初三数学解直角三角形的应用题

解直角三角形应用题

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30°

可表示如下： BC=

1AB 2 ∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： CD= D为AB的中点 4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即abc 5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90° CD2AD•BD

 AC2AD•AB CD⊥AB BC2BD•AB 6、常用关系式

由三角形面积公式可得： AB•CD=AC•BC

考点二、直角三角形的判定 （3~5分）

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系abc，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即

2222221AB=BD=AD 2sinAA的对边a

斜边c②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即

cosAA的邻边b

斜边cA的对边a

A的邻边b③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA

④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即cotA2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 sinα 0° 0 30° 45° A的邻边b

A的对边a 60° 90° 1 1 23 23 33 2 22 21 3 2cosα 1 1 23 0 tanα 0 不存在 cotα 不存在 1 3 30 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系

sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系

（3）倒数关系 tanA•tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA= sin2Acos2A1

sinA cosA5、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：abc（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：

222sinA

ababbaba,cosA,tanA,cotA;sinB,cosB,tanB,cotB ccbaccab

初三数学解直角三角形的应用 知识精讲

【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 解直角三角形的应用

［学习目标］

1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。 2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。 3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。

二. 重点、难点： 1. 仰角、俯角

在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。 视线在水平线下方的叫做俯角。 2. 坡度

坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即i 如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么ih。 Lhtan。 L 3. 直角三角形在实际问题中的应用

在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。

［教学难点］

运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。

【典型例题】

例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。 解：分两种情况计算

（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，则

图1

CD20，ADAC·cos30°203 DBCB2CD215，故

S△ABC

11AB·CD(20315)×20(2003150)（米2） 22

（2）如图2，过C作CD⊥AB且交AB的延长线于D，

图2

由（1）可得CD=20，AD203，DB15，所以 S△ABC1AB·CD(2003150)（米2） 2 点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。

例2. 某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的

.长。（精确到1m，3≈1732）

图3

解：延长AD，交BC的延长线于点E，可构成两个直角三角形， 在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200m ∴BEAB·tanA2003(m) AEAB200400(m)

1cos60°2 在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100m ∴DECD·cot∠CED1003(m) CECD100200m

1sin∠CED2 ∴ADAEDE4001003≈227(m) BCBECE2003200≈146(m)

点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。

例3. 如图4所示，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。

图4

.，317320. （精确到0.1m，参考数据：214142）

解：在Rt△ADB中，

∵∠ADB=60°，DB=100m，

∴ABDBtan∠ADB100×tan60°1003173.20(m) 在△ACE中，∠ACE=45° ∴AE=CE=100

∴CDEBABAE17320.100732.(m)

答：电视塔高是173.2m，楼高是73.2m。

点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。

例4. 如图5，在比水面高2m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为 30°，它在水中的倒影B'C顶部B'的俯角是45°，求树高BC（结果保留根号）

图5

解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E， 在Rt△ABE中，

BEx2，∠BAE30°，cot∠BAE ∴AEBE·cot∠BAE(x2)·3 ∵∠B'AE=45°，AE⊥BC ∴B'EAEAE BE3(x2)

3(x2)

又∵B'EB'CECBCADx2 ∴3(x2)x2

∴x(423)(m) 答：树高BC为(423)m

点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=B'C，是此题的隐含条件。

例5. 为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图6，堤的上底宽AD和堤高DF都是6米，其中∠B=∠CDF。

图6

（1）求证：△ABE∽△CDF；

（2）如果tanB=2，求堤的下底BC的长。 （1）证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC ∠B=∠CDF

∴△ABE∽△CDF

（2）解：在Rt△ABE中，tanB ∴BEAE2， BEAE3 2CFtanB2 DF 在Rt△CDF中，tan∠CDF ∴CF=2DF=12

∴BCBEEFCF361221(m)

答：堤的下底BC的长是21m。

点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。

例6. 如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡CD坡度i'=1：1，斜坡AB坡度i1：3，求斜坡AB的长及坡角和坝底宽AD（精确到0.1m）。

图7 解：过B，C两点分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， 则ECF23m， 在Rt△ABE中，tani13 33

∴30°，∴AB2BE46(m) ∵iBE1231，即， AEAE33 ∴AE233(m) 在Rt△CFD中，i' ∴FD=CF=23（m）

∴ADAEEFFD23362329233

CF1 FD1.≈688.(m) ≈2923×1732 答：斜坡AB长4m，坡角α为30°，坝底宽AD约为68.8m。

点拨：求出近似值要符合题目要求。

例7. 如图8，某轮船沿正北方向航行，在A点处测得灯塔C在北偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时到达B点后，测得灯塔C在北偏西75°，问当此船到达灯塔C的正东方时，船距灯塔C有多远（结果保留两位有效数字）

