)∠B+∠D=180∘时，EF=BE+DF； ∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90∘至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，
∴∠BAE=∠DAG， ∵∠BAD=90∘,∠EAF=45∘， ∴∠BAE+∠DAF=45∘， ∴∠EAF=∠FAG， ∵∠ADC+∠B=180∘，
∴∠FDG=180∘，点F. D. G共线， 在△AFE和△AFG中， AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF， ∴△AFE≌△AFG(SAS)， ∴EF=FG， 即：EF=BE+DF，
故答案为：∠B+∠ADC=180∘； (3)BD2+CE2=DE2.
理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，
则∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90∘,∠DAE=45∘， ∴∠BAD+∠CAE=45∘， 又∵∠FAB=∠CAE， ∴∠FAD=∠DAE=45∘， 则在△ADF和△ADE中， AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE， ∴△ADF≌△ADE， ∴DF=DE,∠C=∠ABF=45∘，
∴∠BDF=90∘， ∴△BDF是直角三角形, ∴BD2+BF2=DF2， ∴BD2+CE2=DE2.
10．如图，抛物线
交x轴的正半轴于点A，点B（
，a）在抛物线上，点C是
抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作□ABCD，记点C纵坐标为n， （1）求a的值及点A的坐标；
（2）当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；
（3）记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当△AEB的面积为7时，n=___________．（直接写出答案）
【答案】（1）【解析】
， A（3，0）；（2）
试题解析：（1）把点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的值，令y=0即可求出点A的坐标．
（２）求出点D的坐标即可求解；
（3）运用△AEB的面积为7，列式计算即可得解.
试题解析：（1）当由
，得
∴A（3，0）
时，（舍去），
（1分）
（2）过D作DG⊥轴于G，BH⊥轴于H.
∵CD∥AB，CD=AB ∴∴∴（3）
，，
11．如图1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN． （2）若将（1）中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分线上一点，若∠AMN=90°，则AM=MN是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．
（3）若将（2）中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…An“，其它条件不变，请你猜想：当∠An﹣2MN=_____°时，结论An﹣2M=MN仍然成立．（不要求证明）
(n2)1800【答案】
n【解析】
分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．
（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取
一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．
详（1）证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE， BE=AB-AE=BC-MC=BM， ∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°． ∵N是∠ACP的平分线上一点， ∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN， ∴△AEM≌△MCN（ASA）， ∴AM=MN． （2）解：结论成立；
理由：在边AB上截取AE=MC，连接ME．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE， BE=AB-AE=BC-MC=BM， ∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°． ∵N是∠DCP的平分线上一点， ∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．
在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN， ∴△AEM≌△MCN（ASA）， ∴AM=MN．
（3）由（1）（2）可知当∠An-2MN等于n边形的内角时，结论An-2M=MN仍然成立；
n21800即∠An-2MN=时，结论An-2M=MN仍然成立；
nn21800]． 故答案为[
n点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD． （1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（2，4）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由.
（2）若点C在第二象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求点四边形OABC对角线OB长度的取值范围.
（3）若在点C的运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从X轴负半轴经过Y轴正半轴，运动至X轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长.
【答案】（1）正方形（2）25OB6（3）2π 【解析】
分析:（1）连接OB，AC，说明OB⊥AC，OB=AC，可得四边形DEFG是正方形.
（2）由四边形DEFG是菱形，可得OB=AC，当点C在y轴上时，AC=25，当点C在x轴上时，AC=6, 故可得结论； （3）根据题意计算弧长即可.
详解：（1）正方形，如图1，证明连接OB，AC，说明OB⊥AC，OB=AC，可得四边形DEFG是正方形. （2）25OB6
如图2，由四边形DEFG是菱形，可得OB=AC，当点C在y轴上时，AC=25，当点C在x轴上时，AC=6, ∴25OB6 ； （3）2π.
