助线作法归类含详解
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．
作辅助线的方法主要有以下几种：
(1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．
图11－S－1
类型一 作平行线构造“A”型或“X”型相似
1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．
图11－S－2
1
2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F.
AE2AF
求证：DE＝BF. 图11－S－3
3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S－4，在△ABCCF1
中，D是BA延长线上一动点，点F在BC上，且BF＝2，连接DF交AC于点E.
AD
(1)如图①，当E恰为DF的中点时，请求出AB的值；
DEAD
(2)如图②，当EF＝a(a＞0)时，请求出AB的值(用含a的代数式表示)． 思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：
甲：过点F作FG∥AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题； 乙：过点F作FG∥AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；
丙：过点D作DG∥BC交CA的延长线于点G，构造相似三角形解决问题． 老师说：“这三位同学的想法都可以”．
AD
请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AB的值．
2
图11－S－4
类型二 作平行线转换线段的比
AF
4．如图11－S－5，B为AC的中点，E为BD的中点，求AE的值．
图11－S－5
3
5．如图11－S－6，已知等边三角形ABC，D为AC边上的一动点，CD＝nDA，连接BD，M为线段BD上一点，∠AMD＝60°，连接AM并延长交BC于点E.
BEBM
(1)若n＝1，则CE＝______，DM＝______； (2)若n＝2，如图②，求证：BM＝6DM；
(3)当n＝________时，M为BD的中点(直接写出结果，不要求证明)．
图11－S－6
6．2017·朝阳已知：如图11－S－7，在△ABC中，点D在AB上，E是BC的延长线上一点，且AD＝CE，连接DE交AC于点F.
(1)猜想证明：如图①，在△ABC中，若AB＝BC，学生们发现：DF＝EF.下面是两位学生的证明思路：
思路1：过点D作DG∥BC，交AC于点G，可通过证△DFG≌△EFC得出结论； 思路2：过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H，可通过证△ADF≌△HEF得出结论．
4
„„
请你参考上面的思路，证明DF＝EF(只用一种方法证明即可)．
(2)类比探究：在(1)的条件下(如图①)，过点D作DM⊥AC于点M，试探究线段AM，MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论．
AB
(3)延伸拓展：如图②，在△ABC中，若AB＝AC，∠ABC＝2∠BAC，BC＝m，请你用尺规作图在图②中作出AD的垂直平分线交AC于点N(不写作法，只保留作图痕迹)，并用含mFN
的代数式直接表示AC的值．
图11－S－7
类型三 作垂直证相似
7．如图11－S－8，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AB的中点，M，N分别为边AC，CB上的点，且DM⊥DN.
DMBC
(1)求证：DN＝AC；
(2)若BC＝6，AC＝8, CM＝5，直接写出CN的长．
图11－S－8
5
8．如图11－S－9，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD. 问题引入：
(1)如图①，当D是BC边的中点时，S△ABD∶S△ABC＝________；当D是BC边上任意一点时，S△ABD∶S△ABC＝________(用图中已有线段表示)．
探索研究：
(2)如图②，在△ABC中，O是线段AD上一点(不与点A，D重合)，连接BO，CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
(3)如图③，O是线段AD上一点(不与点A，D重合)，连接BO并延长交AC于点F，连ODOEOF
接CO并延长交AB于点E.试猜想AD＋CE＋BF的值，并说明理由．
图11－S－9
9．如图11－S－10，已知一个直角三角形纸片ACB，其中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分别是AC，AB边上的点，连接EF.
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(1)如图①，若将直角三角形纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且S四边形ECBF＝3S△EDF，则AE＝________；
(2)如图②，若将直角三角形纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且MF∥CA，求EF的长；
4AF
(3)如图③，若FE的延长线与BC的延长线相交于点N，CN＝1，CE＝7，求BF的值．
图11－S－10
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详解详析
1．解：如图，过点O作OM∥BC交AB于点M.
∵O是AC的中点，OM∥BC， 1
∴M是AB的中点，即MB＝2a， 11
∴OM是△ABC的中位线，OM＝2BC＝2b. ∵OM∥BC， ∴△BEF∽△MEO， BFBE∴MO＝ME，
BFcbc即1＝a，∴BF＝. a＋2c
2b2＋c
2．证明：如图，过点D作DG∥CF交AB于点G.
