布条缠绕圆形管道的问题模型

布条缠绕圆形管道的问题

摘要：本文通过确定重合点，在已知布条宽度和圆形管道直径的情况下，运用

一些简单的几何知识解决了布条与管道轴线的夹角问题。

同时，从管道表面积和布条面积相等的角度，在已知管道长度的情况下，求出了布条的长度。同时也考虑到了布条两端的影响。

此外，分两种情况考虑了其他形状的管道的布条缠绕问题：布条紧贴于管道缠绕和布条不紧贴贴于管道缠绕。

关键词： 重合点 表面积 紧贴

1问题提出

用已知宽度的布条缠绕已知直径的圆形管道，布条应紧密排在一起且不能重叠，求布条与管道轴线的夹角。此外，在已知管道长度的情况下，还要求出所需布条的长度。

2模型假设

2.1管道是直的，圆的； 2.2管道粗细一样且足够长； 2.3管道外表面光滑； 2.4带子宽度一样； 2.5包扎时带子没有重叠； 2.6变量限定

W：带子的宽度

L：管道长度

C：管道横截面周长

d：管道的直径

：布带与管道的缠绕角度，见图1

4模型建立与求解

模型一：夹角的模型

不妨将管道表面展开如图1，黄色部分为缠绕的布条。

由于要求布条完全缠绕于管道上且不重叠，那么A、B应该在管道上重合。则

dcos

故

arccos

d图 1

模型二：布条长度L的模型

由于布条是完全缠绕于管道上的，且没有重叠，可以从管道表面积和布条面积相等来考虑。

S0dh

Sl

且 S0S，即

dhl

也即

ldh 

但由于布条两端都成弧度，会有所浪费，因此也考虑两端的影响，即多加上图中AC段的长度。

lACdsin2d22

故 所需布条长度为

LllACdh2d22 

1

5模型优化

优化一：布条厚度的考虑

既然布条厚度为一个影响结果的因素，不妨考虑一下布条的厚度。

设布条厚度为k，圆形管道的横截面如图2。布条上表面伸展，下表面收缩，中间的长度不变。那么

圆形管道的直径相当于

kdd2dk

2故

arccos图 2

dk

Ldkh22dk2 

优化二：其他形状的管道

若管道的横截面是相等的，且布条完全贴于管道上，考虑方向就和圆形管道相同。只需将圆形管道的横截面周长d换为其他形状管道的横截面周长c即可。那么

arccos

cchLc22 图 3 如图3，布条贴于五角星形状的管道缠绕，那么周长即为五角星的周长

设五角星边长为x，则有

c10x

代入和L的等式计算即可。

若布条不是完全贴于管道上的，那么就以布条所缠绕的形状作为周长计算。比如五角星形状的管道，布条不贴于管道缠绕，如图4。

2

那么计算周长c时就不是计算五角星的周长了，而是计算布条缠绕所形成的五边形的周长。

设五角星角之间的夹角为23，则有

c53x

4

代入和L的等式计算即可。

参考文献

[1] 姜启源 《数学模型》 高等教育出版社

[2] 中科大数学建模站http://mcm.ustc.edu.cn/youxiu.htm

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图