第３４卷第２期 忻州师范学院学报 Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．２ ２０１８年４月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＮＺＨＯＵ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＵＮＩＶＥＲＳⅡＹ Ａｐｒ．２０１８ 全概率公式的教学研究 王鹏飞 （忻州师范学院，山西忻州０３４０００） 摘要：文章从事件概率的乘法公式和加法公式入手，引出全概率公式的定义，利用“五 步教学法”：退一理一推一译一用，对全概率公式的教学进行了探究，认识了全概率公式的产 生原因，掌握了全概率公式的基本思想，推广了全概率公式的表达形式，挖掘了全概率公式的 深刻内涵，找到了全概率公式的实际应用，化解了概率论的教学难点，明白了全概率公式的关 键要素——完备事件组。 关键词：全概率公式；五步教学法；完备事件组 中图分类号：Ｇ６４２．０１ 文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—１４９１（２０１８）０２—００１１—０３ 长期以来，大学数学授课形成了以教师讲授为 有的定理及定理的证明方法都是先有猜想，然后实 主，教师依照教学大纲和教学计划，以“定义一定理 施论证，不关注背景、不关注问题的提出，就不可能 一推理＿＋例题”的模式介绍理论知识，使得原本抽 有先进的理论和前沿的发明。 象难懂的知识没有摆脱难学的局面，学生习惯了被 问题ｌ 通过抽签的办法决定做某一件事，总 动地接受知识，缺乏积极主动的思考，课堂教学忽略 共有５个签，让５人采取不放回的办法依次抽取， 了学生自主探究性学习、教师研究性教学和教师与 其中只有１个签上写有“做”字，其余的４个签上 学生教学相长的过程。不能真正解决知识点“是什 都不写字，求每个人抽到写有“做”字签的概率为 么，为什么，怎么样”这三大问题，具体表现在：“是 多大？问题提出来之后，学生们都很肯定地回答： 什么”仅仅局限于表面的东西，缺乏知识产生背景、 都是１／５。问到为什么是１／５的时候，学生们就有 产生的原因，“为什么”主要集中在定理的证明推理 不同的声音。 上，不太注重分析条件在定理中的地位和作用，“怎 问题２通过抽签的办法决定做某一件事，总 么样”主要表现在如何用定理解题，没有找到知识 共有５个签，让５人采取不放回的办法依次抽取，其 的着陆点，没有回归实践。 中只有２个签上写有“做”字，其余的３个签上都不 概率论是一门与生活密切相关的课程，它可以 写字，求每个人抽到写有“做”字签的概率为多大？ 通过简单事件的相关组合处理复杂事件，而全概率 问题提出之后，许多学生显得有点迟疑。于是利用 公式就是处理复杂问题的工具。全概率公式又是概 问题１的方法引导学生解问题２。 率论的一个教学重点、教学难点，教材给的定义、公 说明：一代数学宗师华罗庚教授说“复杂的问 式相对简单，学生并不容易掌握，也不能正确应用全 题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不 概率公式解决实际问题，因此，为了实际需要，为了 失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”认 学生能够全面掌握全概率公式，教师要从以下五个 识知识产生的原因，产生的背景，了解数学家发现 步骤解释全概率公式的内涵。 知识的过程，体现数学的人文价值和数学教学的育 ｌ退——退到源头，认识产生原因 人功能。 问题的背景、问题的提出是科技进步的源泉，所 收稿日期：２０１７—０８—１８ 作者简介：王鹏飞（１９７５一），男，山西偏关人，忻州师范学院数学系副教授，硕士，从事随机微分方程研究。 １２ 忻州师范学院学报 第３４卷 ２理——理清原理，掌握数学思想 数学教育不只是教学生认知，也不是教会学 生做题，而是教会学生理清原理、掌握数学的基本 思想，基本思想源于定理的发现过程，所以对定理 产生的背景、文化加以分析、总结是掌握数学思想 的前提。 通过对上面两个例题的解答，分析，总结，得出 任意一个事件可以转化成两个事件的乘积，两个事 件的乘积又可以转化成若干个互斥的事件的和。于 是任意一个事件的概率可以转化为若干个互斥的事 件的概率的和，即Ｐ（ ）＝∑Ｐ（ＡＢ ），再利用事件 ｔ＝ｌ 乘法的概率公式得到Ｐ（Ａ）＝∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ（Ａ ＩＢｉ）。 于是有全概率公式如下。 定理＿１ 设随机事件组曰 ，Ｂ：，…曰 是ｎ个互 斥的，有ｕ Ｂ ＝ｎ，且Ｐ（Ｂ ）＞０（ｉ＝１，２，…ｎ），对 ｌ ｌ 任意一个随机事件Ａ，则有Ｐ（Ａ）＝∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ（ｉ＝ｌ Ａ ｌ Ｂ ）。 证明：Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ＡｎＱ）＝Ｐ［Ａｎ（Ｕ ）］Ｂ， ＝Ｐ ［ｕ（ ＡＢ ）］＝∑Ｐ（Ａ曰） ＝∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ（Ａ ｌＢ ） 关键词：分割（互斥事件）——完备事件组。 全概率公式的基本思想：通过样本总空间的一 个分割，把一个复杂随机事件分解成若干个互斥的 简单随机事件，形成一个随机事件组，然后利用互斥 随机事件概率的可加性，最后利用随机事件的乘法 公式求出各部分相交随机事件的概率，进而解决整 个问题。全概率公式渗透了数学中划整为零的思维 模式，在教学中，让学生掌握这种思维模式，既有利 于理解数学的基本理论，又有利于解决复杂的实际 问题。 