绝对值不等式-导学案

【高频考点解读】

1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①|a+b|≤|a|+|b|; ②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.

3.会用绝对值不等式、平均值不等式求解或证明一些简单问题； 【重点知识梳理】 一、绝对值不等式的解法

1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c (2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为，|ax＋b|≥c的解集为R.

2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法： (1)零点分区间法； (2)利用绝对值的几何意义

由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．

3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法

(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)． 二、绝对值不等式的证明

证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法：

1．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． 2．利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． 3．转化为函数问题，数形结合进行证明． 三、绝对值不等式的综合应用

1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题．

2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a. 【高考考点突破】

考点一、绝对值不等式的解法

例1．解不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0.

x

【变式探究】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.

2

【方法技巧】含绝对值不等式的常用解法：

考点二、绝对值不等式的证明

例2、设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.

111

(1)证明：3a＋6b＜4； (2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．

11

【变式探究】已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.

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考点三、绝对值不等式的综合应用 例3．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－2a|.

(1)当a＝1时，求f(x)≤3的解集；(2)当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围．

【高考风向标】

1. 【2015陕西，文24】已知关于x的不等式xab的解集为{x|2x4}

(I)求实数a,b的值； (II)求at12bt的最大值.

2. 【2015新课标1，文24】已知函数fxx12xa,a0 .

（I）当a1 时求不等式fx1 的解集；（II）若fx 图像与x轴围成的三角形面积

大于6，求a的取值范围.

《真题随堂练》

1．（2014·福建卷）已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a. (1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.

2．（2014·广东卷）不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．

513．(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为x－3＜x＜3，则a＝________．





4．[2014·江西卷]对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4