∵DG∥CF，D为BC的中点， 1
∴G为BF的中点，FG＝BG＝2BF. AEAFAF2AF
∵EF∥DG，∴DE＝GF＝1＝BF. 2BF3．解：(1)甲同学的想法：如图①，过点F作FG∥AB交AC于点G，
∴△AED∽△GEF，
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ADED∴GF＝EF. ∵E为DF的中点，∴ED＝EF，∴AD＝GF. GFCF
∵FG∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴AB＝CB. CF1CF1ADGFCF1∵BF＝2，∴CB＝3，∴AB＝AB＝CB＝3. 乙同学的想法：如图②，过点F作FG∥AC交AB于点G，
ADED∴AG＝EF. ∵E为DF的中点，∴ED＝EF，∴AD＝AG. AGCF
∵FG∥AC，∴AB＝CB. CF1CF1ADAGCF1∵BF＝2，∴CB＝3，∴AB＝AB＝CB＝3. 丙同学的想法：如图③，过点D作DG∥BC交CA的延长线于点G，
GDED
∴∠C＝∠G，∠CFE＝∠GDE，∴△GDE∽△CFE，∴CF＝EF. ∵E为DF的中点， ∴ED＝EF， ∴GD＝CF.
∵DG∥BC，∴∠C＝∠G，∠B＝∠ADG， ∴△ADG∽△ABC，
ADDGCF1CF1∴AB＝BC.∵BF＝2，∴BC＝3.
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ADDGCF1∴AB＝BC＝BC＝3. (2)如图④，过点D作DG∥BC交CA的延长线于点G，
GDED
∴∠C＝∠G，∠CFE＝∠GDE，∴△GDE∽△CFE，∴CF＝EF. DE
∵EF＝a，∴ED＝aEF， ∴DG＝aCF.
∵DG∥BC，∴∠C＝∠G，∠B＝∠ADG， ∴△ADG∽△ABC， ADDG∴AB＝BC. CF1CF1
∵BF＝2，∴BC＝3，即BC＝3CF. ADDGaCFa∴AB＝BC＝3CF＝3. 4．解：取CF的中点G，连接BG. BG1
∵B为AC的中点，∴AF＝2，且BG∥AF. 又E为BD的中点，∴F为DG的中点， EF1EF1∴BG＝2，∴AF＝4， AF4∴AE＝3. 5．解：(1)当n＝1时，CD＝DA. ∵△ABC是等边三角形，
∴BD⊥AC，∠BAC＝60°，∴∠ADM＝90°. 又∵∠AMD＝60°，
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∴∠MAD＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC－∠MAD＝30°， 即∠BAE＝∠EAD，
BE
∴AE为△ABC的中线，∴CE＝1.
1
在△AMD中，DM＝2AM(30°角所对的直角边等于斜边的一半)． ∵∠BAM＝∠ABM＝30°，∴AM＝BM， BM∴DM＝2.
(2)证明：∵∠AMD＝∠ABD＋∠BAE＝60°， ∠CAE＋∠BAE＝60°，∴∠ABD＝∠CAE. 又∵BA＝AC，∠BAD＝∠ACE＝60°， ∴△BAD≌△ACE(ASA)，
∴AD＝CE，∴CD＝BE.
如图，过点C作CF∥BD交AE的延长线于点F， FCCEAD1DMAD1
∴BM＝BE＝CD＝2①，FC＝AC＝3②， DM1
由①×②得BM＝6，∴BM＝6DM. (3)∵M为BD的中点，∴BM＝MD. ∵△BAD≌△ACE， ∴AD＝CE，∴CD＝BE.
∵△AMD∽△ACE，△BME∽△BCD， ADMDBMME∴AE＝CE，BC＝CD，
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MD·AEBC·ME
∴AD＝CE③，CD＝BM④， 由③×④得CD＝
5－15－1
DA，∴n＝22.
6．解：(1)思路1：如图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G.
∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA.
∵DG∥BC，∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF， ∴∠A＝∠DGA，∴DA＝DG. ∵AD＝CE，∴DG＝CE.
又∵∠DFG＝∠EFC，∴△DFG≌△EFC， ∴DF＝EF.
思路2：如图②，过点E作EH∥AB，交AC的延长线于点H.
∵AB＝BC，∴∠A＝∠BCA. ∵EH∥AB，∴∠A＝∠H.
∵∠ECH＝∠BCA，∴∠H＝∠ECH，∴CE＝EH. ∵AD＝CE，∴AD＝EH.
又∵∠AFD＝∠HFE，∴△DFA≌△EFH， ∴DF＝EF.
(2)结论：MF＝AM＋FC.证明：如图③，
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由思路1可知：DA＝DG，△DFG≌△EFC，∴FG＝FC. ∵DM⊥AG，∴AM＝GM. ∵MF＝FG＋GM， ∴MF＝AM＋FC.
