双曲线的离心率

x2y241．已知双曲线221（a0，b0）的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心

ab3率为（ ）

x2y22．过双曲线221(a0,b0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与

ab双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

x2y2a2223．过双曲线221（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆xy的

4abuuuruuuruuur切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OP2OEOF，则双曲线的离心率为

（ ）

x2y24．若点P(2,0)到双曲线221(a0,b0)的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的ab离心率为（ ）

x2y25．已知F1,F2是双曲线221(a0,b0)的两焦点，以点F1为直角顶点作等腰直角三

ab角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

x2y26．如图，F1、F2是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的

ab左右两支分别交于点A、B．若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为

7．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为3的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为

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x2y28．已知点P是双曲线221,a0,b0 右支上一点， F1,F2 分别是双曲线的左、右

ab焦点，I为PF1F2 的内心，若SIPFSIPFSIFF成立，则双曲线的离心率为（ ）

12121222xyF,F9．已知12分别是双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点，O为坐标原点，P为abPF1 与以F2为圆心，双曲线右支上的一点，且Q 恰好是PF1OF2为半径的圆相切于点Q，

的中点，则双曲线C的离心率为（ ）

x2y210．已知双曲线221a0,b0的渐近线与实轴的夹角为30o，则双曲线的离心率为

ab（ ）

x2y211．已知A是双曲线221(a0,b0)的左顶点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，

abuuuruuurP为双曲线上一点，G是PF1F2的重心，若GAPF1，则双曲线的离心率为

x2y212．双曲线221（a0，b0）的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线

ab的右支交于A、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2（ ）

y2x213．设双曲线221(a0,b0)的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心

ab率等于( )

x2y214．设双曲线C：221a0,b0的离心率为e，右顶点为A，点Q3a,0，若C上

abx2y2存在一点P，使得APPQ，则15．过双曲线221(a0,b0)的右顶点A作斜率

ab为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C．若2ABBC，则双曲线的离心率是（ ）

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x2y216．已知F1、F2分别是双曲线C:221的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰

ab落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为

x2y217．设F1、F2分别为双曲线221(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使

ab得|PF1||PF2|3b，|PF1||PF2|ab，则该双曲线的离心率为（ ） 18．若点P是以F1,F2为焦点的双曲线x2294ay21上一点，满足PF1PF2，且PF12PF22b，

则此双曲线的离心率为 ．

222xyy2px(p0)19．已知F为抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线221(a0,b0)的两ab条渐近线分别交于A、B两点．若AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．

x220．如图，F1,F2是椭圆C1:y21与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二，

4第四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ．21．双曲线

x2y2x2y211C1:221与双曲线C2:221的离心率分别为e1和e2，则22 ．

e1e2abab22．已知双曲线的左焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双

曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．

x2y223．设F1、F2分别为双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在

abuuuruuuur一点P，使PF1PF20,且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率

为 ．

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参考答案

1．A 【解析】

b25b4试题分析：由渐近线方程得，e12．故选A．

a3a3考点：求双曲线的离心率． 2．D 【解析】

c2a2c2b试题分析：由题意23，即429，所以5210，即

aaa5e10．

考点：双曲线的性质．

【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e=是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1． 3．C 【解析】

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uuuruuuruuuruuur1uuuruuur试题分析：由OP2OEOF得OE(OPOF)，所以E是FP的中点，

2设F2是右焦点，则O是FF2的中点，所以OE//F2P，又E切点，即

OEFP，所以F2PPF，PF22OEa，点P双曲线上，故PFPF22a，所以PF3a，于是由PFPF2FF2c210c10(3a)a(2c)，得2，即e，故选C．