如图3，当四边形DEFG是正方形时，OB⊥AC，且OB=AC，构造△OBE≌△ACO，可得B点在以E（0，4）为圆心，2为半径的圆上运动.
所以当C点从x轴负半轴到正半轴运动时，B点的运动路径为2 .
图1 图2 图3
点睛：本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质以及弧长的计算.灵活运用正方形的判定定理和菱形的性质运用是解题的关键.
13．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F． （1）当点E落在线段CD上时（如图）， ①求证：PB=PE；
②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为画图见解析，成立 ；（3）能，1. 【解析】
2；（2）2分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．
（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立． （3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．
详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC， ∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°． ∴PG=PH，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°． ∵PE⊥PB即∠BPE=90°， ∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH． 在△PGB和△PHE中，
PGB＝PHE， PG＝PHBPG＝EPH∴△PGB≌△PHE（ASA）， ∴PB=PE．
②连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°． ∵PE⊥PB即∠BPE=90°， ∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF． ∵EF⊥PC即∠PFE=90°， ∴∠BOP=∠PFE． 在△BOP和△PFE中，
PBO＝EPFBOP＝PFE PB＝PE∴△BOP≌△PFE（AAS）， ∴BO=PF．
∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴BC=2OB． ∵BC=1，∴OB=∴PF=2， 22． 22． 2∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．
同理可得：PB=PE，PF=
2． 2（3）①若点E在线段DC上，如图1．
∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°． ∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°． 若△PEC为等腰三角形，则EP=EC． ∴∠EPC=∠ECP=45°，
∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，
∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形． ②若点E在线段DC的延长线上，如图4．
若△PEC是等腰三角形， ∵∠PCE=135°， ∴CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP=22.5°．
∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°． ∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER， ∴∠PBR=∠CER=22.5°， ∴∠ABP=67.5°， ∴∠ABP=∠APB． ∴AP=AB=1． ∴AP的长为1．
点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
14．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=
BC；
（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；
（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．
【答案】（1）见解析； （2）EF⊥BC仍然成立； （3）EF=【解析】
试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=
BC，即可；
BC
（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=
BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；
（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=试题解析：（1）连接AH，如图1，
BC，即可．
∵四边形OBFC是平行四边形， ∴BH=HC=BC，OH=HF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，
BC，
∴AH=
∵OA=AE，OH=HF，
=
∴AH是△OEF的中位线， ∴AH=EF，AH∥EF， ∴EF⊥BC，
BC=EF，
∴EF⊥BC，EF=
BC；
（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，
∵四边形OBFC是平行四边形， ∴BH=HC=BC，OH=HF， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB=
BC，AH⊥BC，
BH）2﹣BH2=BH2，
在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（∴AH=BH=BC， ∵OA=AE，OH=HF， ∴AH是△OEF的中位线， ∴AH=EF，AH∥EF， ∴EF⊥BC，BC=EF， ∴EF⊥BC，EF=BC； （3）如图3，
∵四边形OBFC是平行四边形， ∴BH=HC=BC，OH=HF， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB=kBC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC2=（k2-）BC2，
）
∴AH=BH=
BC，
∵OA=AE，OH=HF， ∴AH是△OEF的中位线， ∴AH=EF，AH∥EF， ∴EF⊥BC，∴EF=
BC．
BC=EF，
考点：四边形综合题．
15．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD交于点N．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形 AMCN是菱形，证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．证明见解析； 【解析】
试题分析：（1）由已知条件可得四边形AMCN是平行四边形，从而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90°，利用HL即可证明；
（2）若四边形AMCN为菱形，则有AM=AN，从已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90°，所以有△ABM≌△AFN，从而得AB=AF，因此当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC． ∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四边形AMCN是平行四边形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN． （2）当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形．
∵四边形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°．∴∠BAD－∠NAM＝∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形． 考点：1．矩形的性质；2．三角形全等的判定与性质；3．菱形的判定．
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