说明：数学知识只能记忆一时，不能永久储存， 但数学思想方法、数学精神却能和人的灵魂永远相 伴，可以说受益终生，是数学教育根本的任务，在遵 循学生认知规律的前提下，让学生随着课程内容的 展开，与教师的讲授同步进行思考，使思维处于活跃 兴奋状态，与教师能形成共鸣，数学不仅局限于让学 生认知，更需要让学生去欣赏。 ３推——改变条件，拓展知识宽度 教学改革是当下的热门话题，好多教师都涌人 热潮大军中，但不论什么的教学方法，绝不是就事论 事，俗话说：“教无定法，贵在得法”，必须要在恰当 的时间点引导学生进行拓展训练，既要改变前提条 件，讨论结论的异同，又要借助其它分支的原理改变 知识结构，改变基本思想和论证思路，讨论结论的 异同。 （１）完备事件组既可以由有限个事件组成，也 可以由可列个事件组成，所以得到下面的推论： 推论１ 设随机事件组 ，Ｂ ，…是可列个互斥 的，有ＵＢ ＝ｎ，且Ｐ（Ｂ ）＞０（ｉ＝１，２，…），则对于 任意一个随机事件Ａ，则有Ｐ（Ａ）＝∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ（ ｌ ＝ｌ 曰 ）。 证明：Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａｎｎ）＝Ｐ［Ａｎ（Ｕ ）］Ｂ， ＝Ｐ ［ （ ＡＢ ）］＝ Ｐ（Ａ日） ＝∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ（Ａ ｌＢ ） （２）从定理的证明过程来看，曰 ，曰 ，…曰 互斥 是必须有的，而 Ｂ ＝ｎ是可有可无的，只需要随 机事件Ａ与随机事件组Ｂ ，Ｂ：，…或随机事件组 Ｂ ，Ｂ：，…的部分随机事件的交不是不可能事件，可 以改为ｕ Ｂｉ Ｄ Ａ。所以有如下推论： 推论２设随机事件组Ｂ ，Ｂ ，…Ｂ 是ｎ个互斥 的，对于任意一个随机事件Ａ，如果有ｕ曰 ］ ， Ｐ（Ｂ ）＞０（ｉ＝１，２，…ｎ），则有Ｐ（Ａ） ＝ ∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ（Ａ ｌＢｉ）。 ｌ＝ｌ 证明：Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ）＝Ｐ［Ａ ｎ（Ｕ Ｂ ）］ ｎ ｈ ： （ＡＢ ）］＝∑Ｐ（ＡＢ ） ＝∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ（Ａ ｌ＿ ‘ Ｂ ） （３）把推论２的有限个互斥事件变成可列个互 斥事件，又有新的推论产生： 推论３设随机事件组Ｂ。，Ｂ ，…是可列个互斥 的，对于任意一个随机事件Ａ，如果有ｕ Ｂ；］Ａ，Ｐ （Ｂｉ）＞０（ｉ＝１，２，…），则有Ｐ（Ａ）＝∑Ｐ（Ｂ ）Ｐ （Ａ ｌ Ｂ ）。 证明：Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ）＝Ｐ［ＡＮ（ＵＢ ）］ 第２期 王鹏飞：全概率公式的教学研究 １３ ＝Ｐ［ｕ（ＡＢｉ）］＝∑Ｐ（ＡＢｉ） ｌ ｌ １ Ｊ ∞ ＝∑Ｐ（Ｂｉ）Ｐ（ＡｌＢｉ） 说明：在特定的情况下，也可以用其他学科的知 识解决本学科的问题，形成学科之间的交叉，既能达 到举一反三的效果，又要形成跨学科教学，找到不同 学科的相同点和不同点，从不同层面，利用不同理论 解释同一个问题，达到融会贯通，形成知识网，而不 是知识节点，实现真正的创新。 ４译——破解要点，挖掘知识深度 理论能不能掌握关键看对条件的认知，引导学 生找到理论的必要条件、充要条件和充分条件。在 教学过程中培养学生循序渐进掌握定理成立的条 件，理清三个条件就能破解知识的要点，从而掌握定 理的本质、内涵。 （１）全概率公式要求 ， ，…日 是随机试验Ｅ 的样本总空间Ｑ的一个完备事件组，即ｕ Ｂ ＝Ｑ， 这样的要求在解决一些现实具体问题时是难以符 合的，也是不必要的，这是全概率公式难用的关键 所在。 （２）在全概率公式的论证过程中，随机事件Ａ 是样本总空间Ｑ的子随机事件，所以Ａ＝ＡＱ成立 是有保证的，但在现实具体问题中，该样本总空间Ｑ 不一定是整个随机试验Ｅ的样本总空间，所以Ａ＝ ＡＱ是不一定成立的，这是误导初学者，造成错误理 解的一个关键性要素。 结论：全概率公式可以看成随机试验Ｅ为Ｅ ， Ｅ 的复合性试验，其中，第一个随机试验Ｅ 的样本 ｎ 总空间为Ｑ，，有 ＝Ｑ ，第二个随机试验Ｅ 的 样本总空间为Ｑ：，于是，对于第二个随机试验Ｅ 的 任意一个随机事件Ａ，符合全概率公式的基本要求， 可以利用全概率公式求解。 说明：这样教授全概率公式可以把教学内容看 穿、吃透，挖掘出教材的精髓和内涵，既能掌握理论 的本质，又能培养学生的问题意识，提升学生的问题 解决能力，通过这样一个再创造的教学过程可以实 现创新性人才的培养。 ５ 用——回归生活。解决实际问题 理论源于实践，也要反作用于实践，只有用于实 践才能引起学生的共鸣，也才有助于加强学生对理 论的理解，所以理论必须回归生活。 实例２０１６年巴西里约热内卢奥运会女子排 球比赛，在中国女子排球队、美国女子排球队、荷兰 女子排球队、塞尔维亚女子排球队都进入半决赛的 情况下。半决赛中国女子排球队对阵荷兰女子排球 队，美国女子排球队对阵塞尔维亚女子排球队，问中 国女子排球队夺冠的概率多大？ 解：根据里约奥运周期各女子排球队的交手统 计，中国女子排球队战胜美国女子排球队、荷兰女子 排球队、塞尔维亚女子排球队的概率约为０．４、０．９、 ０．８，美国女子排球队战胜塞尔维亚女子排球队的概 率约为０．７。设事件Ｂ＝｛中国女子排球队夺冠｝， 事件Ａ＝｛美国女子排球队战胜塞尔维亚女子排球 队｝，事件Ａ＝｛塞尔维亚女子排球队战胜美国女子 ｛ｊ｝球队｝，贝０有ｐ（８）＝ｐ（ａ）ｐ（Ｂ／Ａ）＋ｐ（Ａ）ｐ（Ｂ／Ａ） ＝０．