a2a4222222有

考点：双曲线的几何性质． 4．A 【解析】

x2y2试题分析：双曲线221的一条渐近线为bxay0，由题意

ab2ba2b22，化简得ab，所以ca2b22a，ec故选A． 2，a考点：双曲线的性质． 5．A 【解析】

试题分析：由等腰直角三角形

2b251F1F2MF12cc2aca20 e2e10 e

2aMF1F2得

考点：双曲线方程及性质 6．B

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【解析】

试题分析：因为ABF2为等边三角形，不妨设ABBF2AF2m，A为双曲线上一点，F1AF2AF1AABF1B2a，B为双曲线上一点，则

BF2BF12a,BF24a,F1F22c，由ABF260，则F1BF2120，在VF1BF2中应用余弦定理得：4c24a216a222a4acos120，得c27a2，则

e27e7．

考点：双曲线的简单性质 7．D 【解析】

x2y2试题分析：不妨设双曲线的标准方程为221a0,b0，则其“伴

abx2y2b2cb2生椭圆”的方程为221．Q312，解得22，所以其

aabaaa22“伴生椭圆”的离心率e12；故选D．

b2考点：双曲线的简单性质 8．C 【解析】

试题分析：如图，设圆I与VPF1F2的三边F1F2,PF1,PF2分别相切于点

E,F,G，连接IE,IF,IG，则IEF1F2,IFPF1,IGPF2，它们分别是

VIF1F2,VIPF1,VIPF2的

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高，

1r1rSVIPF1PF1IFPF1,SVIPF2PF2IGPF2,22221rSVIF2F1F2F1IEF2F1，其中r是VPF1F2的内切圆的半

22r1rrr径．QSVIPF1SVIPF2SVIF1F2，PF1PF2F1F2，两边约去得：

222241，根据双曲线定义，得PF1PF2F1F221cPF1PF22a,F1F2c,2ac，所以离心率为e2，故选C．

a2

考点：双曲线的离心率

【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况①，直接求出a,c，从而求出e②构造a,c的齐次式，求出e③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于e的不等式，解出e的取值范围。本题中，根据题设条件I为PF1F2 的内心，又

1可以建立关于焦半径和焦距的关系。从而找出a,cSIPF1SIPF2SIF1F2，

2之间的关系，求出离心率e。 9．A 【解析】

试题分析：由题意OF2为半径的圆相切于点Q，且Q 恰好是PF1的中点，连接F2Q,则F2QPF1，PF2F1F22c,PQQF2,P为双曲线右支上的

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一点，所以PF1PF22a,即PF12c+2a，F1Qc+a,在直角三角形

22a2ac2c0,式子F1QF2,QF2QFF1F2,(ac)c(2c)，化简得

221222222e2e10,解得e13，又因为的两端同乘以a，可得

22e1,e13，所以应选A． 2考点：双曲线的离心率 10．C 【解析】

试题分析：渐近线方程为yx．由于渐近线与实轴夹角为30，所以tan30babab233，所以e1()2，故选C． 3a3考点：离心率计算问题． 11．B 【解析】

uuuruuur试题分析：若GAPF1,所以GA//PF1，又因为G是PF1F2的重心，所

以

OAOG1a1c，所以,e3，故选B．

c3aOF1OP35 / 16下载文档可编辑

108642PGO5F21015F115105A246 考点：1．双曲线的几何性质；2．三角形重心的性质． 12．C 【解析】

试题分析：由双曲线的定义可得AF1AF22a,BF1BF22a，两式相加可得AF1BF1AB4a，因为AF1AB，所以BF14a，代入

BF1BF22a可得BF22a．

因为A90o，

BF14a所以

AF1AB22a，

AF2ABBF22a221．

c220a82a，所以e2522．故C

a22所以4cF1F2AF1AF22222正确．

考点：双曲线的定义． 13．A 【解析】

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试题分析：由题知：双曲线的渐近线为 yx，所以其中一条渐近线可以为 yx，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以

a xx21只有一个解 bababa5222222所以  40a4bQcab5bc5beb22考点：双曲线的简单性质 14．A 【解析】

试题分析：根据题意可知，点P在以(2a,0)为圆心，以a为半径的圆上，可以得到圆的方程为(x2a)2y2a2，该题可转化为圆与双曲线有除

x2y2212右顶点以外的公共点，即方程组有解，联立消元得ab(x2a)2y2a2b223a2b222(12)x4ax3ab0，其中一个根为xa，另一个根为，2baaa3a2b2根据题意可知(a,3a)，整理得a2b2，即a2c2a2，从而解得2baae2，结合双曲线的离心率的取值范围，可知e(1,2)，故选A.

