初中数学活动课案例举隅

师：前面我们运用全等三角形的知识，测量了地面上不可直接到达的两点间的距离，今天这节课就请大家解决这样一个问题：“在操场上有一根旗杆，你能利用一些简易的工具，根据全等三角形的知识，测量出旗杆的高度吗？”

生１：“很简单！用影子来测量，阳光照射时，测出旗杆的影长和我的影长，再测出我的身高，根据旗杆的影长比人的影长等于旗杆的高度比我的身高，就可求出旗杆的高度。” 生２：我的办法更简单！看图2，AB表示旗杆，只要用测角仪在操场上找出一点C，满足∠ACB＝45○，测量出BC的长可知道旗杆AB的高度。

生３：嗳！如果没有阳光呢？你们都没有用全等三角形的知识测量！ 二、类比分析，引导学生建模

师：“刚才两个同学的办法都能测量出旗杆的高度，但如何运用全等三角形的知识呢？很显然，就要构建两个全等的三角形。大家回忆回忆，我们以前是怎样测量地面上不可直接达到的两点的距离的，看，我们建立了下列模型，图3，我们在平地上选取一个可直接到达A和B的点O，连接AO并延长到D，使OD＝OA，连接BO并延长到C，使CO＝BO，连接CD，量出CD的长就是A、B间的距离。图4， ……不论图3还是图4，A、B两点的距离都是其中一个三角形的一边。你们要测量旗杆的高度，一样可以把旗杆当作一个三角形的一边？” 生１：“旗杆在空中呢，就要在空中建三角形？” 三、学生做实验，小组内讨论测量方案

师：“对呀，旗杆在地面上，以旗杆为边的三角形只能站在空中了，下面请你们八个小组，八仙过海，各显神通，拿出你们准备的模具做实验，讨论测量方案，呆会儿，请你们的代表来讲台上表演，说说测量过程。”

（学生一下子活跃起来，每个小组拿出模具在自己的领地上开始摆放。商量、讨论。老师巡视着，这其中，有一个小组，有的同学把玩着模具，有同学傻坐着，有同学眼睛看着邻居小组长，听别人讨论，老师很自然地走进这个小组，与他们共同讨论，引导他们建立测量模具。（大约15分钟）

四、展示测量方案，解决问题

师：“八个小组的表现都不错，现在请你们的的代表来模拟表演测量过程、讲解测量方案。” 生２：“我们的测量方案是在生1的基础上形成的。如图５,在地面上取一点C，用测角仪测出∠ACB比如，∠ACB＝60○在地面上以CB为边作∠BCD＝∠ACB＝60○，沿60○角的方向拉线，再作BD⊥BC，即从B处沿BD方向拉线，两线交于点D，因此，由角边角条件可证明△ABC≌△DBC，所以AB＝DB，只要测量BD长度就是旗杆的高度。”

师：这个小组以旗杆为边构造的三角形立在空中，另一个三角形建在平面上，构思好、方案不错。

生３：“大家请看图6，我们组先在旗杆上距地面1.5米处做记号Ｄ，即BD＝1.5，在地面找一点C使BC＝1.5米,用测角仪(量角器)测出∠ABC的度数,再在地面的CB线上找一点E ,使∠BED＝90○－∠ACB,通过角边角或者角角边都可证得△ACB≌△ECB，所以AB＝EB，只要测量BE的长可知道旗杆AB的高度了。”

师：“好，这个方案将两个三角形都立在空中了，请问这两个三角形中，点C、B、E一定在一条直线上吗？”

生４：“是的，我们是这么做的”。

师：“在这里，请你试一试，在地面上不同于CB方向的另一处选取满足条件使∠BED＝90○－∠ACB的点E，看看？”

生5：“一样能测量旗杆的高度！那我们的方案略作改进，模型就可以是图7、图8了。△EBD可以绕着旗杆AB旋转，也就是点E在以点B为圆心，以BE为半径的圆上。阿哈！操作就方便多了！”

生6：“我们的测量操作比他们还要方便！” 师：“请你们演示一下。”

生6：“如图9，用竹杆在地面取定点C，即BC等于竹杆长，用测角仪量出∠ACB的度数，再在操场上将竹杆直立DF，这也可证明△ACB≌△EDF，得到AB＝EF，因此，只要测出EF就知道AB的高度了。”

师：“哟，将△ACB与△EDF分离，这一改进，真是一个飞跃！△DEF可以立在操场上任意一个平地上了！你们还有没有不同的方案？”

生7：“我们的方案这样的，看图10，用竹杆平放在地面上，一端与旗杆的底部点B重合，另一端是点C，在点C用测角仪测出∠ACB的度数，再将竹杆直立到某一处（如图中DE处）使得∠DCE与∠ACB互余，象这样利用全等三角形的知识，只测出CE的距离就可知道，旗杆AB的高度了！”

师：“这也是不错的测量方案啊，操作起来也很方便，从你的模型图示，和演示实验看，点E、C、B在同一条直线上，那点E，也就是线段EC一定要与CB共线吗？” （生7小组又开始迅速移动竹杆DE。）

生7：“可以不共线，这就与生5他们的有些相同了，看！也就是△DEC可以绕着C旋转，竹杆DE就在这样一个圆上任意一个位置都行！” 师：“看来，你们的办法还真不少，还有吗？”

生8：“呵呵，我的测量办法不是太好，您请看图11，AB表示旗杆，CD表示竹杆，EF表示一个同学，EF同学站在离旗杆较远处，将竹杆放在线段BF的中点处，调整竹杆的高度，使人的视线恰好过竹杆顶端和旗杆顶端，作辅助线EG⊥CD于点G，CH⊥AB于点H，这样就有两个全等的直角三角形了，可得AH＝CG,旗杆的高度就等于CG的2倍加上人的身高，CG又等于竹竿CD的长减去人的身高。

(看到学生这样秘密的使用相似知识，教师感到有些惊讶) 师：很有道理，你呀，真聪明！

生9：（迅速站起来）那你的竹竿在BF的中点处，还要满足人的视线正好同时过竹竿顶端和旗杆顶端，如果竹竿不够长呢？

生8：那就让EF同学继续走动，离旗杆更远些。 生9:假如EF同学已经走到操场的尽头，挨到院墙了呢？

生8：（有些难为情）唉，这就是我的测量方案的缺陷呀！

生10：不！不！还有办法，在旗杆与人之间立两根竹竿，象这样，图12，使BN＝ND＝DF，人的视线过竹杆顶端，MN是虚设的，也象生8那样作辅助线，这样就有三个全等的直角三角形，于是AP＝MN＝CG，旗杆AB等于CG的三倍长加人体身高。

生11：“竹杆MN是虚设的，那就是竹杆CD必须放在BF的三分之一处，即DF＝1/3BF，照这样看，如果竹杆还不够高，还可将竹杆CD移到离人EF较近的地方，如图13，使得BF是DF的四倍，或五倍或者n倍，这样就会出现n个与△CGE全等的直角三角形，旗杆的高度就等于CG的n倍加上人的身高。

师：（鼓掌），你们的智慧在闪光，令人震憾，我特别高兴！你们通过实践活动，探究出了这么多运用全等三角形的知识测量旗杆高度的方案，接下来，请各小组写出你们测量方案的操作步骤，作为今天的作业。