７×０．４×０．９＋０．３×０．７×０．９＝０．４６８。 说明：理论源于实践，高于实践，又要反作用于 实践，为实践服务，如果没有实践，再好的理论不会 落地生根，失去了研究它的价值。失去了应用价值， 就失去了学习的动力，所以让学生感受到学数学的 重要性和实用性，方能激发学生学习的热情和兴趣， 开发学生的潜能和应用能力，可以实现应用型人才 的培养。 上述的五个步骤既给出了全概率公式产生的原 因，又能掌握全概率公式的基本思想和关键词，最后 解决了实际问题，找到了着陆点，为初学者理解全概 率公式提供了方便，同时有利于学生欣赏数学文化、 感受数学家的创作精神，有利于交叉学科的融会，形 成大知识体系，进而培养学生的问题意识、创新能力 和解决问题的能力。 参考文献ｌ ［１］任燕，王洪涛．抓阄问题与全概率公式［Ｊ］．高等数学 研究，２０１３，１６（１）：１０６—１０７，１１７． ［２］ 宋虎森，侯志平．五步教学法揭开了全概率公式的面 纱［Ｊ］．太原大学学报，２００２，３（１）：７１—７２． ［３］ 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程 ［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４． ［４］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［Ｍ］．３版． 北京：高等教育出版社，２００８． ［５］ 李万军，赵白云，秦素萍．概率论与数理统计［Ｍ］．６ 版．沈阳：辽宁大学出版社。２０１７． （下转第５８页） ５８ 忻州师范学院学报 ［Ｊ］．江海学刊，１９９９（６）：１６—２０． 第３４卷 ［１４］ 李锋．一种有向网络中社团结构划分的启发式算法 ［Ｊ］．系统管理学报，２０１４（４）：４９５—５００． 程华强．沪深股市股票投资组合与风险分散 ［１５］ 姚益龙，［１７］ 杨继平，张力健．沪市股票投资组合规模与风险分散 化关系的进一步研究［Ｊ］．系统工程理论与实践， ２００５（１０）：２１—２８． 的实证研究［Ｊ］．经济学动态，２００８，（１２）：２８—３０． ［１６］ 王新鸣．上海股票市场股票风险结构和组合效果 Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｓｔｒａｔｅｇｙ ｂｙ ｔｈｅ Ｍｅａｎｓ ｏｆ Ｊｏｉｎｔ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ＹＩＮＧ Ｙｕ—ｃｈａｏ （Ｊｉｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ ２５０００２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｈａｓ ａｌｗａｙｓ ｂｅｅｎ ａ ｈｏｔ ｔｏｐｉｃ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｆｉｅｌｄ．Ｍａｎｙ ｓｃｈｏｌａｒｓ ｈａｖｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ＳＣａｌｅ ｏｆ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ．ｉｎ— ｖｅｓｔｍｅｎｔ ｒｉｓｋ ａｎｄ ｓｔｏｃｋ ｍａｒｋｅｔ ｔｏｐｏｌｏｇｙ．Ｉｎ ｒｅｃｅｎｔ ｙｅａｒｓ，ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｏｃｋ ｍａｒｋｅｔ ｆｒａｃｔａｌ，ｓｃａｌｅ，ｓｍａｌｌ ｗｏｒｌｄ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ａ ｎｅｗ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｙｓｔｅｍ ｒｅｓｅａｒｃｈ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ ａｎｄ ｄｅｃｉ— ｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｓ ｔｈｅ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ａ—ｓｈａｒｅ ｓｔｏｃｋ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｖａｌｉｄａｔｅｓ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｎｄ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｍｅａｎ—ｖａｒｉａｎｃｅ ｍｏｄｅ１．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ ｗｏｒｌｄ ａｎｄ ｎｏｎ—ｓｃａｌｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ａ ｓｈａｒｅｓ ａｒｅ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｏｃｋ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｓｔｏｃｋ ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ ｈａｓ ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇ ａ— ｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｒｅｓｉｓｔ ｔｈｅ ｒｉｓｋ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｒｉｓｋ ｉｓ ｓｉｎｉｇｉｆｃａｎｔ．Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｔｏｃｋ ｓｉｚｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｉｓｋ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ， ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｒｉｓｋ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｔｏｃｋ ｐｏｒｆｏｌｉｔｏ ａｒｅ ｖｅｒｙ ｓｉｇｎｉｉｆｃａｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ；ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｅｔｗｏｒｋ；ｓｍａｌｌ ｗｏｒｌｄ；ｓｃａｌｅ—ｆｒｅｅ ｆｅａｔｕｒｅ；ｃｏｍｍｕｎｉｔｙ ｄｉｖｉｓｉｏｎ；ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｄｅｃｉｓｉｏｎ （上接第１３页） Ｏｎ ｔｈｅ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ Ｆｕｌｌ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ Ｆｏｒｍｕｌａ ＷＡＮＧ Ｐｅｎｇ—ｆｅｉ （Ｘｉｎｚｈｏｕ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｚｈｏｕ ０３４０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｓｔａｒｔｓ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ａｎｄ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｖｅｎｔ，ｌｅａｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔｌａ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ，ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ“ｆｉｖｅ ｓｔｅｐ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ”：ｒｅｔｒｅａｔ—ｌｏｇｉｃ～ｐｕｓｈ—ｔｒａｎｓｌａｔｅ—ｕｓｅ．ｍａｋｉｎｇ ａ ｔｈｏｒｏｕｇｈ ｉｎｑｕｉｙｒ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｃａｕｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ，ｇｒａｓｐｉｎｇ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａ ｏｆ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ，ｐｒｏｍｏｔｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ，ｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｆｉ）ｕｎｄ ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂａ— ｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ，ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔｌ ｐｒｏｂａｂｉａｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ，ｒｅｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｉｃｕｌｔｆｉｅｓ ｉｎ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｋｅｙ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ—ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ ｅｖｅｎｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｌｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒｍｕｌａ；ｆｉｖｅ—ｓｔｅｐ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ；ｃｏｌｌｅｃｔｉｖｅｌｙ ｅｘｈａｕｓｔｉｖｅ ｅｖｅｎｔｓ ，