考点：双曲线的离心率. 15．C 【解析】

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试题分析：过右顶点A斜率为1的直线为yxa，与渐近线yxa2a2ababb,C,联立可得B，与渐近线联立可得yx，aababababa2a2a2a由2ABBC可得2，整理得b2ae5 abababba考点：1．双曲线方程与性质；2．直线方程；3．向量的坐标运算 16．B 【解析】

试题分析：由题意得到渐近线的距离近线交于点，可得

，所以

，而

， 双曲线的渐近线方程为；关于渐近线的对称点为，与；而为；在三角形，可得

的中点，为

中，，所以离心率

，与渐

的中点，所以

，即．选B．

考点：双曲线的标准方程与几何性质．相关知识点：点到线的距离

；双曲线

，离心率

，

．

【思路点睛】首先设出点F2的坐标（c，0），然后作出其关于渐近线

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的对称点A，连接F1A（如上图）．易得F1A∥OB，且F1A=2BO．然后可求出点F2到渐近线的距离为b，OB=a，所以F1A=2a，AF2=2b，同时可得，F1AAF2，最后由勾股定理即可求出b，c的关系，进而求出离心率． 17．B 【解析】

试题分析：由双曲线定义根据点P为双曲线上一点，所以

PF1PF22a，

1又

|PF1||PF2|3b，所以

PF1PF2PF2PF224PF1PF2又因为

|PF1||PF2|9ab4，所以有

c2b225b4b12e2129b24a29ab解得a3或aaa9，即3（舍），所以e53，故选择B

考点：双曲线性质 18．5 【解析】

试题分析：由双曲线的定义可知PF1PF22PF2PF2PF22a,

QPF1PF2,PF1PF2F1F2,即5PF24c2．

222252a4c2,5ac,e2c5． a9 / 16下载文档可编辑

考点：1双曲线的定义；2双曲线的离心率． 19．5 【解析】

试题分析：抛物线的准线方程为xypbpb）， x,则交点A（-,22aap，双曲线的渐近线方程为2B（-,p2bpbpb）．所以要使AFB为直角三角形，根据对称性有p2,2a2aa所以e1()25． 考点：求双曲线的离心率。

cb2【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题，因e,e12,所以只

aaba需找到a,c或a,b的关系即可，因此只需题中提供一个等量关系式即可，不需求出a,c,b的具体的值。如本题中AFB为直角三角形，根据对称性即为

6． 2bpp，从而求出a,b的一个关系，进而求出离心率。 2a20．

【解析】 试

题

分

析

：

由

题

意

，

AF1AF22a42(AFAF)8AF2AF122，∴C2的离心率22122AF1AF24c12e326． 210 / 16下载文档可编辑

考点：椭圆、双曲线的标准方程及其性质． 21．1 【解析】

a2b2a2b2y2x2e1,e2,C2:22122abba试题分析：由题意得：，所以11a2b22222212e1e2abab

考点：双曲线离心率 22．【解析】

试题分析：设直线方程为

代入双曲线方程得，

．依题意知，方程应有一正根一负根，

所以两根之积小于零即

．

考点：求离心率范围． 23．5 【解析】

试题分析：根据题意可得PF1PF2,PF1PF2,F1F2PF1PF2

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,∴,故

因为三角形的三边长构成等差数列，所以有2PF1F1F2PF22cPF①，又双曲线的定义可知，PF1PF22a即PF1PF22a，②．联立①②可得

PF12c2a,PF22c4a,22因为

PF1PF2，所以

PF21PF22F1F22,即

2c2a2c4a4c222，整理可得c6ac5a0解得e5

考点：双曲线性质

（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）

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