图8

解：在△ABC中，AB=20×2=40（海里），∠A=30° ∠BCA75°30°45°，过B作BE⊥AC于E

则AEABcos30°40× BEABsin30°40×3203（海里） 2120（海里） 2 ∴ACAECE203BE2032020(31)（海里） 过C作CD⊥AB于D，

则CDCAsin30°10(31)≈27.32（海里） 答：船到达灯塔正东时，它距灯塔海里。

点拨：搞清方向角的概念，同时会找合适的直角三角形。

例8. 今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险

图9

解：如图9，过点C作CD⊥AB，设垂足为D， 在Rt△ADC中，

ADCD·cot∠CADCD·cot30° 在Rt△BDC中，

BDCD·cot∠CBDCD·cot45°CD ∴ABADBD ∴CD3CD

3CDCD(31)CD100(m)

10050(31)≈136.5(m) 31 ∵136.5米＞120米，故没有危险。

答：若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。

点拨：熟记特殊三角函数值，注意所求结果符合实际情况，情景应用题。

例9. 如图10，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。

图10

（1）问：B处是否会受到台风的影响请说明理由。

.，3≈17.） （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货（2≈14。

解：（1）过点B作BC⊥AC于D，

依题意，∠BAC=30° 在Rt△ABD中，

BD11AB×20×16160200 22 ∴B处会受到台风的影响。

（2）以点B为圆心，200海里为半径作圆交AC于E，F 由勾股定理，求得DE120，AD1603 ∴AEADDE(1603120)（海里）

∴t160312038.（小时）

40 ∴该船应在小时内卸完货物。 点拨：不是纯数学化的“已知”，“求解”的模式，而是结合一种情景，一种实际需求，以解决一种实际问题为标志，旨在考查学生的数学应用能力。

【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一. 选择题：

1. 如果坡度的余弦值为

310，那么坡度比为（ ） 10B. 3：10

A. 1：10

C. 1：3 D. 3：1

2. 如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，那么由点B测点A的方向为（ ） A. 北偏东15° B. 北偏西75° C. 南偏西15° D. 南偏东75°

3. 如图1，两建筑物的水平距离为a米，从A测得D点的俯角为，测得C点的俯角为，则较低建筑物CD的高为（ ）

B. acot米 D. a(tantan)米

A. a米

C. acot米

4. 如图2斜坡AB和水平面的夹角为，下列命题中，不正确的是（ ）

A. 斜坡AB的坡角为

BC AB C. 斜坡AB的坡度为tan

BC D. 斜坡AB的坡度为

AC B. 斜坡AB的坡度为

二. 填空题

b815， 5. 在△ABC中，∠C=90°，若a85，则c=__________，∠A=__________，∠B=__________。

6. 一物体沿坡度为1：8的山坡向上移动65米，则物体升高了__________米。

7. Rt△ABC中，一锐角的正切值为，周长是36，则它的两条直角边的和是__________。

8. 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角45°，沿水平方面，再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔为__________。

9. 如图3，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需__________米。（精确到0.1米）。

图3

三. 解答题 10. 如图4，要测池塘A、B两端的距离，可以在平地上与AB垂直的直线BF上取一点C，使∠FCA=120°，并量得BC=20m，求A，B两端的距离（不取近似值）。

图4

11. 从一船上看到在它的南偏东30°的海面上有一座灯塔，船以30海里/时的速度向东南方航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，求这时船与灯塔的距离。

[参考答案]

一. 选择题： 1. C

二. 填空题

5. 165，30°，60° 6. 1米 7. 21 8.

2. C

3. D

4. B

1(33)a米 2 9. 5.5米

三. 解答题：

10. 解：根据题意，有∠ABC=90°

在Rt△ABC中，∠ACB=180°－∠FCA=180°－120°=60° ∵tan∠ACBAB BC ∴ABBC·tan∠ACB20·tan60°203(m) 答：A、B两端之间的距离为203m。 11.

解：如图5所示，AC30×115 2

图5

在Rt△COB中，

AOOCACcos∠ACO15× 在Rt△COB中， OBOCtan∠BCO ∴ABOAOB2152 2215352×6 23215526≈4.48 22 答：此时船与灯塔的距离约为海里。