(3)AD的垂直平分线交AC于点N，如图④所示．
连接DN，过点D作DG∥CE交AC于点G.设DG＝a，BC＝b，则AB＝AC＝mb，AD＝AG＝ma.
∵∠ABC＝2∠BAC，
设∠BAC＝x，则∠B＝∠ACB＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°. ∵NA＝ND，∴∠A＝∠ADN＝36°.
∵∠ADG＝∠B＝72°，∴∠NDG＝∠A＝36°. 又∵∠DGN＝∠AGD，∴△GDN∽△GAD， ∴DG2＝GN·GA.
易知DG＝DN＝AN＝a，∴a2＝(ma－a)·ma，两边同除以a，得m2a－ma－a＝0. ∵DG∥CE，
∴DG∶CE＝FG∶FC＝DG∶DA＝1∶m. 1∵CG＝mb－ma，∴FG＝·m(b－a)，
m＋1
m2a－a＋mb－mamb1
∴FN＝GN＋FG＝ma－a＋m(b－a)＝＝，
m＋1m＋1m＋1mb
FNm＋11∴AC＝mb＝. m＋1
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7．解：(1)证明：如图，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q，
∴∠DQM＝∠DPN＝90°.
又∵∠C＝90°，∴四边形CPDQ为矩形，∴∠QDP＝90°，即∠MDQ＋∠MDP＝90°. ∵DM⊥DN，∴∠MDN＝90°，即∠MDP＋∠NDP＝90°，∴∠MDQ＝∠NDP，∴△DMQ
DMDQ
∽△DNP，∴DN＝DP. 11DQBCDMBC
∵D为AB的中点，DQ∥BC，DP∥AC，∴DQ＝2BC，DP＝2AC，∴DP＝AC，∴DN＝AC. (2)由题意得AQ＝CQ＝4，MQ＝CM－CQ＝5－4＝1， 11
DQ＝2BC＝3，DP＝2AC＝4.
MQDQ4
∵△DMQ∽△DNP，∴NP＝DP，∴NP＝3. 45
又CP＝PB＝3，∴CN＝3－3＝3. 8．解：(1)1∶2 BD∶BC
(2)猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于OD∶AD.
理由：如图，分别过点O，A作BC的垂线OE，AF，垂足分别为E，F， ∴OE∥AF， ∴OD∶AD＝OE∶AF.
11
∵S△BOC＝2BC·OE，S△ABC＝2BC·AF，
1∶1BC·BC·OE∴S△BOC∶S△ABC＝22AF＝OE∶AF＝OD∶AD.
ODOEOF
(3)猜想AD＋CE＋BF的值是1.理由如下：
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ODOEOFS△BOCS△BOAS△AOCS△BOC＋S△BOA＋S△AOCS△ABC
由(2)可知：AD＋CE＋BF＝＋＋＝＝＝1.
S△ABCS△ABCS△ABCS△ABCS△ABC9．解：(1)∵将△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处， ∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF＝S△DEF. ∵S四边形ECBF＝3S△EDF，∴S△ABC＝4S△AEF.
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5. ∵∠EAF＝∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC， ∴
S△AEFAEAE1
＝(AB)2，即(5)2＝4，∴AE＝2.5. S△ABC
(2)连接AM交EF于点O，如图①，
∵将△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，∴AE＝EM，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE.
∵MF∥CA，∴∠AEF＝∠MFE， ∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF， ∴AE＝EM＝MF＝AF， ∴四边形AEMF为菱形． 设AE＝x，则EM＝x，CE＝4－x. ∵四边形AEMF为菱形， ∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA， CMCEEM∴CB＝CA＝AB，
CM4－xx204即3＝4＝5，解得x＝9，CM＝3. 410
在Rt△ACM中，AM＝AC2＋CM2＝3. 15
1
∵S菱形AEMF＝2EF·AM＝AE·CM， 420
3×9410∴EF＝2×＝9.
4103(3)如图②，过点F作FH⊥BC于点H， ∵EC∥FH，∴△NCE∽△NHF，
4
∴CN∶NH＝CE∶FH，即1∶NH＝7∶FH，∴FH∶NH＝4∶7. 设FH＝4x，NH＝7x，则CH＝7x－1，BH＝3－(7x－1)＝4－7x.
∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH∶BC＝FH∶AC，即(4－7x)∶3＝4x∶4，解得x＝
86
0.4，∴FH＝4x＝5，BH＝4－7x＝5.
在Rt△BFH中，BF＝68（5）2＋（5）2＝2，
AF3
∴AF＝AB－BF＝5－2＝3，∴BF＝2.
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